--- kurs: - M0067M - M0068M tags: - linjär-algebra - vektorrum förkunskaper: - "[[Matriser]]" - "[[Determinanter]]" status: utkast aliases: - Vektorprodukt - Cross product --- --- ## 1. Kryssprodukt (vektorprodukt) > [3B1B: Cross products](https://youtu.be/eu6i7WJeinw) · [3B1B: Cross products pt. 2](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0) Kryssprodukten finns enbart i $\mathbb{R}^3$. Man kan se $\mathbb{R}^2$ som en delmängd av $\mathbb{R}^3$ genom att sätta $z = 0$, dvs. $(x, y, 0)$. ### 1.1 Syfte Givet ett plan på parameterform $\vec{x} = \vec{x_0} + s\vec{u} + t\vec{v}$ ger kryssprodukten $\vec{u} \times \vec{v}$ en normalvektor som är ortogonal mot båda riktningsvektorerna. ### 1.2 Definition $$ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $$ $$ \boxed{\vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \;\; u_3 v_1 - u_1 v_3, \;\; u_1 v_2 - u_2 v_1)} $$ **Minnesregel:** Skriv upp vektorerna under varandra. För varje komponent, täck den kolonnen och ta korsvis multiplikation av de kvarvarande — byt tecken på mittkomponenten. > [!example]- Beräkna $(-1, 2, 3) \times (2, -6, 1)$ > > Skriv upp vektorerna: > $$(-1, \; 2, \; 3)$$ > $$(2, \; -6, \; 1)$$ > > Komponent 1: $2 \cdot 1 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20$ > Komponent 2: $-((-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -(-1 - 6) = 7$ > Komponent 3: $(-1) \cdot (-6) - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$ > > Svar: $(20, 7, 2)$ > > Kontrollera [[Ortogonalitet|ortogonalitet]] med [[Skalärprodukt|skalärprodukt]]: > - $(-1,2,3) \bullet (20,7,2) = -20 + 14 + 6 = 0$ ✓ > - $(2,-6,1) \bullet (20,7,2) = 40 - 42 + 2 = 0$ ✓ > [!note]- Alternativ metod — determinantformen > Skriv kryssprodukten som en formell determinant med basvektorerna $\hat i,\hat j,\hat k$ på första raden: > $$\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}=\hat i\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}-\hat j\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}+\hat k\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}$$ > Likt förra metoden täcker man en kolumn i taget och tar determinanten av det som blir kvar. ### 1.3 Sats $$ \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3 \implies \vec{u} \perp (\vec{u} \times \vec{v}) \text{ och } \vec{v} \perp (\vec{u} \times \vec{v}) $$ **Bevis:** $(u_1, u_2, u_3) \bullet (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1)$ $= u_1 u_2 v_3 - u_1 u_3 v_2 + u_2 u_3 v_1 - u_2 u_1 v_3 + u_3 u_1 v_2 - u_3 u_2 v_1 = 0$ Varje term tar ut sig. Analogt för $\vec{v}$. --- ## 2. Räkneregler för kryssprodukt ![Högerhandsregeln|250](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Right_hand_rule_cross_product.svg) > **Högerhandsregeln:** Bilden illustrerar högerhandsregeln för kryssprodukt mellan två vektorer **a** och **b**. När du formar en högerhand som visas: > > - **Pekfingret** (blå pil) pekar i riktning mot vektor **a** > - **Långfingret** (röd pil) pekar i riktning mot vektor **b** > - **Tummen** (lila pil) visar då riktningen på kryssproduktsvektorn **a × b** > > Kryssproduktsvektorn **a × b** blir alltså vinkelrät mot både **a** och **b**, och dess riktning bestäms av högerhandsregeln. Om du vänder på ordningen till **b × a** får du motsatt riktning (tummen pekar nedåt istället). - $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ — **ej kommutativ** (antikommutativ) - $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ — distributiv - $k(\vec{u} \times \vec{v}) = (k\vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k\vec{v})$ - $\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0}$ - $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ --- ## 3. Lagranges identitet $$|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$$ --- ## 4. Geometriska egenskaper Givet två vektorer $\vec{u}$ och $\vec{v}$: - $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{u}$ och $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{v}$ - $|\vec{u} \times \vec{v}|$ = arean av parallellogrammet - Riktning enligt **högerhandsregeln** --- ## 5. Exempel: Area av triangel Bestäm arean av triangeln med hörnen $A = (1, 0, 3)$, $B = (-2, 1, -1)$, $C = (1, 1, 2)$. **Lösning:** $$\vec{AB} = B - A = (-3, 1, -4)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0, 1, -1)$$ $$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ --- ## 6. Trippelskalärprodukt $$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$$ Kan beräknas som en determinant: $$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}$$ --- ## 7. Satser: Geometrisk tolkning av determinanter > [3B1B: The determinant](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) ### 7.1 Area av parallellogram i $\mathbb{R}^2$ $$\text{Area} = \left| \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{bmatrix} \right|$$ ### 7.2 Volym av parallellepiped i $\mathbb{R}^3$ $$\text{Volym} = \left| \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} \right| = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$ --- ## 8. Avstånd mellan punkt och linje > [!example]- Exempel: Avstånd från punkt till linje > Givet en punkt $P$ och en linje $L$ genom punkten $Q$ med riktningsvektor $\vec{d}$. > > **Metod:** > > 1. Bilda