---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - analys
  - envariabelanalys
  - komplexa-tal
förkunskaper: []
status: true
aliases:
  - Komplexa tal
  - Argandplanet
  - Gaussplanet
  - Det komplexa talplanet
---

> [!warning] Info Filen är ett superdokument för komplexa talplanet, skapat i samma stil som [[Differentialekvationer]]

# Det Komplexa Talplanet

## Inledning

De **komplexa talen** är en utvidgning av de reella talen som introducerar den **imaginära enheten** $i$, definierad genom egenskapen $i^2 = -1$. Det komplexa talplanet, även kallat **Argandplanet** eller **Gaussplanet**, ger oss ett kraftfullt sätt att visualisera och arbeta med komplexa tal geometriskt.

> [!note]- Varför behövs komplexa tal?
> 
> Komplexa tal uppstod ur behovet att lösa ekvationer som $x^2 + 1 = 0$, vilken saknar reella lösningar. Genom att införa $i = \sqrt{-1}$ kan vi:
> 
> - Lösa **alla** polynomekvationer (algebrans fundamentalsats)
> - Beskriva **svängningar och vågor** elegant
> - Förenkla beräkningar inom **elektroteknik** och **signalbehandling**
> - Utföra **rotationer** i planet på ett naturligt sätt

---

# Del I: Grundläggande begrepp

## Definition av komplexa tal

> [!info]- Definition: Det komplexa talet
> 
> Ett **komplext tal** är ett tal på formen: $$z = a + bi$$
> 
> där $a, b \in \mathbb{R}$ och $i$ är den imaginära enheten med egenskapen $i^2 = -1$.
> 
> - $a = \text{Re}(z)$ kallas **realdelen** av $z$
> - $b = \text{Im}(z)$ kallas **imaginärdelen** av $z$
> - Mängden av alla komplexa tal betecknas $\mathbb{C}$
> 
> **OBS:** Imaginärdelen $b$ är ett _reellt_ tal — det är inte $bi$ utan bara $b$.

> [!note]- Speciella fall
> 
> |Typ|Villkor|Exempel|
> |:--|:--|:--|
> |Reellt tal|$b = 0$|$z = 3$|
> |Rent imaginärt tal|$a = 0$, $b \neq 0$|$z = 4i$|
> |Noll|$a = 0$, $b = 0$|$z = 0$|

## Det komplexa talplanet

> [!info]- Definition: Det komplexa talplanet (Argandplanet)
> 
> Varje komplext tal $z = a + bi$ kan representeras som en **punkt** $(a, b)$ i ett tvådimensionellt koordinatsystem:
> 
> - **x-axeln** kallas **reella axeln** (Re)
> - **y-axeln** kallas **imaginära axeln** (Im)
> 
> Det komplexa talet kan också ses som en **vektor** från origo till punkten $(a, b)$.
> 
> **Notation:**
> 
> - Punkten $(a, b)$ i planet
> - Vektorn $\vec{z}$ från origo
> - Det komplexa talet $z = a + bi$
> 
> Dessa tre representationer är ekvivalenta.

## Konjugat

> [!info]- Definition: Komplexkonjugat
> 
> Om $z = a + bi$, definieras **konjugatet** (eller komplexkonjugatet) som: $$\bar{z} = a - bi$$
> 
> **Geometrisk tolkning:** Konjugatet är en **spegling i den reella axeln**.
> 
> **Alternativ notation:** $z^*$ används ibland istället för $\bar{z}$

> [!info]- SATS: Egenskaper för konjugat
> 
> För komplexa tal $z$ och $w$ gäller:
> 
> 1. $\overline{(\bar{z})} = z$
> 2. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
> 3. $\overline{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$
> 4. $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
> 5. $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ (om $w \neq 0$)
> 6. $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$
> 7. $z - \bar{z} = 2i \cdot \text{Im}(z)$
> 8. $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ (alltid reellt och $\geq 0$)
> 9. $z = \bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$

> [!success]- Härledning: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$
> 
> Låt $z = a + bi$. Då är $\bar{z} = a - bi$.
> 
> $$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2$$
> 
> Eftersom $|z|^2 = a^2 + b^2$ (se definitionen av belopp), har vi: $$z \cdot \bar{z} = |z|^2$$
> 
> **Användning:** Denna egenskap är central vid division av komplexa tal.

