---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "19.5–19.8"
tags:
  - fysik
  - termodynamik
  - processer
förkunskaper:
  - "[[Termodynamikens första lag]]"
  - "[[Ideala gaser]]"
  - "[[Integraler]]"
status: true
aliases:
  - Termodynamiska processer
  - Isoterm process
  - Isobar process
  - Isokor process
  - Adiabatisk process
  - Poissons lagar
---

> **Kapitel:** 19.5–19.8 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Termodynamikens första lag]], [[Ideala gaser]], [[Integraler]]

---

## 1. Översikt av de fyra processerna

| Process | Villkor | Karakteristik i pV-diagram | Minnes­knep |
|---|---|---|---|
| **Isoterm** | $T$ = konst | Hyperbel ($pV$ = konst) | *Iso*-therm = samma *temperatur* |
| **Isobar** | $p$ = konst | Horisontell linje | *Iso*-bar = samma *bar* (tryck) |
| **Isokor** | $V$ = konst | Vertikal linje | *Iso*-kor = samma *volym* |
| **Adiabatisk** | $Q = 0$ | Brant hyperbel ($pV^\gamma$ = konst) | Inga värmeutbyten |

---

## 2. Isoterm process ($T$ = konstant)

### 2.1 Analys

_Gasen expanderar (eller komprimeras) i termisk jämvikt med omgivningen — temperaturen hålls konstant._

- $\Delta U = nC_V \Delta T = 0$ (inga temperaturändringar)
- Från 1:a HS: $Q = W$
- Arbete: $W = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$

> [!tip] Intuition: Isoterm
>
> All tillförd värme omvandlas till arbete — ingen energi "stannar kvar" i gasen. $pV = nRT = \text{konst}$ ger en hyperbelkurva i pV-diagrammet.

> [!example]- Exempel: Isoterm expansion
>
> 0,100 mol av en ideal monoatomär gas vid $T = 300\ \text{K}$ expanderar från $V_1 = 2{,}50 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$ till $V_2 = 5{,}00 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$.
>
> $$W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} = 0{,}100 \times 8{,}314 \times 300 \times \ln(2) \approx 173\ \text{J}$$
>
> $$\Delta U = 0, \quad Q = W = 173\ \text{J}$$

---

## 3. Isobar process ($p$ = konstant)

### 3.1 Analys

_Gasen expanderar eller komprimeras vid konstant tryck, t.ex. kolv med konstant vikt ovanpå._

- $W = p\Delta V = p(V_2 - V_1) = nR\Delta T$ (rektangelarea i pV-diagram)
- $Q = nC_p\Delta T$
- $\Delta U = nC_V\Delta T$

> [!tip] Intuition: Isobar
>
> En del av den tillförda värmen går till att expandera gasen (arbete), resten till att höja temperaturen. Därför behövs $C_p$ och inte $C_V$ — det är mer energikrävande att värma vid konstant tryck.

---

## 4. Isokor process ($V$ = konstant)

### 4.1 Analys

_Gasen värms eller kyls i en sluten, stel behållare._

- $W = 0$ (ingen volymändring, inget arbete)
- $Q = \Delta U = nC_V\Delta T$
- Trycket ändras: $p/T = \text{konst}$

> [!tip] Intuition: Isokor
>
> Eftersom ingen expansion sker behöver all tillförd värme bara höja molekylernas rörelseenergi — därav $C_V$.

---

## 5. Adiabatisk process ($Q = 0$)

### 5.1 Grundprincip

> [!abstract] Definition: Adiabatisk process
> En adiabatisk process utbyter **inget värme** med omgivningen — antingen pga perfekt isolering eller pga att processen sker för snabbt.
>
> $$Q = 0 \implies \Delta U = -W$$

Konsekvenser:

| Händelse | Orsak | Effekt |
|---|---|---|
| Expansion ($W > 0$) | Gasen gör arbete | $\Delta U < 0$ → temperaturen sjunker |
| Kompression ($W < 0$) | Arbete utförs på gasen | $\Delta U > 0$ → temperaturen stiger |

> [!tip] Intuition: Diesel-antändning
>
> En dieselmotor komprimerar luften adiabatiskt tills temperaturen är hög nog att antända bränslet — utan tändstift. Kompressionen värmer luften dramatiskt.

