---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Flerdimensionella fördelningar]]"
  - "[[Fördelningsfunktion]]"
  - "[[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]"
status: utkast
aliases:
  - Gauss approximationsformler
  - Felfortplantning
  - Fördelningsfunktionsmetoden
  - Faltningsformeln
  - Funktioner av stokastiska variabler
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Flerdimensionella fördelningar]], [[Fördelningsfunktion]], [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]

---

Fördelningen för en icke-linjär funktion $\zeta = g(\xi_1,\dots,\xi_d)$ av stokastiska variabler tar vi fram i två steg: först fördelningsfunktionen $F_\zeta(z) = P(\zeta\le z)$ som sannolikheten för ett område, sedan frekvensfunktionen genom derivering. När det inte går att räkna exakt kan vi i stället approximera väntevärde och varians genom linjärisering.

---

## 1. Fördelningsfunktionsmetoden

För [[Linjära funktioner av stokastiska variabler|linjära funktioner]] räcker räknereglerna för väntevärde och varians. För en godtycklig funktion $\zeta = g(\xi,\eta)$ behöver vi hela fördelningen, och den tar vi fram så här:

1. **Skriv händelsen som ett område.** $\{\zeta\le z\} = \{(\xi,\eta)\in D_z\}$, där $D_z = \{(x,y): g(x,y)\le z\}$.
2. **Räkna sannolikheten.** $F_\zeta(z) = P\big((\xi,\eta)\in D_z\big)$ — en dubbelintegral av den [[Flerdimensionella fördelningar|simultana frekvensfunktionen]], eller ett areaförhållande om fördelningen är likformig.
3. **Derivera.** $f_\zeta(z) = F_\zeta'(z)$.

> [!tip] Varför gå via $F$?
> $P(\zeta\le z)$ är sannolikheten för ett *område*, och sådana kan vi räkna. Frekvensfunktionen $f_\zeta(z)$ är ingen sannolikhet i sig, så den går inte att få fram direkt. Samma knep fungerar i en dimension: för $\eta = \xi^2$ är $F_\eta(y) = P(-\sqrt y\le\xi\le\sqrt y)$.

---

## 2. Summor: faltningsformeln

För $\zeta = \xi + \eta$ är $D_z$ halvplanet under linjen $y = z - x$:

$$
F_\zeta(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{z-x} f(x,y)\,dy\,dx
$$

Är $\xi$ och $\eta$ oberoende är $f(x,y) = f_\xi(x)\,f_\eta(y)$, och derivering ger **faltningsformeln**

$$
\boxed{f_\zeta(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(z - x)\,f_\eta(x)\,dx}
$$

Summan av två oberoende rektangelfördelade variabler får på så sätt en triangelformad frekvensfunktion, och summan av $n$ oberoende $\text{Exp}(\lambda)$-variabler en Gammafördelning med frekvensfunktionen $\dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}z^{n-1}e^{-\lambda z}$, $z > 0$.

---

## 3. Avstånd och kvadrater

**Avstånd från origo.** Är $(\xi,\eta)$ likformigt fördelad på enhetscirkelskivan och $\zeta = \sqrt{\xi^2 + \eta^2}$ är $\{\zeta\le z\}$ en cirkelskiva med radie $z$, så

$$
F_\zeta(z) = \dfrac{\pi z^2}{\pi} = z^2, \qquad f_\zeta(z) = 2z, \qquad 0 < z < 1
$$

Frekvensfunktionen växer med $z$: det finns mer area långt ut än nära centrum.

**Kvadrater.** Är $\eta = \xi^2$ och $\xi$ kontinuerlig ger steg 2 $F_\eta(y) = F_\xi(\sqrt y) - F_\xi(-\sqrt y)$ för $y > 0$, och kedjeregeln

$$
f_\eta(y) = \dfrac{1}{2\sqrt y}\Big(f_\xi(\sqrt y) + f_\xi(-\sqrt y)\Big), \qquad y > 0
$$

Med $\xi\in N(0,1)$ blir detta $\chi^2$-fördelningen med $1$ frihetsgrad. Summan av kvadraterna av $k$ oberoende $N(0,1)$-variabler är $\chi^2$-fördelad med $k$ frihetsgrader.