## Belopp (absolutbelopp)

> [!info]- Definition: Belopp
> 
> **Beloppet** (eller absolutbeloppet, modulus) av $z = a + bi$ definieras som: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
> 
> **Geometrisk tolkning:** Avståndet från origo till punkten $z$ i det komplexa planet.
> 
> **Alternativa uttryck:**
> 
> - $|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$
> - $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$

> [!info]- SATS: Egenskaper för belopp
> 
> För komplexa tal $z$ och $w$ gäller:
> 
> 1. $|z| \geq 0$, med $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
> 2. $|\bar{z}| = |z|$
> 3. $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$
> 4. $\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$ (om $w \neq 0$)
> 5. $|\text{Re}(z)| \leq |z|$ och $|\text{Im}(z)| \leq |z|$
> 6. $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$

> [!info]- SATS: Triangelolikheten
> 
> För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller: $$|z + w| \leq |z| + |w|$$
> 
> **Geometrisk tolkning:** I en triangel är summan av två sidor alltid minst lika stor som den tredje.
> 
> **Omvänd triangelolikhet:** $$\big||z| - |w|\big| \leq |z - w|$$

> [!example]- Exempel: Beräkna belopp och konjugat
> 
> Låt $z = 3 - 4i$.
> 
> **Konjugat:** $$\bar{z} = 3 + 4i$$
> 
> **Belopp:** $$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
> 
> **Kontroll med $z \cdot \bar{z}$:** $$z \cdot \bar{z} = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2 \checkmark$$

---

# Del II: Räkneoperationer

## Addition och subtraktion

> [!tip]- Receptbok: Addition och subtraktion
> 
> Addition och subtraktion utförs **komponentvis**: $$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$ $$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$
> 
> **Geometrisk tolkning:** Vektoraddition — parallelogramregeln gäller.

> [!example]- Exempel: Addition
> 
> Beräkna $(3 + 2i) + (1 - 5i)$:
> 
> $$= (3 + 1) + (2 + (-5))i = 4 - 3i$$

## Multiplikation

> [!tip]- Receptbok: Multiplikation (rektangulär form)
> 
> Använd distributiva lagen och ersätt $i^2 = -1$: $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$ $$= ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
> 
> **Minnesregel:** Multiplicera som vanliga binomer, sedan $i^2 = -1$.

> [!example]- Exempel: Multiplikation
> 
> Beräkna $(2 + 3i)(4 - i)$:
> 
> $$= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)$$ $$= 8 - 2i + 12i - 3i^2$$ $$= 8 + 10i - 3(-1)$$ $$= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$$

> [!note]- Potenser av $i$
> 
> Potenserna av $i$ är cykliska med period 4:
> 
> |$n$|$i^n$|
> |:-:|:-:|
> |0|1|
> |1|$i$|
> |2|$-1$|
> |3|$-i$|
> |4|$1$|
> |5|$i$|
> |...|...|
> 
> **Formel:** $i^n = i^{n \mod 4}$
> 
> > [!example]- Exempel: Beräkna $i^{2023}$
> > 
> > $$2023 = 4 \cdot 505 + 3$$ $$i^{2023} = i^3 = -i$$

## Division

> [!tip]- Receptbok: Division (förläng med konjugat)
> 
> **Steg 1:** Identifiera täljare och nämnare
> 
> **Steg 2:** Förläng bråket med **konjugatet till nämnaren**
> 
> **Steg 3:** Nämnaren blir reell: $w \cdot \bar{w} = |w|^2$
> 
> **Steg 4:** Förenkla täljaren
> 
> **Formel:** $$\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \bar{w}}{w \cdot \bar{w}} = \frac{z \cdot \bar{w}}{|w|^2}$$

> [!example]- Exempel: Division
> 
> Beräkna $\displaystyle\frac{3 + 4i}{1 + 2i}$:
> 
> **Steg 1:** Konjugatet till nämnaren är $1 - 2i$
> 
> **Steg 2:** Förläng: $$\frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i}$$
> 
> **Steg 3:** Nämnaren: $$(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5$$
> 
> **Steg 4:** Täljaren: $$(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i$$
> 
> **Svar:** $$\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$$

> [!warning]- Vanliga misstag vid division
> 
> - **Glömmer att förlänga med konjugatet** — försöker dividera direkt
> - **Fel tecken i konjugatet** — $\overline{1 + 2i} = 1 - 2i$, inte $-1 - 2i$
> - **Glömmer $i^2 = -1$** i täljaren
> - **Skriver svaret fel** — glömmer att dividera både real- och imaginärdel med nämnaren

