---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - optik
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Interferens]]"
  - "[[Brytningsindex]]"
  - "[[Fresnels formler]]"
status: utkast
aliases:
  - Tunna skikt
  - Multipelinterferens
  - Antireflexbehandling
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Interferens]], [[Brytningsindex]], [[Fresnels formler]]

---

Ljus som reflekteras mot skiktets över- respektive undersida interfererar, och gångvägsskillnaden beror på skiktets tjocklek och brytningsindex. Fasskiftet vid reflektion mot ett tätare medium måste räknas med; fenomenet ger färgerna i såpbubblor och ligger bakom antireflexbehandling.

---

## 1. Strålgången i skiktet

Ljus infaller från ett medium med [[Brytningsindex|brytningsindex]] $n_1$ mot ett tunt skikt med brytningsindex $n$ och tjockleken $d$; på andra sidan skiktet är brytningsindexet $n_2$. Vid varje gränsyta delas strålen, så en enda infallande stråle ger upphov till en hel serie utgående strålar — $I_{R1},I_{R2},I_{R3},\ldots$ på reflektionssidan och $I_{T1},I_{T2},I_{T3},\ldots$ på transmissionssidan. Det är därför fenomenet också kallas multipelinterferens.

Vid nästan vinkelrätt infall ges reflektanserna vid de två gränsytorna av [[Fresnels formler|Fresnels formler]] i approximerad form:

$$
R_1=\dfrac{(n-n_1)^2}{(n+n_1)^2}
\qquad
R_2=\dfrac{(n-n_2)^2}{(n+n_2)^2}
$$
*Fysika: Fc3 (vinkelrätt infall)*

---

## 2. Tvåstråleapproximationen

Är skiktet glas med luft på båda sidor blir $R_1=R_2=\dfrac{(1{,}5-1)^2}{(1{,}5+1)^2}=0{,}04$. Följer vi de reflekterade strålarna genom gränsytorna får varje ny stråle två reflektioner extra:

$$
I_1=R_1I_0=0{,}040\,I_0
\qquad
I_2=(1-R_1)^2R_2\,I_0=0{,}037\,I_0
\qquad
I_3=(1-R_1)^2R_2^{\,2}R_1\,I_0=0{,}00006\,I_0
$$

De två första strålarna har alltså nästan samma intensitet medan de övriga är försumbara, och som en första approximation kan vi därför räkna med ren tvåstråleinterferens:

$$
I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\left(\Delta\varphi\right)
$$
*Fysika: Fc4a*

---

## 3. Fasskillnaden

Fasskillnaden mellan de två strålarna har två bidrag: den extra sträcka den andra strålen tillryggalägger fram och tillbaka genom skiktet, och de fassprång som uppstår vid reflektion.

$$
\boxed{\Delta\varphi=k\left(2nd+(\text{antalet fassprång})\cdot\dfrac{\lambda}{2}\right)}
$$

Den optiska vägen $2nd$ är den geometriska sträckan $2d$ viktad med skiktets brytningsindex, och varje reflektion mot ett *optiskt tätare* medium bidrar med ett fassprång på $\pi$ radianer — vilket är precis vad en halv våglängd motsvarar, därav termen $\lambda/2$.

![[f05-tunt-skikt-reflexer.png|520]]

*Stråle 1 reflekteras i skiktets ovansida, stråle 2 går genom skiktet och reflekteras i undersidan. Nära vinkelrätt infall är vägskillnaden $2d$, alltså optisk väg $2nd$, och varje reflektion mot ett tätare medium ger ett fassprång $\pi$.*

---

## 4. Maximum och minimum

Maximum får vi där cosinustermen är $+1$, alltså där fasskillnaden är ett helt antal varv:

$$
\Delta\varphi=p\cdot 2\pi
$$

Minimum får vi där cosinustermen är $-1$, alltså vid ett udda antal halva varv:

$$
\Delta\varphi=(2p+1)\pi
$$

Eftersom $\Delta\varphi$ beror på våglängden uppfylls maximivillkoret vid olika tjocklekar för olika färger — det är därför en såpbubbla eller en oljefilm på vatten framstår som färgad i vitt ljus.

---

## 5. Reflekterat och transmitterat ljus skiljer sig åt

På reflektionssidan är de två dominerande strålarna nästan lika starka, $0{,}040\,I_0$ mot $0{,}037\,I_0$, och interferenstermen räcker därför till att nästan helt släcka minima.

På transmissionssidan är läget det motsatta: den första strålen går rakt igenom båda gränsytorna medan den andra först måste reflekteras två gånger, vilket gör den tusenfalt svagare.

$$
I_{T1}=(1-R_1)(1-R_2)\,I_0=0{,}92\,I_0
\qquad
I_{T2}=(1-R_1)R_2R_1(1-R_2)\,I_0=0{,}0015\,I_0
$$

En stark stråle och en svag ger bara en liten modulation ovanpå en hög medelnivå, så interferensmönstret i det genomgående ljuset är svårt att över huvud taget se. Skillnaden kvantifieras av [[Visibilitet|visibiliteten]].

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1200|35.4 Interference in Thin Films]]
- Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 2.3 *Multipelinterferens*

## Se även

- [[Visibilitet]]
- [[Interferens]]
- [[Fresnels formler]]
- [[Brytningsindex]]
- [[Reflektion av vågor]]
- [[Multipelspalt]]

## Resurser

- [Wikipedia: Thin-film interference](https://en.wikipedia.org/wiki/Thin-film_interference)

---

← [[Multipelspalt]] · [[F0005T]] · [[Visibilitet]] →