vektorn $\vec{QP}$ från en punkt på linjen till punkten $P$ > 2. Beräkna kryssprodukten $\vec{QP} \times \vec{d}$ — detta ger en vektor vars längd är arean av parallellogrammet som spänns upp av $\vec{QP}$ och $\vec{d}$ > 3. Arean av ett parallellogram är bas × höjd, så höjden (avståndet) fås genom att dividera med basen $|\vec{d}|$ > > **Formel:** $$\text{Avstånd} = \frac{|\vec{QP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$$ --- ## 9. Avstånd mellan två skeva linjer i $\mathbb{R}^3$ Två linjer är **skeva** om de varken skär varandra eller är parallella (endast möjligt i 3D). > [!example]- Exempel: Avstånd mellan två skeva linjer > Givet två skeva linjer: > > - $L_1$: genom $P_1$ med riktningsvektor $\vec{d}_1$ > - $L_2$: genom $P_2$ med riktningsvektor $\vec{d}_2$ > > **Metod:** > > 1. Bilda ett plan $\pi$ som **innehåller $L_1$** och är **parallellt med $L_2$** > 2. Planets normalvektor är $\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ (vinkelrät mot båda riktningsvektorerna) > 3. Välj en punkt $P_2$ på $L_2$ och beräkna avståndet från denna punkt till planet $\pi$ > 4. Avståndet punkt→plan fås genom att projicera $\vec{P_1 P_2}$ på normalvektorn $\vec{n}$ > > **Formel:** $$\text{Avstånd} = \frac{|\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2)|}{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|}$$ > > Täljaren är absolutbeloppet av trippelskalärprodukten (volymen av parallellepipeden), och nämnaren är arean av basparallellogrammet. --- ## 10. Avstånd mellan punkt och plan > [!example]- Exempel: Plan genom tre punkter + avstånd > Givet: $P = (1, 0, 2)$, $Q = (-1, 1, 3)$, $R = (-2, 1, 0)$, $S = (2, 2, -1)$ > > Bestäm planet genom $P, Q, R$ och avståndet från $S$ till planet. > > **Metod:** > > **Steg 1: Hitta två vektorer som ligger i planet** Tre punkter definierar ett plan. Genom att dra vektorer mellan punkterna får vi vektorer som ligger _i_ planet. $$\vec{PQ} = Q - P = (-2, 1, 1)$$ $$\vec{PR} = R - P = (-3, 1, -2)$$ > > **Steg 2: Beräkna planets normalvektor** Kryssprodukten av två vektorer ger en vektor som är vinkelrät mot båda. Alltså: $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ ger en vektor som är vinkelrät mot planet — planets normalvektor. $$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -2 & 1 & 1 \ -3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-3, -7, 1)$$ > > > [!tip]- Stefans metod (ortogonal projektion) > > Här kan vi hoppa direkt till avståndet utan att skriva ut planets ekvation! > > > > **Idé:** Avståndet från $S$ till planet är samma sak som längden av projektionen av $\vec{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$. > > > > $$\vec{PS} = S - P = (2-1, 2-0, -1-2) = (1, 2, -3)$$ > > > > Ortogonal projektion av $\vec{PS}$ på $\vec{n}$: $$\text{proj}_{\vec{n}} \vec{PS} = \frac{\vec{PS} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}$$ > > > > Längden (= avståndet): $$d = \left| \frac{\vec{PS} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \frac{|1(-3) + 2(-7) + (-3)(1)|}{\sqrt{59}} = \frac{20}{\sqrt{59}}$$ > > > > Snabbare — vi behöver aldrig planets ekvation! > > **Steg 3: Ställ upp planets ekvation** Ett plan kan beskrivas som alla punkter $\vec{r}$ där vektorn från en känd punkt ($P$) till $\vec{r}$ är vinkelrät mot normalen. $$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{P}) = 0$$ $$-3(x - 1) - 7(y - 0) + 1(z - 2) = 0$$ $$-3x - 7y + z + 1 = 0$$ > > **Steg 4: Beräkna avståndet från $S$ till planet** Kortaste avståndet från en punkt till ett plan är längs normalens riktning. Vi projicerar vektorn $\vec{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$. $$\vec{PS} = S - P = (1, 2, -3)$$ $$d = \frac{|\vec{PS} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-3)(1) + (-7)(2) + (1)(-3)|}{\sqrt{9 + 49 + 1}} = \frac{20}{\sqrt{59}}$$ Kryssprodukt - Jämn permutation --- ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=607|10.3 The Cross Product in 3-Space]] ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Cross products (kap 10)](https://youtu.be/eu6i7WJeinw) — vad kryssprodukten betyder geometriskt - [3Blue1Brown: Cross products in the light of linear transformations (kap 11)](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0) — djupare förståelse via determinanter - [3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9)](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — skalärprodukt som kontrast - [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — area och volym som determinant ### Interaktiva verktyg - GeoGebra: Cross Product Visualisation 3D — roterbar 3D-visualisering - GeoGebra: Cross Product and Area Visualization — parallellogram-area ### Wikipedia - [Cross product](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product) - [Triple product](https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product) - [Parallelepiped](https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped) - [Line (geometry) — Parametric form](https://en.wikipedia.org/wiki/Line_(geometry)#In_higher_dimensions) - [Plane (geometry)](https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry)) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 2: Vectors](https://immersivemath.com/ila/ch02_vectors/ch02.html)