---

# Del III: Polär form

## Polära koordinater

> [!info]- Definition: [[Polär form för komplexa tal|Polär form]]
> 
> Låt $z \neq 0$ vara ett komplext tal. Då kan $z$ skrivas på **polär form**: $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
> 
> där:
> 
> - $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ är **beloppet** (avståndet till origo)
> - $\theta = \arg(z)$ är **argumentet** (vinkeln mot positiva Re-axeln)
> 
> **Samband med rektangulär form:**
> 
> - $a = r\cos\theta$
> - $b = r\sin\theta$

> [!info]- Definition: Argument
> 
> **Argumentet** $\arg(z)$ är vinkeln $\theta$ (i radianer) från positiva reella axeln till vektorn $z$, mätt moturs.
> 
> **OBS:** Argumentet är **flertydigt** — om $\theta$ är ett argument, så är även $\theta + 2\pi n$ för alla heltal $n$ ett argument.
> 
> **Huvudargumentet** $\text{Arg}(z)$ är det unika argumentet i intervallet $(-\pi, \pi]$ (eller ibland $[0, 2\pi)$).

> [!tip]- Receptbok: Rektangulär → Polär form
> 
> Givet $z = a + bi$:
> 
> **Steg 1:** Beräkna beloppet $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
> 
> **Steg 2:** Beräkna argumentet (beror på **kvadrant**)
> 
> |Kvadrant|Villkor|Formel för $\theta$|
> |:-:|:--|:--|
> |I|$a > 0$, $b \geq 0$|$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$|
> |II|$a < 0$, $b \geq 0$|$\theta = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$|
> |III|$a < 0$, $b < 0$|$\theta = -\pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$|
> |IV|$a > 0$, $b < 0$|$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$|
> |Pos. Im|$a = 0$, $b > 0$|$\theta = \frac{\pi}{2}$|
> |Neg. Im|$a = 0$, $b < 0$|$\theta = -\frac{\pi}{2}$|
> 
> **Steg 3:** Skriv $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

> [!tip]- Receptbok: Polär → Rektangulär form
> 
> Givet $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$:
> 
> $$a = r\cos\theta$$ $$b = r\sin\theta$$
> 
> **Svar:** $z = a + bi$

> [!example]- Exempel: Skriv $z = 1 + i$ på polär form
> 
> **Steg 1:** Belopp $$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
> 
> **Steg 2:** Argument (första kvadranten, $a > 0$, $b > 0$) $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$
> 
> **Svar:** $$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

> [!example]- Exempel: Skriv $z = -1 + \sqrt{3}i$ på polär form
> 
> **Steg 1:** Belopp $$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$
> 
> **Steg 2:** Argument (andra kvadranten, $a < 0$, $b > 0$) $$\theta = \pi + \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \pi + \arctan(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
> 
> **Svar:** $$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$

> [!example]- Exempel: Skriv $z = 3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ på rektangulär form
> 
> $$a = 3\cos\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$b = 3\sin\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
> 
> **Svar:** $$z = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$$

## Eulers formel

> [!info]- SATS: Eulers formel
> 
> För alla reella tal $\theta$ gäller: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
> 
> Detta ger den **exponentiella formen** av ett komplext tal: $$z = re^{i\theta}$$
> 
> där $r = |z|$ och $\theta = \arg(z)$.

> [!note]- Speciella fall av Eulers formel
> 
> |$\theta$|$e^{i\theta}$|
> |:-:|:-:|
> |$0$|$1$|
> |$\frac{\pi}{2}$|$i$|
> |$\pi$|$-1$|
> |$\frac{3\pi}{2}$|$-i$|
> |$2\pi$|$1$|
> 
> **Eulers identitet** (ofta kallad "matematikens vackraste formel"): $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

> [!success]- Härledning: Eulers formel via taylorserier
> 
> Taylorserierna för $e^x$, $\cos x$ och $\sin x$ är: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
> 
> Sätt $x = i\theta$ i exponentialserien: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots$$
> 
> Använd $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, etc: $$= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$
> 
> Gruppera reella och imaginära termer: $$= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)$$ $$= \cos\theta + i\sin\theta$$