### 5.2 Poissons lagar

> [!theorem] Poissons lagar för adiabatisk process
> För en ideal gas vid adiabatisk process gäller:
>
> $$\boxed{pV^\gamma = \text{konstant}}$$
>
> $$TV^{\gamma-1} = \text{konstant}$$
>
> $$T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{konstant}}$$
>
> där $\gamma = C_p/C_V$ är adiabatindex (beror på gastyp).

Jämförelseform (tillstånd 1 → tillstånd 2):

$$p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma, \qquad T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$$

### 5.3 Arbete vid adiabatisk process

$$\boxed{W = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1} = nC_V(T_1 - T_2)}$$

### 5.4 Adiabaten är brantare än isotermen

I ett pV-diagram:

- Isoterm: $p \propto V^{-1}$
- Adiabat: $p \propto V^{-\gamma}$ (brantare, eftersom $\gamma > 1$)

> [!tip] Intuition: Varför brantare?
>
> Vid adiabatisk expansion kyls gasen (ingen värme tillförs). Lägre temperatur → lägre tryck vid samma volym. Kurvan faller därför snabbare än en isoterm.

---

## 6. Sammanfattning: formler för alla processer

| Process | $W$ | $Q$ | $\Delta U$ |
|---|:-:|:-:|:-:|
| Isoterm | $nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$ | $= W$ | $0$ |
| Isobar | $p\Delta V = nR\Delta T$ | $nC_p\Delta T$ | $nC_V\Delta T$ |
| Isokor | $0$ | $nC_V\Delta T$ | $= Q$ |
| Adiabatisk | $\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$ | $0$ | $nC_V\Delta T$ |

> [!example]- Checklista: Lösa termodynamikproblem
>
> 1. Identifiera vilken process: $T$, $p$, $V$ konstant, eller $Q = 0$?
> 2. Skriv upp rätt samband för processen.
> 3. Använd ideala gaslagen $pV = nRT$ vid behov.
> 4. Använd 1:a HS: $Q = \Delta U + W$.
> 5. Kom ihåg: $\Delta U = nC_V\Delta T$ **alltid** för ideal gas.
> 6. Kontrollera enheter och rimlighet!

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-550-1100.pdf#page=125|20.2 Heat Engines]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-550-1100.pdf#page=134|20.6 The Carnot Cycle]]

## Se även

- [[Termodynamikens första lag]] — $Q = \Delta U + W$ och inre energi
- [[Ideala gaser]] — ideala gaslagen, $C_V$, $\gamma$
- [[Termodynamikens andra huvudsats]] — värmemaskiner och Carnot-cykeln

---

## Resurser

### Interaktiva verktyg
- [PhET — Gas Properties](https://phet.colorado.edu/en/simulations/gas-properties) — visualisering av gasprocesser

### Wikipedia
- [Thermodynamic process](https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamic_process)
- [Adiabatic process](https://en.wikipedia.org/wiki/Adiabatic_process)
- [Isothermal process](https://en.wikipedia.org/wiki/Isothermal_process)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 19
- Fysika upplaga 5, kap 19 (Fa5: formelblad)

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2025-12-10 och 2025-12-12, F0004T
> Föreläsare: Erik Elfgren

### 2025-12-10 – TERMO6: Termodynamik för ideala gaser (kap 19)

#### 19.6 Inre energi för en ideal gas

Temperaturen är ett mått på molekylernas genomsnittliga kinetiska energi:
$$K_{tr}=\frac{3}{2}k_B T, \quad k_B=R/N_A$$

Den inre energin för en ideal gas beror **enbart på temperaturen**:
$$U=U(T), \quad \Delta U=nC_V\Delta T$$

*Konsekvens:* Vid isoterm expansion ($T=$konst): $\Delta U=0 \implies Q=W$.

