---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Kovarians]]"
status: utkast
aliases:
  - Korrelationskoefficient
  - Korrelationskoefficienten
  - ρ(ξ, η)
  - Okorrelerade variabler
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Kovarians]]

---

[[Kovarians|Kovariansen]] mäter hur två stokastiska variabler samvarierar. Korrelationskoefficienten är den normerade varianten, som alltid ligger mellan $-1$ och $1$ och mäter det linjära beroendet — korrelation noll betyder att linjärt samband saknas, men inte nödvändigtvis att variablerna är oberoende.

---

## 1. Definitionen

**Definition 1.18** (kompendiet). **Korrelationskoefficienten** mellan $\xi_1$ och $\xi_2$ är

$$
\boxed{\rho(\xi_1,\xi_2) = \dfrac{\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)}{\sqrt{V(\xi_1)\,V(\xi_2)}} = \dfrac{\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)}{\sigma_1\,\sigma_2}}
$$

Vi skriver ibland $\rho_{12}$, eller bara $\rho$ när det är tydligt vilka variabler som avses. Divisionen med standardavvikelserna gör måttet dimensionslöst: det påverkas inte av om vi mäter i meter eller centimeter.

---

## 2. Gränserna

Det gäller alltid att

$$
\boxed{-1 \le \rho(\xi_1,\xi_2) \le 1}
$$

med likhet **om och endast om** $\xi_2$ är en linjär funktion av $\xi_1$, alltså $\xi_2 = a\xi_1 + b$. Tecknet på $\rho$ är tecknet på $a$.

| $\rho$ | Tolkning |
|---|---|
| nära $1$ | starkt positivt linjärt samband |
| nära $0$ | inget linjärt samband — variablerna är **okorrelerade** |
| nära $-1$ | starkt negativt linjärt samband |

![[lek18-korrelation-moln.png|640]]

Molnen visar observationspar från fyra fördelningar. Ju närmare $|\rho|$ är $1$, desto tätare ligger punkterna kring en linje.

---

## 3. Okorrelerad är inte oberoende

> [!warning] $\rho = 0$ betyder inte oberoende
> Oberoende variabler har alltid $\text{Cov} = 0$ och är alltså okorrelerade. Men det omvända gäller inte: $\rho$ fångar bara **linjärt** beroende. Är $(\xi,\eta)$ likformigt fördelad på en cirkelskiva är $\rho = 0$ av symmetriskäl, men variablerna är beroende — vet vi att $\xi$ är nära $1$ måste $\eta$ vara nära $0$.
>
> Undantaget är den [[Tvådimensionell normalfördelning|tvådimensionella normalfördelningen]], där okorrelerade variabler också är oberoende.

---

## 4. Hur $\rho$ påverkas av linjära omskrivningar

Ur räknereglerna för kovarians följer, för konstanter $a > 0$ och $b$:

$$
\rho(a\xi_1 + b,\ \xi_2) = \rho(\xi_1,\xi_2), \qquad \rho(-\xi_1,\ \xi_2) = -\rho(\xi_1,\xi_2)
$$

Att skala om eller flytta en variabel ändrar inte styrkan i sambandet, men att byta tecken vänder riktningen.

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

Övningarna märkta *Kompendiet* kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra.