Det minsta och största värdet av flera variabler är ett eget viktigt fall, se [[Max och min av stokastiska variabler]].

---

## 4. Approximativt: Gauss approximationsformler

För en icke-linjär funktion av stokastiska variabler går väntevärde och varians i allmänhet inte att beräkna exakt. Vi linjäriserar då funktionen kring väntevärdena med en Taylorutveckling, vilket ger Gauss approximationsformler — grunden för felfortplantning.

För en variabel, med $\mu = E(\xi)$:

$$
E\big(g(\xi)\big) \approx g(\mu), \qquad V\big(g(\xi)\big) \approx \big(g'(\mu)\big)^2\,V(\xi)
$$

och för oberoende $\xi_1,\dots,\xi_n$:

$$
V\big(g(\xi_1,\dots,\xi_n)\big) \approx \sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{\partial g}{\partial x_i}(\mu_1,\dots,\mu_n)\right)^2 V(\xi_i)
$$

Approximationen är bra när $g$ är nästan linjär över det område där variablerna brukar hamna, alltså när standardavvikelserna är små.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Satt in direkt i frekvensfunktionen.** $f_\zeta(z)$ fås inte genom att sätta in $g$ i $f_\xi$; gå via $F_\zeta(z) = P(\zeta\le z)$ och derivera.
> - **Intervallen.** Området $D_z$ kan byta form med $z$ — summan av två $R(0,1)$ har olika uttryck för $z < 1$ och $z > 1$. Ange också att $F_\zeta = 0$ under och $1$ över värdemängden.
> - **Bara ena roten.** För $\eta = \xi^2$ är $\{\eta\le y\} = \{-\sqrt y\le\xi\le\sqrt y\}$ — båda rötterna ska med.
> - **Gauss formler som exakta.** $E(g(\xi))\approx g(\mu)$ är en approximation; likhet gäller bara när $g$ är linjär.

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

Övningarna märkta *Kompendiet* kommer ur kompendiet om flerdimensionella fördelningar. Det saknar facit, så de är lösta två gånger oberoende av varandra.

> [!example]- Lektion 19, övning 1 — Total väntetid för två bussar
> En person ska ta två bussar. Väntetiderna är oberoende och $R(0,10)$-fördelade. Låt $\zeta$ vara den totala väntetiden.
>
> a) Beräkna fördelningsfunktionen för $\zeta$.
>
> b) Bestäm och skissa frekvensfunktionen för $\zeta$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Simultan fördelning.** Med $\xi$ och $\eta$ som väntetiderna är $f(x,y) = \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10} = \frac{1}{100}$ på kvadraten $K = [0,10]\times[0,10]$, alltså likformig fördelning med $|K| = 100$. Sannolikheter blir areor delat med $100$.
> >
> > **a)** $\{\zeta\le z\}$ är delen av kvadraten under linjen $x + y = z$.
> >
> > ![[lek19-summa-rektangel.png|560]]
> >
> > - $0 < z\le 10$: området är en triangel med kateterna $z$, arean $z^2/2$.
> > - $10 < z\le 20$: komplementet är en triangel uppe till höger med kateterna $20 - z$.
> >
> > $$
> > F_\zeta(z) = \begin{cases} 0, & z\le 0 \\[2pt] \dfrac{z^2}{200}, & 0 < z\le 10 \\[6pt] 1 - \dfrac{(20 - z)^2}{200}, & 10 < z\le 20 \\[6pt] 1, & z > 20 \end{cases}
> > $$
> >
> > **b)** Derivera bit för bit:
> > $$
> > f_\zeta(z) = \begin{cases} \dfrac{z}{100}, & 0 < z\le 10 \\[6pt] \dfrac{20 - z}{100}, & 10 < z\le 20 \\[6pt] 0, & \text{annars} \end{cases}
> > $$
> > En triangel med toppen vid $z = 10$ (högra panelen). Två oberoende likformiga väntetider ger alltså **inte** en likformig summa: värden nära mitten kan uppstå på många sätt, värden nära $0$ eller $20$ bara på ett.
> >
> > **Rimlighetskoll.** Triangelns area är $\frac12\cdot20\cdot\frac{10}{100} = 1$.
> >
> > *Facit: $F_\zeta(z) = z^2/200$ för $0 < z\le 10$ och $1 - (20-z)^2/200$ för $10 < z\le 20$; $f_\zeta$ är triangelformad med toppen i $z = 10$.*