## Multiplikation och division i polär form

> [!info]- SATS: Multiplikation i polär/exponentiell form
> 
> Om $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ och $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$, då: $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$
> 
> **I ord:**
> 
> - **Beloppen multipliceras:** $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
> - **Argumenten adderas:** $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
> 
> **Geometrisk tolkning:** Multiplikation med $z = re^{i\theta}$ innebär:
> 
> 1. **Skalning** med faktorn $r$
> 2. **Rotation** med vinkeln $\theta$ (moturs)

> [!info]- SATS: Division i polär/exponentiell form
> 
> Om $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ och $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ med $z_2 \neq 0$, då: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$
> 
> **I ord:**
> 
> - **Beloppen divideras:** $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
> - **Argumenten subtraheras:** $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$

> [!example]- Exempel: Multiplikation i polär form
> 
> Beräkna $z_1 \cdot z_2$ där:
> 
> - $z_1 = 2e^{i\pi/3}$
> - $z_2 = 3e^{i\pi/4}$
> 
> **Lösning:** $$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i(\pi/3 + \pi/4)} = 6e^{i \cdot 7\pi/12}$$

> [!example]- Exempel: Division i polär form
> 
> Beräkna $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}$ där:
> 
> - $z_1 = 4e^{i\pi/2}$
> - $z_2 = 2e^{i\pi/6}$
> 
> **Lösning:** $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{4}{2} \cdot e^{i(\pi/2 - \pi/6)} = 2e^{i\pi/3}$$

---

# Del IV: de Moivres formel och potenser

## de Moivres formel

> [!info]- SATS: [[De Moivres och Eulers formler|de Moivres formel]]
> 
> För alla reella $\theta$ och alla heltal $n$ gäller: $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$
> 
> Eller i exponentiell form: $$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$$

> [!success]- Härledning: de Moivres formel
> 
> **Bevis med exponentialform (enklast):**
> 
> Från exponentiallagarna: $(e^a)^n = e^{an}$
> 
> Därför: $$(e^{i\theta})^n = e^{i \cdot n \cdot \theta} = e^{in\theta}$$
> 
> Översatt till trigonometrisk form: $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$
> 
> **Alternativt bevis med induktion** för positiva heltal $n$ finns också.

> [!tip]- Receptbok: Beräkna $z^n$ (heltalspotens)
> 
> **Steg 1:** Skriv $z$ på polär form: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$
> 
> **Steg 2:** Tillämpa de Moivres formel: $$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r^n e^{in\theta}$$
> 
> **Steg 3:** Omvandla tillbaka till rektangulär form om så önskas.

> [!example]- Exempel: Beräkna $(1 + i)^8$
> 
> **Steg 1:** Polär form av $1 + i$:
> 
> - $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
> - $\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$
> - $1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$
> 
> **Steg 2:** Använd de Moivre: $$(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4}$$ $$= 2^4 \cdot e^{i \cdot 2\pi}$$ $$= 16 \cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$$ $$= 16 \cdot (1 + 0i) = 16$$

> [!example]- Exempel: Beräkna $(1 - i)^{10}$
> 
> **Steg 1:** Polär form av $1 - i$:
> 
> - $r = \sqrt{2}$
> - $\theta = -\frac{\pi}{4}$ (fjärde kvadranten)
> - $1 - i = \sqrt{2} \cdot e^{-i\pi/4}$
> 
> **Steg 2:** Använd de Moivre: $$(1 - i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot e^{-i \cdot 10\pi/4}$$ $$= 2^5 \cdot e^{-i \cdot 5\pi/2}$$ $$= 32 \cdot e^{-i\pi/2}$$ (eftersom $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 2\pi$)
> 
> $$= 32(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$$ $$= 32(0 - i) = -32i$$

## Tillämpning: Trigonometriska identiteter

> [!note]- Användning av de Moivre för trigonometriska formler
> 
> Genom att utveckla $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ med binomialsatsen och jämföra med $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ kan vi härleda formler för $\cos(n\theta)$ och $\sin(n\theta)$.

