---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - kvantfysik
  - modell
förkunskaper:
  - "[[Schrödingerekvationen]]"
  - "[[Svängning]]"
status: utkast
aliases:
  - Harmonisk oscillator
  - Hermitefunktioner
  - Nollpunktsenergi
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Schrödingerekvationen]], [[Svängning]]

---

Med Hookes lag $F(x)=-k'x$ blir den potentiella energin $U(x)=\tfrac{1}{2}k'x^2$, och randvillkoret är att $\psi\to0$ när $x\to\pm\infty$. Lösningarna ges av Hermitefunktioner. Energinivåerna blir jämnt fördelade till skillnad från lådans, så avståndet mellan två grannnivåer är alltid $\Delta E=\hbar\omega$, vilket motsvarar fotoner i IR-området. Den lägsta nivån ligger inte i noll utan på $\tfrac{1}{2}\hbar\omega$.

$$
\boxed{\;E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{k'}{m}}\;}
$$

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
E_n=\Big(\underbrace{n}_{\substack{\text{antal}\\\text{steg}}}+\underbrace{\frac{1}{2}}_{\substack{\text{noll-}\\\text{punkten}}}\Big)\,\underbrace{\hbar\omega}_{\substack{\text{ett}\\\text{steg}}}
$$

$$
\omega=\sqrt{\dfrac{\overbrace{k'}^{\text{fjäderkonstanten}}}{\underbrace{m}_{\text{massan}}}}
$$

Nivåerna bildar en stege där alla steg är lika höga, $\hbar\omega$, och det lägsta ligger ett halvt steg över botten. En styvare fjäder eller en lättare massa ger högre steg.

---

## 1. Schrödingerekvationen för oscillatorn

Klassiskt svänger en massa i en fjäder med vinkelfrekvensen $\omega=\sqrt{k'/m}$ (se [[Svängning]]) mellan två vändpunkter $\pm A$. Där är all energi potentiell, så $\tfrac12k'A^2=E$. Kvantmekaniskt sätter vi in $U=\tfrac12k'x^2$ i [[Schrödingerekvationen]]:

$$
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\dfrac{1}{2}k'x^{2}\psi=E\psi
$$

Dessutom måste $\psi\to0$ när $|x|\to\infty$, annars går vågfunktionen inte att normera.

---

## 2. Varför bara vissa energier

Skriv om ekvationen så att krökningen står ensam:

$$
\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\dfrac{2m}{\hbar^{2}}\left(\dfrac{1}{2}k'x^{2}-E\right)\psi
$$

- **Innanför vändpunkterna** är parentesen negativ. Då har $d^2\psi/dx^2$ motsatt tecken mot $\psi$, kurvan böjer sig mot $x$-axeln och $\psi$ oscillerar.
- **Utanför vändpunkterna** är parentesen positiv. Då böjer kurvan bort från axeln, och en godtycklig lösning växer utan gräns.

Bara för vissa värden på $E$ lämnar kurvan det oscillerande området precis så att den närmar sig noll på båda sidor. Det är de energier som ingressens formel ger. Samma resonemang förklarar kvantiseringen i den [[Partikel i potentialbrunn|ändliga brunnen]].

---

## 3. Grundtillståndet

Den lägsta lösningen är en Gaussklocka utan nollställen:

$$
\psi_0(x)=Ce^{-\sqrt{mk'}\,x^{2}/2\hbar}
$$

> [!note]- Kontroll av grundtillståndet och normering
> **Kortform.** Sätt $\alpha=\sqrt{mk'}/\hbar=m\omega/\hbar$ så att $\psi_0=Ce^{-\alpha x^{2}/2}$.
>
> **Derivera två gånger.**
> $$
> \dfrac{d\psi_0}{dx}=-\alpha x\,\psi_0
> $$
> $$
> \dfrac{d^{2}\psi_0}{dx^{2}}=\left(\alpha^{2}x^{2}-\alpha\right)\psi_0
> $$
>
> **Sätt in i ekvationen.**
> $$
> -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(\alpha^{2}x^{2}-\alpha\right)\psi_0+\dfrac{1}{2}k'x^{2}\psi_0=E\psi_0
> $$
>
> **Termerna med $x^2$.** De tar ut varandra för alla $x$, och det är därför $\alpha$ valdes som den gjordes:
> $$
> \dfrac{\hbar^{2}\alpha^{2}}{2m}=\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\dfrac{mk'}{\hbar^{2}}=\dfrac{k'}{2}
> $$
>
> **Konstanta termer.** Det som blir kvar är energin:
> $$
> E=\dfrac{\hbar^{2}\alpha}{2m}=\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\dfrac{m\omega}{\hbar}=\dfrac{1}{2}\hbar\omega
> $$
> Det är $E_0$ i ingressens formel.
>
> **Normering.** Med Gaussintegralen $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\sqrt{\pi/\alpha}$:
> $$
> C^{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}=1\qquad\Longrightarrow\qquad C=\left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
> $$

Med $\sqrt{mk'}=m\omega$ blir det normerade grundtillståndet

$$
\boxed{\psi_0(x)=\left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}}
$$

De högre tillstånden är samma Gaussfaktor multiplicerad med ett polynom av grad $n$, ett Hermitepolynom. $\psi_n$ har $n$ nollställen och är omväxlande jämn och udda.