> [!example]- Lektion 19, övning 3 — Partikel i ett klot
> Positionen för en partikel relativt origo är likformigt fördelad på klotet med centrum i origo och radie $R > 0$.
>
> a) Antag $R = 1$. Vad är sannolikheten att partikeln befinner sig högst $0{,}35$ från origo?
>
> b) Låt $\zeta$ vara partikelns avstånd från origo. Diskutera hur frekvensfunktionen för $\zeta$ borde se ut.
>
> c) Beräkna och skissa frekvensfunktionen för $\zeta$ för godtyckligt $R$. Bestäm även väntevärde och median för $\zeta$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Likformig fördelning i tre dimensioner: sannolikheten är ett volymförhållande. $\{\zeta\le 0{,}35\}$ är ett klot med radie $0{,}35$:
> > $$
> > P(\zeta\le 0{,}35) = \dfrac{\frac43\pi\cdot0{,}35^3}{\frac43\pi\cdot1^3} = 0{,}35^3 \approx \boxed{0{,}043}
> > $$
> >
> > **b)** Sannolikheten att hamna i en liten kub är ungefär $f\,dx_1\,dx_2\,dx_3$, och $f$ är konstant. Ett tunt skal på avståndet $z$ har volymen ungefär $4\pi z^2\,dz$, som växer med $z$. Frekvensfunktionen för $\zeta$ borde därför vara noll vid origo och växa ungefär som $z^2$ ut till $R$.
> >
> > **c)** För $0\le z\le R$ är $\{\zeta\le z\}$ ett klot med radie $z$:
> > $$
> > F_\zeta(z) = \dfrac{\frac43\pi z^3}{\frac43\pi R^3} = \dfrac{z^3}{R^3}, \qquad f_\zeta(z) = F_\zeta'(z) = \boxed{\dfrac{3z^2}{R^3}}, \qquad 0\le z\le R
> > $$
> >
> > *Väntevärde:*
> > $$
> > E(\zeta) = \int_0^R z\cdot\dfrac{3z^2}{R^3}\,dz = \dfrac{3}{R^3}\cdot\dfrac{R^4}{4} = \boxed{0{,}750\,R}
> > $$
> >
> > *Median:* $F_\zeta(m) = 0{,}5$ ger $m^3/R^3 = 0{,}5$, alltså
> > $$
> > m = \sqrt[3]{0{,}5}\,R \approx \boxed{0{,}794\,R}
> > $$
> >
> > Medianen ligger över väntevärdet eftersom fördelningen är vänsterskev: massan är samlad långt ut, med en lång svans in mot origo.
> >
> > *Facit: a) 0,042 — vi får 0,043, eftersom $0{,}35^3 = 0{,}042875$ och facit har kortat bort decimalerna i stället för att avrunda; c) $f_\zeta(z) = 3z^2/R^3$, $0\le z\le R$, väntevärdet $0{,}750R$, median $0{,}794R$.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.4 — Högst 12 minuters väntan
> En person ska ta två bussar. Väntetiderna är oberoende och $R(0,10)$-fördelade (minuter). Beräkna sannolikheten att den totala väntetiden blir högst 12 minuter.
>
> > [!note]- Lösning
> > Det är fördelningsfunktionen från lektion 19, övning 1 ovan, i $z = 12$. Området $\{x + y\le 12\}$ är hela kvadraten utom en triangel uppe till höger med kateterna $20 - 12 = 8$:
> > $$
> > P(\zeta\le 12) = 1 - \dfrac{8^2/2}{100} = 1 - 0{,}32 = \boxed{0{,}68}
> > $$
