---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "18.1–18.6"
tags:
  - fysik
  - termodynamik
  - idealgas
  - kinetisk teori
förkunskaper:
  - "[[Integraler]]"
status: true
aliases:
  - Idealgas
  - Ideala gaslagen
  - Kinetisk gasteori
  - RMS-fart
  - Fri medelväglängd
  - Frihetsgrader
---

> **Kapitel:** 18.1–18.6 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Integraler]]

---

## 1. Ideala gaslagen

### 1.1 Definition

> [!abstract] Definition: Ideala gaslagen
> En *ideal gas* är en teoretisk modell där molekylerna är punktformiga och inte interagerar med varandra (utom vid perfekt elastiska kollisioner). Sambandet mellan tillståndsvariabler ges av:
>
> $$\boxed{pV = nRT}$$
>
> - $p$ = tryck $[\text{Pa}]$
> - $V$ = volym $[\text{m}^3]$
> - $n$ = substansmängd $[\text{mol}]$
> - $R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$ — allmänna gaskonstanten
> - $T$ = temperatur i **Kelvin** (aldrig Celsius!)

### 1.2 Alternativa former

Med gasmassa $m$ och specifik gaskonstant $R_s = R/M$ (molmassa $M$ i kg/mol):

$$pV = mR_sT$$

Densitet:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{p}{R_s T}$$

Vid konstant massa (jämföra två tillstånd):

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

> [!tip] När fungerar ideala gaslagen?
>
> Modellen fungerar bra vid normala förhållanden — inte vid extremt högt tryck (molekylerna är nära varandra) eller extremt låg temperatur (nära kondensation).

### 1.3 Van der Waals ekvation

En bättre modell som korrigerar för molekylernas storlek och attraktiva krafter:

$$\left(p + a\frac{n^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT$$

- $a\frac{n^2}{V^2}$: Korrigering för intermolekylär attraktion (ökar "effektivt" tryck).
- $nb$: Korrigering för molekylernas volym (minskar tillgänglig volym).

---

## 2. Kinetisk gasteori

### 2.1 Temperatur = molekylernas rörelseenergi

> [!abstract] Revolutionär insikt
> Temperaturen är ett mått på molekylernas genomsnittliga kinetiska *translationsenergi*.

**Per molekyl** (enatomig gas):

$$K_{tr,m} = \frac{3}{2}k_B T = \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle$$

**Per mol:**

$$K_{tr} = \frac{3}{2}nRT$$

där $k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ är Boltzmanns konstant (sammankopplad med $R$ via $k_B = R/N_A$).

### 2.2 RMS-fart

> [!abstract] Definition: RMS-fart
> Root-Mean-Square-farten är ett mått på den typiska molekylhastigheten:
>
> $$\boxed{v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}}$$

| Faktor | Effekt på $v_{rms}$ |
|---|---|
| Högre temperatur $T$ | $v_{rms}$ ökar (proportionellt mot $\sqrt{T}$) |
| Tyngre molekyler (större $M$) | $v_{rms}$ minskar (proportionellt mot $1/\sqrt{M}$) |

Exempel vid rumstemperatur: kväve $\text{N}_2 \approx 500\ \text{m/s}$, väte $\text{H}_2 \approx 1900\ \text{m/s}$.

### 2.3 Fri medelväglängd

$$\lambda = \frac{k_BT}{4\pi\sqrt{2}\, r^2 p}$$

Genomsnittlig sträcka en molekyl rör sig mellan kollisioner, där $r$ är molekylradien.

---

## 3. Molär värmekapacitet och frihetsgrader

### 3.1 Frihetsgrader

Varje frihetsgrad hos en molekyl bidrar med $\frac{1}{2}R$ till den molära värmekapaciteten vid konstant volym:

$$C_V = \frac{f}{2}R$$

| Gastyp | Frihetsgrader $f$ | $C_V$ | $C_p = C_V + R$ | $\gamma = C_p/C_V$ |
|---|:-:|:-:|:-:|:-:|
| Monoatomär (He, Ar) | 3 | $\frac{3}{2}R$ | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{5}{3} \approx 1{,}67$ |
| Diatomär ($\text{N}_2$, $\text{O}_2$) | 5 | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{7}{2}R$ | $\frac{7}{5} = 1{,}40$ |
| Fleratomär ($\text{CO}_2$) | 6+ | $3R$+ | $4R$+ | $\approx 1{,}33$ |

**Frihetsgraderna för diatomära molekyler:**
- 3 translationsriktningar ($x$, $y$, $z$)
- 2 rotationsaxlar (tredje axeln längs bindningen ger försumbart bidrag)
- Vibration tillkommer vid höga temperaturer

> [!tip] Intuition: Fler "konsumenter" av energi
>
> Ju fler frihetsgrader, desto fler sätt energin kan fördelas — och desto mer energi krävs för att höja temperaturen. Det förklarar varför mer komplexa molekyler har högre värmekapacitet.

---

## 4. Faser och fasdiagram

### 4.1 Fasövergångar

| Övergång | Namn | Energi |
|---|---|---|
| Fast → Flytande | Smältning | Tillförs (smältvärme) |
| Flytande → Gas | Förångning | Tillförs (ångbildningsvärme) |
| Fast → Gas | Sublimering | Tillförs |
| Gas → Flytande | Kondensation | Frigörs |
| Flytande → Fast | Stelning | Frigörs |

### 4.2 pT-diagrammet

Ett fasdiagram med tryck på y-axeln och temperatur på x-axeln visar i vilka regioner varje fas är stabil.