> [!example]- Exempel: Härled $\cos(2\theta)$ och $\sin(2\theta)$
> 
> Använd de Moivre med $n = 2$: $$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$$
> 
> Utveckla vänsterledet: $$\cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta + i^2\sin^2\theta$$ $$= \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta$$
> 
> Jämför real- och imaginärdelar: $$\boxed{\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta}$$ $$\boxed{\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta}$$

> [!example]- Exempel: Härled $\cos(3\theta)$ och $\sin(3\theta)$
> 
> Använd de Moivre med $n = 3$: $$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$$
> 
> Utveckla med binomialsatsen: $$= \cos^3\theta + 3\cos^2\theta \cdot i\sin\theta + 3\cos\theta \cdot (i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3$$ $$= \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$$
> 
> Gruppera: $$= (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)$$
> 
> **Resultat:** $$\boxed{\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta}$$ $$\boxed{\sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta}$$

---

# Del V: Rötter till komplexa tal

## n:te roten ur ett komplext tal

> [!info]- SATS: n:te rötter
> 
> Ekvationen $w^n = z$ där $z \neq 0$ har exakt **$n$ stycken lösningar** i $\mathbb{C}$.
> 
> Om $z = re^{i\theta}$, ges de $n$ rötterna av: $$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$
> 
> **Geometrisk observation:** De $n$ rötterna ligger **jämnt fördelade på en cirkel** med radie $\sqrt[n]{r}$, med vinkelavstånd $\frac{2\pi}{n}$ mellan varje rot.

> [!tip]- Receptbok: Beräkna alla n:te rötter ur z
> 
> **Steg 1:** Skriv $z$ på polär form: $z = re^{i\theta}$
> 
> **Steg 2:** Beräkna rotens belopp: $\rho = \sqrt[n]{r}$
> 
> **Steg 3:** Beräkna argumenten för de $n$ rötterna: $$\varphi_k = \frac{\theta + 2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$
> 
> **Steg 4:** Skriv upp rötterna: $w_k = \rho e^{i\varphi_k}$
> 
> **Steg 5:** Omvandla till rektangulär form om så önskas: $$w_k = \rho(\cos\varphi_k + i\sin\varphi_k)$$

> [!example]- Exempel: Beräkna alla kubikrötter till $z = 8$
> 
> Vi söker alla $w$ sådana att $w^3 = 8$.
> 
> **Steg 1:** Polär form: $8 = 8e^{i \cdot 0}$ (dvs. $r = 8$, $\theta = 0$)
> 
> **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt[3]{8} = 2$
> 
> **Steg 3:** Argumenten:
> 
> - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{0 + 0}{3} = 0$
> - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{0 + 2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
> - $k = 2$: $\varphi_2 = \frac{0 + 4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
> 
> **Steg 4:** Rötterna:
> 
> - $w_0 = 2e^{i \cdot 0} = 2$
> - $w_1 = 2e^{i2\pi/3} = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 + \sqrt{3}i$
> - $w_2 = 2e^{i4\pi/3} = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 - \sqrt{3}i$
> 
> **Svar:** $w = 2, ; -1 + \sqrt{3}i, ; -1 - \sqrt{3}i$

> [!example]- Exempel: Beräkna $\sqrt{i}$ (alla kvadratrötter)
> 
> Vi söker alla $w$ sådana att $w^2 = i$.
> 
> **Steg 1:** Polär form av $i$: $i = 1 \cdot e^{i\pi/2}$ (dvs. $r = 1$, $\theta = \frac{\pi}{2}$)
> 
> **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt{1} = 1$
> 
> **Steg 3:** Argumenten:
> 
> - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{\pi/2 + 0}{2} = \frac{\pi}{4}$
> - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$
> 
> **Steg 4:** Rötterna:
> 
> - $w_0 = e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$
> - $w_1 = e^{i5\pi/4} = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i = -\frac{1+i}{\sqrt{2}}$
> 
> **Svar:** $\sqrt{i} = \pm\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

> [!example]- Exempel: Beräkna alla fjärderötter till $z = -16$
> 
> Vi söker alla $w$ sådana att $w^4 = -16$.
> 
> **Steg 1:** Polär form: $-16 = 16e^{i\pi}$
> 
> **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt[4]{16} = 2$
> 
> **Steg 3:** Argumenten ($\theta = \pi$, $n = 4$):
> 
> - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$
> - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
> - $k = 2$: $\varphi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
> - $k = 3$: $\varphi_3 = \frac{\pi + 6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$
> 
> **Steg 4:** Rötterna:
> 
> - $w_0 = 2e^{i\pi/4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) = \sqrt{2}(1+i)$
> - $w_1 = 2e^{i3\pi/4} = \sqrt{2}(-1+i)$
> - $w_2 = 2e^{i5\pi/4} = \sqrt{2}(-1-i)$
> - $w_3 = 2e^{i7\pi/4} = \sqrt{2}(1-i)$