![[f05-osc-psi.png|520]]

*De fyra lägsta tillstånden ritade på sina energinivåer i parabeln. De streckade linjerna markerar de klassiska vändpunkterna $\pm A_n$, och vågfunktionerna sträcker sig en bit utanför dem.*

---

## 4. Jämförelse med den klassiska oscillatorn

**Amplituden.** En klassisk oscillator med energin $E_n$ har amplituden $A_n$, där $\tfrac12k'A_n^2=(n+\tfrac12)\hbar\omega$. Med $k'=m\omega^2$ blir

$$
\boxed{A_n=\sqrt{\dfrac{(2n+1)\hbar}{m\omega}}}
$$

**Utanför vändpunkterna.** I grundtillståndet ligger ungefär $16\,\%$ av sannolikheten utanför $\pm A_0$. Där kan partikeln klassiskt aldrig vara, precis som inuti en barriär vid [[Kvantmekanisk tunnling|tunnling]].

**Var partikeln helst är.** En klassisk massa rör sig långsammast vid vändpunkterna och är därför oftast där. I kvantmekanikens grundtillstånd är det tvärtom mest sannolikt att hitta partikeln i mitten. För stora $n$ närmar sig $|\psi_n|^2$ i medeltal den klassiska fördelningen, som korrespondensprincipen kräver.

**Nollpunktsenergin.** Energin kan inte vara noll. Då skulle partikeln ligga still exakt i $x=0$, med både $\Delta x=0$ och $\Delta p=0$. Grundtillståndet har de minsta spridningar som [[Heisenbergs osäkerhetsprincip]] tillåter:

$$
\Delta x=\dfrac{A_0}{\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\qquad\Delta p=\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}
$$

$$
\Delta x\,\Delta p=\dfrac{\hbar}{2}
$$
*Fysika: Fd3 (Heisenbergs osäkerhetsrelation, $\Delta p_x\cdot\Delta x\ge h/4\pi$; grundtillståndet ger likhet)*

> [!note]- Härledning av $\Delta x$ och $\Delta p$
> **Läget.** Medelvärdet av $x$ är noll av symmetriskäl, så $(\Delta x)^2$ är medelvärdet av $x^2$. Med $|\psi_0|^2=C^2e^{-\alpha x^2}$ och $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx=\dfrac{1}{2\alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}$:
> $$
> (\Delta x)^{2}=C^{2}\cdot\dfrac{1}{2\alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}=\dfrac{1}{2\alpha}=\dfrac{\hbar}{2m\omega}
> $$
>
> **Rörelsemängden.** Energin fördelar sig lika på kinetisk och potentiell i medeltal, så medelvärdet av $p^2/2m$ är $\tfrac12E_0$:
> $$
> \dfrac{(\Delta p)^{2}}{2m}=\dfrac{1}{4}\hbar\omega\qquad\Longrightarrow\qquad(\Delta p)^{2}=\dfrac{m\hbar\omega}{2}
> $$
>
> **Produkten.**
> $$
> \Delta x\,\Delta p=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}\cdot\dfrac{m\hbar\omega}{2}}=\dfrac{\hbar}{2}
> $$

**Tillämpningar.** Nära botten ser nästan varje potentialminimum ut som en parabel, så modellen beskriver vibrationer i molekyler och kristaller. I en tvåatomig molekyl byts $m$ mot den [[Reducerad massa|reducerade massan]] $m_r$. Övergången $n\to n+1$ absorberar en foton med $hf=\hbar\omega$, oftast i infrarött. Se [[Molekylvibration]].

![[f05-osc-stege.png|520]]

