---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "14.3"
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - optimering
  - gradient
förkunskaper:
  - "[[Gradient och riktningsderivata]]"
  - "[[Kritiska punkter]]"
  - "[[Extremvärdesproblem]]"
  - "[[Nivåkurvor och ytor]]"
status: utkast
aliases:
  - Lagranges metod
  - Lagrangemultiplikator
  - Lagrange multipliers
  - Bivillkor
---
> **Kapitel:** 14.3 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Gradient och riktningsderivata]], [[Kritiska punkter]], [[Extremvärdesproblem]], [[Nivåkurvor och ytor]]

---

## 1. Problemet — optimering under bivillkor

Vi vill bestämma största och minsta värde av

$$
f(x, y) \quad \text{under bivillkoret} \quad g(x, y) = 0.
$$

Geometriskt: vi letar [[Extremvärden|extremvärden]] av $f$ enbart bland de punkter som ligger på kurvan $g = 0$, inte i hela planet. Samma princip gäller i tre eller fler variabler, där $g(x, y, z) = 0$ skär ut en yta istället för en kurva.

> [!info] Var dyker bivillkor upp?
> - Största/minsta avstånd från origo till en kurva eller yta.
> - Randundersökning i [[Extremvärdesproblem]] på kompakta områden.
> - Fysik: optimera energi/verkningsgrad under en bevarandelag.
> - Ekonomi: maximera nytta under en budgetrestriktion.

---

## 2. Geometrisk idé — tangerande [[nivåkurvor]]

Betrakta nivåkurvorna $f = c$ för olika $c$ och bivillkoret $g = 0$. När $c$ ändras glider $f$-kurvan genom planet. Extremvärden på bivillkoret inträffar i just de punkter där nivåkurvan $f = c^{*}$ **tangerar** kurvan $g = 0$.

I en tangeringspunkt är kurvornas normalvektorer parallella. Eftersom gradienten är normal till en nivåkurva ger det:

$$
\boxed{\,\vec{\nabla} f = -\lambda\, \vec{\nabla} g\,}
$$

för något tal $\lambda \in \mathbb{R}$. Talet $\lambda$ kallas **Lagrangemultiplikator**. Tecknet är bara konvention — det viktiga är att gradienterna är parallella.

> [!tip] Intuition
> Skulle gradienterna inte vara parallella, finns en komponent av $\vec{\nabla} f$ längs bivillkoret. Då kan man röra sig på $g = 0$ och öka (eller minska) $f$. Alltså kan ingen extrempunkt ligga där.

![[lagrange-tangering.png|520]]
*Nivåkurvor till $f$ tangerar bivillkoret $g = 0$ i extrempunkten — där är $\vec\nabla f\parallel\vec\nabla g$.*

---

## 3. Lagrangefunktionen

Introducera hjälpfunktionen

$$
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\, g(x, y).
$$

Det nödvändiga villkoret ovan kan då skrivas kompakt som

$$
\vec{\nabla} \mathcal{L} = \vec{0}
\iff
\begin{cases}
\mathcal{L}_x = f_x + \lambda\, g_x = 0 \\
\mathcal{L}_y = f_y + \lambda\, g_y = 0 \\
\mathcal{L}_\lambda = g(x, y) = 0.
\end{cases}
$$

De två första ekvationerna ger **stationaritetsvillkoret** ($\vec{\nabla} f = -\lambda\, \vec{\nabla} g$), den tredje ger själva **bivillkoret** ($g = 0$).

> [!note] Generalisering till tre variabler
> För $f(x, y, z)$ under bivillkoret $g(x, y, z) = 0$ ser det likadant ut:
> $$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f + \lambda g, \qquad \vec{\nabla}\mathcal{L} = \vec{0}.$$

---

## 4. Determinantformen (utan $\lambda$)

Parallellitetsvillkoret $\vec{\nabla} f \parallel \vec{\nabla} g$ i två variabler kan uttryckas utan att införa $\lambda$:

$$
\boxed{\,\det\begin{bmatrix} \vec{\nabla} f & \vec{\nabla} g \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix} = 0.\,}
$$

Tillsammans med $g = 0$ får man ett system i bara $(x, y)$ — praktiskt när $\lambda$ inte är intressant i sig.