> [!example]- Lektion 18, övning 1 — Kovarians och korrelation för omskrivna variabler
> Slumpvariablerna $\xi_1$ och $\xi_2$ har väntevärden $\mu_1, \mu_2$ och standardavvikelser $\sigma_1, \sigma_2$. Låt $\rho = \rho(\xi_1,\xi_2)$. Använd definitionerna för att bestämma kovarians och korrelation nedan, och kommentera om korrelationen beter sig som ett mått på linjärt samband.
>
> a) $\text{Cov}(\xi_1,\xi_1)$ och $\rho(\xi_1,\xi_1)$
>
> b) $\text{Cov}(\xi_1,2\xi_1)$ och $\rho(\xi_1,2\xi_1)$
>
> c) $\text{Cov}(\xi_1 + a,\xi_2)$ och $\rho(\xi_1 + a,\xi_2)$, där $a$ är en konstant
>
> d) $\text{Cov}(\xi_1,-\xi_2)$ och $\rho(\xi_1,-\xi_2)$
>
> e) $\text{Cov}(\xi_1 + \xi_2,\xi_3)$ och $\rho(\xi_1 + \xi_2,\xi_3)$, där $\xi_3$ har väntevärde $\mu_3$ och standardavvikelse $\sigma_3$, och $\rho(\xi_1,\xi_3) = \rho_{13}$, $\rho(\xi_2,\xi_3) = \rho_{23}$
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** $\text{Cov}(\xi_1,\xi_1) = E\big((\xi_1 - \mu_1)^2\big) = \boxed{\sigma_1^2}$, och $\rho = \sigma_1^2/(\sigma_1\sigma_1) = \boxed{1}$. En variabel har perfekt linjärt samband med sig själv.
> >
> > **b)** $2\xi_1$ har väntevärde $2\mu_1$ och standardavvikelse $2\sigma_1$:
> > $$
> > \text{Cov}(\xi_1,2\xi_1) = E\big((\xi_1 - \mu_1)\cdot2(\xi_1 - \mu_1)\big) = \boxed{2\sigma_1^2}, \qquad \rho = \dfrac{2\sigma_1^2}{\sigma_1\cdot2\sigma_1} = \boxed{1}
> > $$
> > Kovariansen ändras med skalan, korrelationen inte.
> >
> > **c)** $\xi_1 + a$ har väntevärde $\mu_1 + a$, så avvikelsen är oförändrad, $(\xi_1 + a) - (\mu_1 + a) = \xi_1 - \mu_1$:
> > $$
> > \text{Cov}(\xi_1 + a,\xi_2) = \boxed{\rho\,\sigma_1\sigma_2}, \qquad \rho(\xi_1 + a,\xi_2) = \boxed{\rho}
> > $$
> >
> > **d)** Avvikelsen för $-\xi_2$ är $-(\xi_2 - \mu_2)$ och standardavvikelsen fortfarande $\sigma_2$:
> > $$
> > \text{Cov}(\xi_1,-\xi_2) = \boxed{-\rho\,\sigma_1\sigma_2}, \qquad \rho(\xi_1,-\xi_2) = \boxed{-\rho}
> > $$
> > Sambandet är lika starkt men går åt andra hållet.
> >
> > **e)** Kovariansen är additiv i första argumentet:
> > $$
> > \text{Cov}(\xi_1 + \xi_2,\xi_3) = \text{Cov}(\xi_1,\xi_3) + \text{Cov}(\xi_2,\xi_3) = \boxed{\rho_{13}\,\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\,\sigma_2\sigma_3}
> > $$
> > Med [[Kovarians|kompendiets sats 1.17]] är $V(\xi_1 + \xi_2) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2$, så
> > $$
> > \rho(\xi_1 + \xi_2,\xi_3) = \boxed{\dfrac{\rho_{13}\,\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\,\sigma_2\sigma_3}{\sigma_3\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho\,\sigma_1\sigma_2}}}
> > $$
> >
> > **Kommentar.** I a)–d) beter sig $\rho$ som väntat för ett mått på linjärt samband: $\pm1$ vid exakt linjärt samband, oförändrad vid flyttning och skalning, och teckenbyte när den ena variabeln byter tecken.
> >
> > *Facit: a) $\sigma_1^2$ resp. 1; b) $2\sigma_1^2$ resp. 1; c) $\rho\sigma_1\sigma_2$ resp. $\rho$; d) $-\rho\sigma_1\sigma_2$ resp. $-\rho$; e) som ovan.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.16 — Räkneregler för kovarians och korrelation
> Verifiera följande egenskaper, där $a$ och $b$ är konstanter:
>
> a) $\text{Cov}(a\xi_1 + b,\ \xi_2) = a\,\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)$