*Vänster: en tvåatomig molekyl, där bindningen fungerar som en fjäder. Höger: på samma energiskala glesnar lådans nivåer som $n^2$, medan oscillatorns ligger på jämna steg $\hbar\omega$ ovanför nollpunktsenergin $\tfrac12\hbar\omega$. Varje steg uppåt kostar samma foton, oftast i infrarött.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **$n$ börjar på 1.** Grundtillståndet är $n=0$ med $E_0=\tfrac12\hbar\omega$. Det är inte $\hbar\omega$ och inte noll.
> - **$\omega$ och $f$ blandas ihop.** Nivåavståndet är $\hbar\omega=hf$. Skriver man $h\omega$ blir det $2\pi$ gånger för stort.
> - **Nivåavståndet tros växa med $n$.** I lådan växer $E_n$ som $n^2$, men i oscillatorn är avståndet alltid $\hbar\omega$.
> - **Massan i stället för den reducerade massan.** I en molekyl svänger båda atomerna, så $\omega=\sqrt{k'/m_r}$.
> - **$k'$ blandas ihop med vågtalet $k$.** Primtecknet skiljer fjäderkonstanten från vågtalet.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Kolmonoxidens vibration
> En kolmonoxidmolekyl absorberar infrarött ljus med våglängden $4{,}67\text{ μm}$ när den går från vibrationens grundtillstånd till första exciterade tillståndet. Atommassorna är $12{,}000$ u för kol och $15{,}995$ u för syre. Behandla vibrationen som en harmonisk oscillator.
>
> a) Beräkna avståndet mellan vibrationsnivåerna i eV.
> b) Beräkna vinkelfrekvensen och bindningens kraftkonstant.
> c) Beräkna nollpunktsenergin.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a) Nivåavståndet.** Fotonens energi är skillnaden mellan två grannivåer:
> > $$
> > \hbar\omega=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{4670\text{ nm}}\approx\boxed{0{,}265\text{ eV}}
> > $$
> >
> > **b) Vinkelfrekvensen.**
> > $$
> > \omega=\dfrac{0{,}2655\cdot1{,}602\cdot10^{-19}}{1{,}055\cdot10^{-34}}\approx\boxed{4{,}03\cdot10^{14}\text{ rad/s}}
> > $$
> > *Fysika: Te ($e$, $\hbar$)*
> >
> > **Reducerade massan.**
> > $$
> > m_r=\dfrac{12{,}000\cdot15{,}995}{12{,}000+15{,}995}\text{ u}=6{,}856\text{ u}=1{,}14\cdot10^{-26}\text{ kg}
> > $$
> >
> > **Kraftkonstanten.** Ur $\omega=\sqrt{k'/m_r}$:
> > $$
> > k'=m_r\omega^{2}=1{,}139\cdot10^{-26}\cdot\left(4{,}034\cdot10^{14}\right)^{2}\approx\boxed{1{,}85\cdot10^{3}\text{ N/m}}
> > $$
> >
> > **c) Nollpunktsenergin.**
> > $$
> > E_0=\dfrac{1}{2}\hbar\omega=\boxed{0{,}133\text{ eV}}
> > $$
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Elektron i en harmonisk fälla
> En elektron är instängd i en potential som kan beskrivas som en harmonisk oscillator med nivåavståndet $\hbar\omega=50{,}0$ meV.
>
> a) Beräkna vinkelfrekvensen och våglängden hos den foton som lyfter elektronen från $n=0$ till $n=1$.
> b) Beräkna den klassiska amplituden $A_0$ för grundtillståndets energi.
> c) Beräkna $\Delta x$ och $\Delta p$ i grundtillståndet och visa att produkten är $\hbar/2$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a) Vinkelfrekvensen.**
> > $$
> > \omega=\dfrac{0{,}0500\cdot1{,}602\cdot10^{-19}}{1{,}055\cdot10^{-34}}\approx\boxed{7{,}60\cdot10^{13}\text{ rad/s}}
> > $$
> >
> > **Fotonen.** Dess energi är $\hbar\omega$:
> > $$
> > \lambda=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{0{,}0500\text{ eV}}=24\,800\text{ nm}=\boxed{24{,}8\text{ μm}}
> > $$
> >
> > **b) Amplituden.** Med $n=0$:
> > $$
> > A_0=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m_e\omega}}=\sqrt{\dfrac{1{,}055\cdot10^{-34}}{9{,}109\cdot10^{-31}\cdot7{,}596\cdot10^{13}}}\approx\boxed{1{,}23\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **c) Spridningen i läge.**
> > $$
> > \Delta x=\dfrac{A_0}{\sqrt2}=\boxed{0{,}873\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Spridningen i rörelsemängd.**
> > $$
> > \Delta p=\sqrt{\dfrac{m_e\hbar\omega}{2}}=\sqrt{\dfrac{9{,}109\cdot10^{-31}\cdot0{,}0500\cdot1{,}602\cdot10^{-19}}{2}}\approx\boxed{6{,}04\cdot10^{-26}\text{ kg}\cdot\text{m/s}}
> > $$
> >
> > **Produkten.**
> > $$
> > \Delta x\,\Delta p=8{,}73\cdot10^{-10}\cdot6{,}04\cdot10^{-26}=5{,}27\cdot10^{-35}\text{ J}\cdot\text{s}=\dfrac{\hbar}{2}
> > $$
> > Grundtillståndet ligger alltså precis på gränsen i osäkerhetsprincipen.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1373|40.5 The Harmonic Oscillator]]

---

← [[Sveptunnelmikroskopet]] · [[F0005T]] · [[Schrödingerekvationen för väteatomen]] →