## Enhetsrötter

> [!info]- Definition: n:te enhetsrötter
> 
> De n:te **enhetsrötterna** är lösningarna till ekvationen $z^n = 1$.
> 
> De ges av: $$\omega_k = e^{i2\pi k/n} = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$
> 
> Den **primitiva n:te enhetsroten** är $\omega = e^{i2\pi/n}$ (dvs. $k = 1$).
> 
> Alla enhetsrötter kan skrivas som potenser av $\omega$: $$\omega_k = \omega^k$$

> [!info]- SATS: Egenskaper för enhetsrötter
> 
> Låt $\omega = e^{i2\pi/n}$ vara den primitiva n:te enhetsroten. Då gäller:
> 
> 1. $\omega^n = 1$
> 2. $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$
> 3. Enhetsrötterna ligger på **enhetscirkeln**, jämnt fördelade med vinkelavstånd $\frac{2\pi}{n}$
> 4. Produkten av alla n:te enhetsrötter är $(-1)^{n+1}$

> [!note]- Viktiga specialfall av enhetsrötter
> 
> |$n$|Enhetsrötter|Primitiv rot $\omega$|
> |:-:|:--|:-:|
> |2|$1, -1$|$-1$|
> |3|$1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$e^{i2\pi/3}$|
> |4|$1, i, -1, -i$|$i$|
> |6|$1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -1, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$e^{i\pi/3}$|

> [!success]- Härledning: Summan av enhetsrötter är noll
> 
> Låt $S = 1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1}$.
> 
> Detta är en geometrisk summa med kvot $\omega$: $$S = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega}$$
> 
> Eftersom $\omega^n = 1$: $$S = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = \frac{0}{1 - \omega} = 0$$
> 
> (förutsatt att $\omega \neq 1$, dvs. $n \geq 2$)

---

# Del VI: Polynomekvationer

## Algebrans fundamentalsats

> [!info]- SATS: Algebrans fundamentalsats
> 
> Varje icke-konstant polynom med komplexa (eller reella) koefficienter har **minst en rot** i $\mathbb{C}$.
> 
> **Följdsats:** Ett polynom av grad $n$ har **exakt $n$ rötter** i $\mathbb{C}$ (räknat med multiplicitet).

> [!info]- SATS: Konjugerade rötter
> 
> Om ett polynom har **reella koefficienter** och $z_0$ är en rot, då är även $\bar{z}_0$ (konjugatet) en rot.
> 
> **Följd:** Komplexa rötter till polynom med reella koefficienter kommer alltid i **konjugerade par**.

## Andragradsekvationer

> [!tip]- Receptbok: Lös $az^2 + bz + c = 0$
> 
> Använd abc-formeln (eller pq-formeln): $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
> 
> **Diskriminanten** $D = b^2 - 4ac$ avgör rötterna:
> 
> |$D$|Rötter|
> |:-:|:--|
> |$D > 0$|Två olika reella rötter|
> |$D = 0$|En reell dubbelrot|
> |$D < 0$|Två komplexa konjugerade rötter: $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|

> [!example]- Exempel: Lös $z^2 + 2z + 5 = 0$
> 
> **Identifiera:** $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$
> 
> **Diskriminanten:** $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$$
> 
> **Rötterna:** $$z = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
> 
> **Svar:** $z = -1 + 2i$ och $z = -1 - 2i$ (konjugerade)

> [!example]- Exempel: Lös $z^2 - (3+i)z + (2+i) = 0$
> 
> Här har vi komplexa koefficienter, så abc-formeln gäller fortfarande.
> 
> **Diskriminanten:** $$D = (3+i)^2 - 4(2+i) = 9 + 6i - 1 - 8 - 4i = 2i$$
> 
> **Vi behöver $\sqrt{2i}$** (se tidigare exempel): $$\sqrt{2i} = \pm(1+i)$$
> 
> **Rötterna:** $$z = \frac{(3+i) \pm (1+i)}{2}$$
> 
> - $z_1 = \frac{3+i+1+i}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$
> - $z_2 = \frac{3+i-1-i}{2} = \frac{2}{2} = 1$
> 
> **Svar:** $z = 2+i$ och $z = 1$
> 
> **Kontroll:** Dessa är INTE konjugerade, vilket är förväntat eftersom koefficienterna inte är reella.

