---
kurs:
- M0068M
kapitel: "13.5–6"
tags:
- matematik
- analys
- flervariabelanalys
- kedjeregeln
- partiell-derivata
förkunskaper:
- "[[Partiella derivator]]"
- "[[Gränsvärden och kontinuitet]]"
status: utkast
aliases:
- Kedjeregeln flervariabel
- Differentierbarhet
- Chain rule
---
> **Kapitel:** 13.5–6 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]]
---
## 1. Kedjeregeln — ett oberoende variabel
### Situation
$z = f(x, y)$ där $x = x(t)$ och $y = y(t)$ — alltså beror $z$ i slutändan bara på $t$.
### Sats
Om $f$, $x(t)$ och $y(t)$ är deriverbara gäller:
$$
\boxed{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}}
$$
> [!note] Tolkning
>
> Formeln mäter den **observerade förändringshastigheten** hos $f$ för en observatör som rör sig längs kurvan $(x(t),\, y(t))$.
> Termen $\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}$ är bidraget från rörelsen i $x$-led, och $\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$ bidraget från $y$-led.
> [!warning] Glöm inte inre derivatan
>
> Kedjeregeln gäller **alltid** när argumentet beror på $t$:
> $$\frac{d}{dt}\sin(x(t)) = \cos(x(t)) \cdot x'(t)$$
> Fel: $\cos(x(t))$ Rätt: $\cos(x(t)) \cdot x'(t)$
> [!example]- Exempel — temperatur längs en kurva
>
> Låt $T(x, y) = x^2 + y^2$ vara temperaturen i ett plan. En partikel rör sig längs kurvan $x(t) = \cos t$, $y(t) = \sin t$.
>
> $$
> \frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y}\frac{dy}{dt}
> = 2x \cdot (-\sin t) + 2y \cdot \cos t
> $$
>
> Substituera $x = \cos t$, $y = \sin t$:
>
> $$
> = 2\cos t \cdot (-\sin t) + 2\sin t \cdot \cos t = 0
> $$
>
> Temperaturen är konstant längs enhetscirkeln — vilket stämmer eftersom $T = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$.
---
## 2. Kedjeregeln — två oberoende variabler
### Situation
$z = f(x, y)$ där $x = x(s, t)$ och $y = y(s, t)$ — alltså beror $z$ på de två oberoende variablerna $s$ och $t$.
### Sats
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}}
\qquad
\boxed{\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}}
$$
> [!note] Tolkning
>
> Formlerna beskriver hur de partiella derivatorna **transformeras vid ett variabelbyte** $(x, y) \to (s, t)$.
> Används exempelvis vid byte till polära, cylindriska eller [[Variabelbyte i trippelintegraler|sfäriska koordinater]].
> [!example]- Exempel — partiella derivator under variabelbyte
>
> Låt $f(x, y) = x^2 y$ och $x = s + t$, $y = s - t$.
>
> Beräkna $\dfrac{\partial f}{\partial s}$:
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}
> = 2xy \cdot 1 + x^2 \cdot 1 = 2xy + x^2
> $$
>
> Substituera $x = s+t$, $y = s-t$:
>
> $$
> = 2(s+t)(s-t) + (s+t)^2 = 2(s^2 - t^2) + (s+t)^2
> $$
---
## 3. Variabelträd
Ett **variabelträd** är ett grafiskt hjälpmedel för att hålla reda på beroenden och tillämpa kedjeregeln systematiskt.
### Konstruktion
1. Skriv den slutliga variabeln ($z$) längst upp.
2. Rita grenar ner till de mellanliggande variablerna ($x$, $y$).
3. Rita grenar vidare ner till de oberoende variablerna ($s$, $t$).
4. Märk varje gren med motsvarande partiell (eller vanlig) [[Derivata|derivata]].
### Schema
```
z
/ \
x y
/| |\
s t s t
```
**Kedjeregeln ges av:** summera produkten av derivator längs varje väg från $z$ till den önskade oberoende variabeln.
$$
\frac{\partial z}{\partial s} = \underbrace{\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s}}_{\text{via } x} + \underbrace{\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial s}}_{\text{via } y}
$$
> [!note]- Allmänt variabelträd
>
> Om $w = f(x_1, \ldots, x_m)$ och varje $x_i = x_i(t_1, \ldots, t_n)$, ges kedjeregeln av:
>
> $$
> \frac{\partial w}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial w}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t_j}, \quad j = 1, \ldots, n
> $$
---
## 4. Differentierbarhet och linjär approximation
### Definition — differentierbarhet
Funktionen $f(x, y)$ är **differentierbar** i punkten $(a, b)$ om förändringen $\Delta f = f(a + \Delta x,\, b + \Delta y) - f(a, b)$ kan skrivas
$$
\Delta f = f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y + \varepsilon_1\,\Delta x + \varepsilon_2\,\Delta y
$$
där $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ när $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$.