#### 19.7 Värmekapacitet för ideal gas

$$Q=nC\Delta T$$

**Vid konstant volym ($C_V$):** Gasen kan ej expandera → all tillförd värme → inre energi: $Q_V=\Delta U$

**Vid konstant tryck ($C_p$):** Gasen expanderar → värme måste räcka till BÅDE inre energi OCH arbete → $C_p>C_V$

**Sambandet $C_p=C_V+R$** (härledning via 1:a HS + ideala gaslagen):
$$dQ_p=dU+dW=nC_V\,dT+nR\,dT=n(C_V+R)\,dT$$

**Adiabatindex:**
$$\gamma=\frac{C_p}{C_V}>1$$

| Gastyp | Frihetsgrader | $C_V$ | $C_p$ | $\gamma$ |
|---|---|---|---|---|
| Monoatomär (He, Ne, Ar) | 3 | $\frac{3}{2}R$ | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{5}{3}\approx1.67$ |
| Diatomär (N₂, O₂, H₂) | 5 | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{7}{2}R$ | $\frac{7}{5}=1.40$ |
| Fleratomär (CO₂, H₂O) | 6 | $3R$ | $4R$ | $\frac{4}{3}\approx1.33$ |

#### 19.8 Adiabatiska processer

Poissons lagar:
$$pV^\gamma=\text{konst}, \quad TV^{\gamma-1}=\text{konst}$$

Arbete:
$$W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}=nC_V(T_1-T_2)$$

Adiabaten är **brantare** än isotermen ($p\propto V^{-\gamma}$ vs $p\propto V^{-1}$, och $\gamma>1$).

**Övning 19.32** – 0.100 mol monoatomär gas, $p_1=10^5$ Pa, $V_1=2.50\times10^{-3}$ m³:

| Process | $T_2$ (K) | $p_2$ (kPa) |
|---|---|---|
| Isoterm | 300.7 | 50.0 |
| Isobar | 601.4 | 100 |
| Adiabatisk | 189.5 | 31.5 |

---

### 2025-12-12 – TERMO7: Andra huvudsatsen och värmemaskiner (kap 20)

#### 20.0 Andra huvudsatsen

Entropi (oordning) ökar alltid.

#### 20.1 Processers riktning

I verkligheten är alla processer irreversibla. I ideala situationer kan vi ha reversibla processer (nära jämvikt). I en reversibel process kan en liten systemändring byta riktning.

**Irreversibla processer:** Friktion, blandning av vätskor, värmeöverföring med icke-försumbar temp-skillnad.

#### 20.2 Värmemaskiner

$$\text{Värme} \implies \text{Arbete}$$

Värmemaskiner är ofta cykliska: $\Delta U_{tot}=0$

1:a HS: $Q_{tot}=W_{tot}$ ($Q_H>0$, $Q_C=Q_L<0$)

En del värme går alltid till spillo ($Q_L\neq0$). Verkningsgrad:
$$e=\frac{W}{Q_H}=1+\frac{Q_L}{Q_H}=1-\left|\frac{Q_L}{Q_H}\right|<1$$

#### 20.3 OTTO-cykeln (bensinmotorer)

Tolkning av stegen:
- $6\to3$: Kompression (adiabatisk)
- $3\to4$: Värmetillförsel (isokor): $Q_H=nC_v(T_c-T_b)>0$
- $4\to5$: Expansion (adiabatisk)
- $5\to6$: Värmebortförsel (isokor): $Q_L=nC_v(T_a-T_d)<0$

Verkningsgrad:
$$e=1+\frac{Q_L}{Q_H}=1-r^{\gamma-1}$$
$r$ = kompressionsförhållande

Exempel: $r=8$, $\gamma=1.4 \implies e_{teor}=56\%$, verkligt $\approx35\%$ (friktion, värmeförlust, turbulens, ej ideal gas)

#### Diesel-cykeln

- $a\to b$: Kompression (adiabatisk)
- $b\to c$: Expansion (isobar)
- $c\to d$: Expansion (adiabatisk)
- $d\to a$: Kylning (isokor)

$r=15-20$, $e_{teor}=65\%$, $e_{verkl}=50\%$, $e_{motor}=40\%$

#### Carnot-cykeln (den perfekta värmemaskinen)

Inga irreversibla processer → upptag/avgivning av värme isotermt. I övrigt inga värmeförluster → adiabater.

Steg: isoterm ($a\to b$) → adiabat ($b\to c$) → isoterm ($c\to d$) → adiabat ($d\to a$)

Verkningsgrad:
$$e_{Carnot}=1-\frac{T_L}{T_H}$$

(Härleds via att $\frac{V_b}{V_a}=\frac{V_c}{V_d}$ via Poissons lag för de adiabatiska stegen.)