## Faktorisering av polynom

> [!info]- SATS: [[Polynom och faktorisering|Faktorsatsen]]
> 
> Om $z_0$ är en rot till polynomet $P(z)$, så är $(z - z_0)$ en faktor i $P(z)$.
> 
> **Fullständig faktorisering:** $$P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$$
> 
> där $z_1, z_2, \ldots, z_n$ är polynomets rötter och $a_n$ är ledande koefficienten.

> [!tip]- Receptbok: Faktorisera polynom med reella koefficienter
> 
> **Steg 1:** Hitta alla rötter (reella och komplexa)
> 
> **Steg 2:** Skriv upp faktoriseringen över $\mathbb{C}$: $$P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$$
> 
> **Steg 3:** För faktorisering över $\mathbb{R}$, slå ihop konjugerade par: $$(z - z_0)(z - \bar{z}_0) = z^2 - (z_0 + \bar{z}_0)z + z_0\bar{z}_0$$ $$= z^2 - 2\text{Re}(z_0)z + |z_0|^2$$
> 
> Detta är en reell andragradsfaktor.

> [!example]- Exempel: Faktorisera $z^3 - 1$
> 
> **Rötterna:** Tredje enhetsrötterna
> 
> - $z_0 = 1$
> - $z_1 = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
> - $z_2 = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
> 
> **Faktorisering över $\mathbb{C}$:** $$z^3 - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2)$$
> 
> **Faktorisering över $\mathbb{R}$:** Slå ihop de konjugerade rötterna $z_1$ och $z_2$: $$(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1 z_2$$ $$= z^2 - (-1)z + 1 = z^2 + z + 1$$
> 
> **Svar:** $$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$$

> [!example]- Exempel: Faktorisera $z^4 + 4$
> 
> **Hitta rötterna till $z^4 = -4$:**
> 
> Polär form: $-4 = 4e^{i\pi}$
> 
> Fjärderötterna: $$z_k = \sqrt[4]{4} \cdot e^{i(\pi + 2\pi k)/4} = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi(1 + 2k)/4}$$
> 
> - $k = 0$: $z_0 = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$
> - $k = 1$: $z_1 = \sqrt{2} e^{i3\pi/4} = -1 + i$
> - $k = 2$: $z_2 = \sqrt{2} e^{i5\pi/4} = -1 - i$
> - $k = 3$: $z_3 = \sqrt{2} e^{i7\pi/4} = 1 - i$
> 
> **Faktorisering över $\mathbb{R}$:**
> 
> Par 1: $z_0 = 1+i$ och $z_3 = 1-i$ (konjugerade) $$(z - (1+i))(z - (1-i)) = z^2 - 2z + 2$$
> 
> Par 2: $z_1 = -1+i$ och $z_2 = -1-i$ (konjugerade) $$(z - (-1+i))(z - (-1-i)) = z^2 + 2z + 2$$
> 
> **Svar:** $$z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$$

---

# Del VII: Geometriska mängder

## Cirklar

> [!info]- Definition: Cirkel i det komplexa planet
> 
> En **cirkel** med centrum $z_0$ och radie $r$ beskrivs av: $$|z - z_0| = r$$
> 
> **Inre (öppen skiva):** $|z - z_0| < r$
> 
> **Yttre:** $|z - z_0| > r$
> 
> **Sluten skiva:** $|z - z_0| \leq r$

> [!example]- Exempel: Beskriv mängden $|z - 2 + 3i| = 5$
> 
> Skriv om: $|z - (2 - 3i)| = 5$
> 
> Detta är en **cirkel** med:
> 
> - Centrum: $z_0 = 2 - 3i$, dvs. punkten $(2, -3)$
> - Radie: $r = 5$

## Linjer

> [!info]- Mängd: Linje som medelortslinje
> 
> Mängden av alla punkter med **samma avstånd** till två givna punkter $z_1$ och $z_2$ är en **linje** (medellnormallinjen): $$|z - z_1| = |z - z_2|$$

> [!info]- Mängd: Linje på parameterform
> 
> En linje genom $z_1$ och $z_2$ ges parametriskt av: $$z = z_1 + t(z_2 - z_1), \quad t \in \mathbb{R}$$
> 
> Eller ekvivalent: $z = (1-t)z_1 + tz_2$

> [!info]- Mängd: Linje på allmän form
> 
> En linje kan också skrivas: $$\text{Re}(\bar{a}z) = c$$
> 
> där $a \neq 0$ är ett komplext tal (normalriktningen) och $c$ är en reell konstant.