### Linjär approximation
För en differentierbar funktion gäller den **linjära approximationen**:
$$
\boxed{f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)}
$$
Geometriskt är detta **tangentplanet** till ytan $z = f(x,y)$ i punkten $(a, b, f(a,b))$.
### Differentialen
Differentialen $df$ definieras som:
$$
\boxed{df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy}
$$
Den används för att uppskatta **felet** i $f$ till följd av små fel $dx$, $dy$ i ingångsvariablerna.
> [!note]- Tillräckligt villkor för differentierbarhet
>
> Om de partiella derivatorna $f_x$ och $f_y$ **existerar och är kontinuerliga** i en omgivning av $(a, b)$, så är $f$ differentierbar i $(a, b)$.
> [!example]- Exempel — feluppskattning med differential
>
> En rektangel har uppmätta sidor $x = 5{,}0\,\text{cm}$ och $y = 3{,}0\,\text{cm}$, med mätfel $|dx| \leq 0{,}05$ och $|dy| \leq 0{,}05$.
>
> Area: $A = xy$, $\quad dA = y\,dx + x\,dy$
>
> $$
> |dA| \leq |y|\,|dx| + |x|\,|dy| = 3{,}0 \cdot 0{,}05 + 5{,}0 \cdot 0{,}05 = 0{,}40\,\text{cm}^2
> $$
>
> Det maximala felet i arean är alltså $0{,}40\,\text{cm}^2$.
---
## 5. Polära koordinater — variabelbyte med kedjeregeln
### Koordinatbyte
[[Polära koordinater]] definieras av:
$$
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta
$$
### Transformation av partiella derivator
Med kedjeregeln (fall 2) transformeras derivatorna av $f(x,y)$ till $f(r,\theta)$:
$$
\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial \theta} = -\frac{\partial f}{\partial x}\,r\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\,r\cos\theta
$$
Kedjeregeln i "shorthand" för flervariabelfallet:
$$\frac{d}{dt}f(\vec{x}(t))=\vec{\nabla}f\cdot \vec{x}{\,}'(t)$$
Notera att det är **skalärprodukt** ($\cdot$), inte kryssprodukt. Om kurvan $\vec x(t)$ ligger på en nivåyta $f=\text{konst}$ är hela derivatan $0$, och då är $\vec\nabla f\perp \vec x{\,}'(t)$ — gradienten är normal till ytan.
Variabelträdet ser ut som:
```
f
/ \
x y
/| |\
r θ r θ
```
> [!example]- Exempel — Laplaceoperatorn i polära koordinater
>
> Vi vill uttrycka $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ i termer av $r$ och $\theta$.
>
> Derivera $\dfrac{\partial f}{\partial r}$ och $\dfrac{\partial f}{\partial \theta}$ en gång till med kedjeregeln. Med de kombinerade formlerna visar man att:
>
> $$
> \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
> $$
>
> Detta är Laplaceoperatorn $\nabla^2 f$ i polära koordinater.
> [!example]- Exempel — partiella derivator i polära koordinater
>
> Låt $f(x, y) = x^2 + y^2$. Beräkna $\dfrac{\partial f}{\partial r}$ och $\dfrac{\partial f}{\partial \theta}$.
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta
> $$
>
> Substituera $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$:
>
> $$
> = 2r\cos^2\theta + 2r\sin^2\theta = 2r
> $$
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial \theta} = -2x \cdot r\sin\theta + 2y \cdot r\cos\theta = -2r^2\cos\theta\sin\theta + 2r^2\sin\theta\cos\theta = 0
> $$
>
> Det stämmer eftersom $f = x^2 + y^2 = r^2$ beror bara på $r$.
---
## Läsning
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=138|2.4 The Chain Rule]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=743|13.5 The Chain Rule]]
## Se även
- [[Partiella derivator]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]
- [[Funktioner av flera variabler]]
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: What is a partial derivative?](https://youtu.be/AXqhWeUEtQU) — intuitiv introduktion till partiella derivator
- [Khan Academy: Multivariable chain rule](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/differentiating-vector-valued-functions/a/multivariable-chain-rule-simple-version) — steg-för-steg genomgång
- [Professor Leonard: The Chain Rule for Functions of Multiple Variables](https://youtu.be/XFkEGDWMH2Q) — detaljerad genomgång med variabelträd
### Interaktiva verktyg
- [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — visualisera [[Tangentplanets ekvation|tangentplan]] och linjär approximation
- [GeoGebra: Polar Coordinates](https://www.geogebra.org/m/polar) — se koordinatbytet grafiskt
- [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com) — beräkna partiella derivator och kedjeregeln symboliskt
### Wikipedia
- [Chain rule — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule)
- [Total derivative — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative)
- [Polar coordinate system — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system)
### Fördjupning
- Adams & Essex, *Calculus: A Complete Course*, avsnitt 13.5–13.6
- [MIT OCW 18.02SC: Chain Rule](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/) — föreläsningsanteckningar och övningar