---

## 5. Metod — steg för steg

> [!important] Recept
> För att hitta extremvärden av $f$ under bivillkoret $g = 0$:
>
> 1. **Ställ upp** $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f + \lambda g$.
> 2. **Sätt upp systemet** $\mathcal{L}_x = \mathcal{L}_y = \mathcal{L}_\lambda = 0$.
> 3. **Lös systemet.** Standardknep: bryt ut $\lambda$ ur de två första ekvationerna och sätt uttrycken lika. Var noga med villkor när du dividerar.
> 4. **Kontrollera specialfall** separat — t.ex. där variabler är $0$, eller där $\vec{\nabla} g = \vec{0}$ (**singulär punkt** på bivillkoret).
> 5. **Beräkna $f$** i alla kandidatpunkter och jämför.

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - **Division utan villkor.** När du delar med en variabel, glöm inte att kontrollera fallet då den är $0$.
> - **Ej kompakt bivillkor.** Om $g = 0$ inte är begränsat behöver max/min inte existera — argumentera först för att de gör det.
> - **Singulära punkter.** Om $\vec{\nabla} g(p) = \vec{0}$ kan $p$ vara en extrempunkt utan att uppfylla Lagranges ekvationer.
> - **Lagrange räcker inte för ojämlikhet.** För $g \leq 0$ (kompakt område) måste man även undersöka det inre — se [[Extremvärdesproblem]].

---

## 6. Exempel

> [!example]- Exempel 1 — Avstånd från origo till en linje
> Bestäm kortaste avståndet från origo till linjen $x + 2y = 5$.
>
> Minimera $f(x, y) = x^2 + y^2$ (kvadrerat avstånd) under $g(x, y) = x + 2y - 5 = 0$.
>
> $$\mathcal{L} = x^2 + y^2 + \lambda(x + 2y - 5)$$
>
> $$\begin{cases} \mathcal{L}_x = 2x + \lambda = 0 \\ \mathcal{L}_y = 2y + 2\lambda = 0 \\ \mathcal{L}_\lambda = x + 2y - 5 = 0 \end{cases}$$
>
> Ur de två första: $\lambda = -2x$ och $\lambda = -y$, alltså $y = 2x$. Insatt i bivillkoret: $x + 4x = 5 \Rightarrow x = 1$, $y = 2$.
>
> $$f(1, 2) = 1 + 4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad \text{avstånd} = \sqrt{5}.$$

> [!example]- Exempel 2 — Punkter på en ellips närmast och längst från origo
> Ellipsen $17x^2 + 12xy + 8y^2 = 100$. Bestäm de punkter på ellipsen som ligger närmast respektive längst från origo.
>
> Optimera $f(x, y) = x^2 + y^2$ under $g(x, y) = 17x^2 + 12xy + 8y^2 - 100 = 0$.
>
> Gradienter:
> $$\vec{\nabla} f = \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}, \qquad \vec{\nabla} g = \begin{bmatrix} 34x + 12y \\ 12x + 16y \end{bmatrix}.$$
>
> Använd determinantformen:
> $$\begin{vmatrix} 2x & 34x + 12y \\ 2y & 12x + 16y \end{vmatrix} = 0$$
>
> $$2x(12x + 16y) - 2y(34x + 12y) = 0$$
>
> $$24x^2 + 32xy - 68xy - 24y^2 = 0 \iff 24x^2 - 36xy - 24y^2 = 0$$
>
> $$\iff 2x^2 - 3xy - 2y^2 = 0 \iff (2x + y)(x - 2y) = 0.$$
>
> Två fall: $y = -2x$ eller $x = 2y$.
>
> - **$y = -2x$** i bivillkoret: $17x^2 - 24x^2 + 32x^2 = 25x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = 4$. Då $f = x^2 + 4x^2 = 20$.
> - **$x = 2y$** i bivillkoret: $68y^2 + 24y^2 + 8y^2 = 100y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 1$. Då $f = 4y^2 + y^2 = 5$.
>
> **Svar:** närmast origo är $f = 5$ (avstånd $\sqrt{5}$) i $(\pm 2, \pm 1)$; längst från origo är $f = 20$ (avstånd $2\sqrt{5}$) i $(\pm 2, \mp 4)$.