## Halvplan

> [!info]- Mängd: Halvplan
> 
> Olikheten $|z - z_1| < |z - z_2|$ beskriver det **halvplan** som innehåller punkter närmare $z_1$ än $z_2$.
> 
> Randen är linjen $|z - z_1| = |z - z_2|$.

## Cirkelskivor och ringar

> [!note]- Sammansatta mängder
> 
> |Mängd|Beskrivning|
> |:--|:--|
> |$r_1 < \|z - z_0\| < r_2$|Öppen ring (annulus)|
> |$r_1 \leq \|z - z_0\| \leq r_2$|Sluten ring|
> |$\|z - z_0\| < r$ och $\|z - w_0\| < s$|Snittet av två skivor|

> [!example]- Exempel: Beskriv mängden $1 < |z - i| \leq 3$
> 
> - Centrum: $z_0 = i$, dvs. punkten $(0, 1)$
> - Inre radie: 1 (exkluderad, öppen rand inåt)
> - Yttre radie: 3 (inkluderad, sluten rand utåt)
> 
> Detta är en **halvöppen ring** centrerad kring $i$.

---

# Del VIII: Sammanfattning och formelblad

## Grundläggande formler

> [!note]- Formelsamling: Komplexa tal
> 
> **Definition:** $z = a + bi$ där $i^2 = -1$
> 
> **Konjugat:** $\bar{z} = a - bi$
> 
> **Belopp:** $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
> 
> **Polär form:** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$
> 
> **Eulers formel:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
> 
> **de Moivres formel:** $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
> 
> **n:te rötter:** $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$, $k = 0, 1, \ldots, n-1$

## Räkneregler

> [!note]- Formelsamling: Räkneoperationer
> 
> **Addition:** $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
> 
> **Multiplikation (rekt.):** $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
> 
> **Multiplikation (polär):** $r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
> 
> **Division:** $\displaystyle\frac{z}{w} = \frac{z\bar{w}}{|w|^2}$
> 
> **Division (polär):** $\displaystyle\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

## Viktiga egenskaper

> [!note]- Formelsamling: Egenskaper
> 
> **Belopp:**
> 
> - $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$
> - $|z + w| \leq |z| + |w|$ (triangelolikheten)
> - $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$
> 
> **Konjugat:**
> 
> - $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
> - $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
> - $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$
> - $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$
> 
> **Argument:**
> 
> - $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
> - $\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$
> - $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$

## Standardvinklar

> [!note]- Tabell: Vanliga komplexa tal i polär form
> 
> |$z$|$\|z\|$|$\arg(z)$|
> |:-:|:-:|:-:|
> |$1$|$1$|$0$|
> |$i$|$1$|$\frac{\pi}{2}$|
> |$-1$|$1$|$\pi$|
> |$-i$|$1$|$-\frac{\pi}{2}$|
> |$1+i$|$\sqrt{2}$|$\frac{\pi}{4}$|
> |$1-i$|$\sqrt{2}$|$-\frac{\pi}{4}$|
> |$-1+i$|$\sqrt{2}$|$\frac{3\pi}{4}$|
> |$-1-i$|$\sqrt{2}$|$-\frac{3\pi}{4}$|
> |$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$1$|$\frac{\pi}{3}$|
> |$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$|$1$|$\frac{\pi}{6}$|

> [!warning]- Vanliga misstag att undvika
> 
> 1. **Glömmer $i^2 = -1$** vid multiplikation
> 2. **Fel tecken i konjugatet** — bara imaginärdelen byter tecken
> 3. **Glömmer alla n rötter** — det finns alltid exakt n stycken n:te rötter
> 4. **Fel kvadrant vid argument** — kontrollera alltid tecken på a och b
> 5. **Blandar ihop belopp och argument** — belopp är alltid $\geq 0$
> 6. **Glömmer att argumentet är flertydigt** — lägg till $2\pi k$ vid behov
> 7. **Division utan konjugat** — förläng alltid med nämnarens konjugat