**Speciella punkter:**

- **Tripelpunkten:** Den unika kombinationen av $p$ och $T$ där alla tre faser samexisterar i jämvikt.
- **Kritiska punkten:** Ovanför denna existerar ingen distinkt gräns mellan vätska och gas — de smälter samman till en superkritisk fluid.

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-550-1100.pdf#page=60|Chapter 18 Thermal Properties of Matter]]

## Se även

- [[Termodynamikens första lag]] — värme, arbete och inre energi
- [[Termodynamiska processer]] — isoterm, isobar, isokor, adiabatisk
- [[Värmeöverföring]] — hur värme transporteras

---

## Resurser

### Wikipedia
- [Ideal gas law](https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law)
- [Kinetic theory of gases](https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases)
- [Phase diagram](https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_diagram)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 18
- Fysika upplaga 5, kap 18 (Tg3: specifika gaskonstanter, Te: R-värdet)

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2025-12-03 och 2025-12-04, F0004T
> Föreläsare: Erik Elfgren

### 2025-12-03 – TERMO3: Termiska materieegenskaper (kap 18)

#### 18.0 Makro ↔ Mikro

Termodynamik kopplar mikro-egenskaper (molekylernas massa, hastighet, kinetisk energi, rörelsemängd) till makro-egenskaper (temperatur, tryck, volym, massa).

#### 18.1 Tillståndsekvationer (EOS)

Ett materials tillstånd beskrivs av trycket $p$, temperaturen $T$, volymen $V$ och massan $m$.

**Fasta material:**
$$V=V_0(1+\beta(T-T_0)-k(p-p_0))$$
$\beta$ = expansionskoefficient, $k$ = kompressibilitet (materialberoende)

**Gaser – Ideala gaslagen (IG):**
$$pV=nRT$$
$R=8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$ (allmänna gaskonstanten, se Fysika Te)

> *Elfgrens trick: "pv lika med nrt" – sång för att minnas IG*

IG fungerar bra när temperatur ej är extremt låg och trycket ej extremt högt (molekylerna långt ifrån varandra).

Med gasmassa $m$: $pV = mR_sT$, $R_s = R/M$ (specifik gaskonstant, se Fysika Tg3)

Om massan är konstant:
$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

**Van der Waals ekvation** (inkluderar molekylstorlek och krafter):
$$\left(p+a\cdot\frac{n^2}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$$
$a, b$ är materialberoende konstanter.

#### pV- och TV-diagram

- **Konstant temperatur** (isoterm): $pV=\text{konst}$
- **Konstant tryck** (isobar): $T \propto V$
- Fasdiagram för icke-ideal gas visar fas-regioner och tripelpunkt

#### 18.2 Molekylära egenskaper

Gaser: molekylerna rör sig nästan obehindrat; vätskor: attraktiva krafter håller ihop; fasta material: molekylerna hårt bundna.

**Kinetik för ideala gaser:**

Kinetisk medeltranslationsenergi (enatomig gas):
$$K_{tr}=\frac{3}{2}nRT$$

Per molekyl:
$$K_{tr,m}=\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m\langle v^2\rangle$$
$k=\text{Boltzmanns konstant}=1{,}38\times10^{-23}\ \text{J/K}$

**RMS-fart (Root-Mean-Square-fart):**
$$v_{rms}=\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

- Högre temperatur → snabbare molekyler ($v_{rms}$ ökar)
- Tyngre molekyler (större $M$) → långsammare ($v_{rms}$ minskar)

---

### 2025-12-04 – TERMO4: Fri medelväglängd, värmekapacitet, faser

#### Fri medelväglängd

Genomsnittlig sträcka en molekyl rör sig innan kollision:
$$\lambda=\frac{kT}{4\pi\sqrt{2}\, r^2 p}$$
$N$ = antal molekyler, $r$ = molekylradie

#### Molär värmekapacitet ($C_v$ vid konstant volym)

$$dQ=nC_v\cdot dT$$

Varje frihetsgrad bidrar med $\frac{1}{2}R$ till $C_v$:

| Gastyp | Frihetsgrader | $C_V$ |
|---|---|---|
| Enatomig | 3 (translation) | $\frac{3}{2}R$ |
| Diatomig | 5 (+ 2 rotation) | $\frac{5}{2}R$ |
| Fleratomig | 6+ | $3R$ eller mer |

För diatomiga molekyler (t.ex. $\text{O}_2$):
$$dQ = dK_{\text{translation}} + dK_{\text{rotation}} + dK_{\text{vibration}}$$

*Intuition: Desto fler frihetsgrader som ska dela på energin, desto högre värmekapacitet.*

**Fasta ämnen:** 3 vibrationsriktningar + 3 potentiella fjäderenergier → $C_v = 3R$. (Slå upp $C_p$ i tabell 1–3 för verkliga värden.)

#### 18.6 Faser och fasövergångar

$pT$-diagram visar fasregioner: fast, flytande, gas.

| Övergång | Namn |
|---|---|
| Fast → Gas | Sublimering |
| Flytande → Gas | Förångning |
| Fast → Flytande | Smältning |

- **Tripelpunkten** – fast, flytande och gas möts
- **Kritiska punkten** – bortom denna saknas distinkt gräns gas/vätska