> [!example]- Exempel 3 — Extremvärden på en sfär
> Bestäm största och minsta värde av $f(x, y, z) = x + y^2 + z$ på sfären $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
>
> Bivillkoret $g = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ är kompakt, så max och min existerar.
>
> $$\mathcal{L}_x : 1 + 2\lambda x = 0 \quad(1)$$
> $$\mathcal{L}_y : 2y + 2\lambda y = 0 \quad(2)$$
> $$\mathcal{L}_z : 1 + 2\lambda z = 0 \quad(3)$$
> $$\mathcal{L}_\lambda : x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad(4)$$
>
> Ekv. (2): $2y(1 + \lambda) = 0 \Rightarrow y = 0$ eller $\lambda = -1$.
>
> **Fall A: $y = 0$.** Från (1) och (3): $x = z = -\frac{1}{2\lambda}$. Insatt i (4): $2x^2 = 1 \Rightarrow x = z = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}$.
> Ger $f = x + 0 + z = 2x = \pm \sqrt{2}$.
>
> **Fall B: $\lambda = -1$.** Från (1): $x = \tfrac{1}{2}$; från (3): $z = \tfrac{1}{2}$. Insatt i (4): $\tfrac{1}{4} + y^2 + \tfrac{1}{4} = 1 \Rightarrow y^2 = \tfrac{1}{2}$.
> Ger $f = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$.
>
> Jämför: $\sqrt{2} \approx 1{,}414 < \tfrac{3}{2} = 1{,}5$ och $-\sqrt{2} < \tfrac{3}{2}$.
>
> **Svar:** största värdet är $\tfrac{3}{2}$ i $\bigl(\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \tfrac{1}{2}\bigr)$, minsta värdet är $-\sqrt{2}$ i $\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)$.

Hitta kortaste distansen från $(3,0)$ till $y=x^2$
$f(x,y)=\text{dist}^2=(x-3)^2+y^2$
$g(x,y)=y-x^2$
$\mathcal{L}(x,y)=\vec{0}$
![[Pasted image 20260422135926.png]]
---

## 7. Sammanhang med randundersökning

Lagranges metod är precis det man gör när man undersöker **randen** i ett [[Extremvärdesproblem]] på ett kompakt område $K = \{g \leq 0\}$:

1. Kritiska inre punkter: $\vec{\nabla} f = \vec{0}$ inuti $K$.
2. Singulära inre punkter.
3. **Rand $g = 0$:** Lagranges multiplikatormetod (eller parametrisering).

Jämför alla kandidatvärden — störst är max, minst är min.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=806|14.3 Lagrange Multipliers]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=814|14.4 Lagrange Multipliers in n-Space]]

## Se även

- [[Gradient och riktningsderivata]]
- [[Kritiska punkter]]
- [[Extremvärdesproblem]]
- [[Nivåkurvor och ytor]]
- [[Kvadratisk form]]

---

## Resurser

### Videor
- [3Blue1Brown / Khan Academy: Lagrange multipliers, using tangency to solve constrained optimization](https://youtu.be/yuqB-d5MjZA)
- [Khan Academy: Lagrange multipliers introduction](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/constrained-optimization/a/lagrange-multipliers-single-constraint)

### Wikipedia
- [Lagrange multiplier](https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier)

### Kurslitteratur
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=807&annotation=6037R|Adams — 14.3 Lagrange Multipliers]]