>
> b) $\text{Cov}(\xi_1 + \xi_2,\ \xi_3) = \text{Cov}(\xi_1,\xi_3) + \text{Cov}(\xi_2,\xi_3)$
>
> c) $\rho(\xi_1,\ -\xi_2) = -\rho(\xi_1,\xi_2)$
>
> d) $\rho(\xi_1,\ a\xi_1 + b)$ är lika med $-1$ eller $1$ (för $a\ne 0$).
>
> > [!note]- Lösning
> > Använd $\text{Cov}(\xi_1,\xi_2) = E(\xi_1\xi_2) - \mu_1\mu_2$ och att väntevärdet är linjärt.
> >
> > **a)** $E\big((a\xi_1 + b)\xi_2\big) = a\,E(\xi_1\xi_2) + b\,\mu_2$ och $E(a\xi_1 + b)\,E(\xi_2) = a\,\mu_1\mu_2 + b\,\mu_2$. Differensen är $a\big(E(\xi_1\xi_2) - \mu_1\mu_2\big) = a\,\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)$.
> >
> > **b)** $E\big((\xi_1 + \xi_2)\xi_3\big) - (\mu_1 + \mu_2)\mu_3 = \big(E(\xi_1\xi_3) - \mu_1\mu_3\big) + \big(E(\xi_2\xi_3) - \mu_2\mu_3\big)$, vilket är högerledet.
> >
> > **c)** Med a) och $a = -1$, $b = 0$ (rollerna ombytta, kovariansen är symmetrisk) är $\text{Cov}(\xi_1,-\xi_2) = -\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)$. Standardavvikelsen för $-\xi_2$ är $\sigma_2$, så nämnaren i $\rho$ är oförändrad och tecknet byts.
> >
> > **d)** Med a) är $\text{Cov}(\xi_1,\ a\xi_1 + b) = a\,V(\xi_1) = a\,\sigma_1^2$, och $D(a\xi_1 + b) = |a|\,\sigma_1$:
> > $$
> > \rho(\xi_1,\ a\xi_1 + b) = \dfrac{a\,\sigma_1^2}{\sigma_1\cdot|a|\,\sigma_1} = \dfrac{a}{|a|} = \boxed{\begin{cases} 1, & a > 0 \\ -1, & a < 0 \end{cases}}
> > $$
> > Ett exakt linjärt samband ger alltså alltid $|\rho| = 1$, med tecknet efter lutningen.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.17 — Okorrelerade men beroende
> Låt $(\xi_1,\xi_2)$ vara likformigt fördelad på cirkelskivan med centrum i origo och radien $1$. Bestäm $\text{Cov}(\xi_1,\xi_2)$. Är $\xi_1$ och $\xi_2$ okorrelerade? Är de oberoende?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Kovariansen.** Arean är $\pi$, så $f(x_1,x_2) = 1/\pi$ på skivan. Skivan är symmetrisk kring båda axlarna, och integranderna $x_1$ och $x_1x_2$ är udda i $x_1$, så integralerna över skivan blir noll:
> > $$
> > \mu_1 = \mu_2 = 0, \qquad E(\xi_1\xi_2) = \iint_{x_1^2 + x_2^2\le 1} \dfrac{x_1x_2}{\pi}\,dx_1\,dx_2 = 0
> > $$
> > Alltså $\boxed{\text{Cov}(\xi_1,\xi_2) = 0}$, och variablerna är **okorrelerade**.
> >
> > **Oberoende?** Nej. Marginalerna är $f_{\xi_1}(x_1) = \dfrac2\pi\sqrt{1 - x_1^2}$ på $[-1,1]$, och likadant för $\xi_2$ (se [[Marginalfördelning]]). I punkten $(0{,}9;\ 0{,}9)$, som ligger utanför skivan, är $f = 0$ men produkten av marginalerna positiv. Alltså är $f(x_1,x_2) \ne f_{\xi_1}(x_1)\,f_{\xi_2}(x_2)$, och variablerna är **beroende**.
> >
> > Det här är exemplet i avsnitt 3: vet vi att $\xi_1$ är nära $1$ måste $\xi_2$ vara nära $0$. Beroendet är inte linjärt, och därför syns det inte i $\rho$.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

---

## Se även

- [[Kovarians]]
- [[Tvådimensionell normalfördelning]]
- [[Flerdimensionella fördelningar]]
- [[Oberoende stokastiska variabler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Correlation coefficient](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability)
- [Wikipedia: Korrelation](https://sv.wikipedia.org/wiki/Korrelation)

---

← [[Kovarians]] · [[S0008M]] · [[Tvådimensionell normalfördelning]] →