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.5 — Summan av två $R(0,1)$
> Antag att $\xi_1\in R(0,1)$ och $\xi_2\in R(0,1)$ är oberoende. Beräkna fördelningsfunktionen och frekvensfunktionen för $\xi_1 + \xi_2$.
>
> > [!note]- Lösning
> > Samma räkning som bussexemplet, med kvadraten $[0,1]\times[0,1]$ i stället för $[0,10]\times[0,10]$. Arean är $1$, så sannolikheten är arean själv:
> > $$
> > F(z) = \begin{cases} 0, & z\le 0 \\[2pt] \dfrac{z^2}{2}, & 0 < z\le 1 \\[6pt] 1 - \dfrac{(2 - z)^2}{2}, & 1 < z\le 2 \\[6pt] 1, & z > 2 \end{cases}
> > \qquad
> > f(z) = \begin{cases} z, & 0 < z\le 1 \\[2pt] 2 - z, & 1 < z\le 2 \\[2pt] 0, & \text{annars} \end{cases}
> > $$
> > Frekvensfunktionen är en triangel på $(0,2)$ med toppen $1$ i $z = 1$.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.7 — Den ovane pilkastaren
> En ovan pilkastare träffar en cirkulär tavla med radien $1$, och träffpunkten är likformigt fördelad på tavlan. Låt $\zeta$ vara avståndet från träffpunkten till tavlans centrum.
>
> a) Bestäm variansen för $\zeta$.
>
> b) Pilkastaren får $10 - 10\zeta$ poäng. Beräkna det förväntade antalet poäng på ett kast.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Fördelningen för $\zeta$** är avståndet från origo i avsnitt 3: $f_\zeta(z) = 2z$ för $0 < z < 1$.
> >
> > **a)**
> > $$
> > E(\zeta) = \int_0^1 z\cdot2z\,dz = \dfrac23, \qquad E(\zeta^2) = \int_0^1 z^2\cdot2z\,dz = \dfrac12
> > $$
> > $$
> > V(\zeta) = \dfrac12 - \left(\dfrac23\right)^2 = \boxed{\dfrac{1}{18}} \approx 0{,}056
> > $$
> >
> > **b)** Poängen är en linjär funktion av $\zeta$:
> > $$
> > E(10 - 10\zeta) = 10 - 10\cdot\dfrac23 = \boxed{\dfrac{10}{3}} \approx 3{,}3 \text{ poäng}
> > $$
> > Det förväntade avståndet $2/3$ ligger närmare kanten än centrum, eftersom det finns mer area långt ut.
> >
> > **På räknaren.** `∫(z*2*z,z,0,1)` och `∫(z^2*2*z,z,0,1)` i en Calculator-sida.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 1.9 — Avstånd i tre dimensioner
> Låt $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ ha en tredimensionell kontinuerlig fördelning (som i två dimensioner, men med trippelintegraler). Bestäm väntevärdet av $\zeta = \sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2}$ om
>
> a) $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ är likformigt fördelad på klotet med centrum i origo och radien $1$,
>
> b) frekvensfunktionen är
> $$
> f(x_1,x_2,x_3) = \dfrac{1}{\pi a_0^3}\,e^{-2\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}/a_0}, \qquad a_0 = 5{,}2917720859\cdot10^{-11}
> $$
> Den beskriver var väteatomens elektron befinner sig i förhållande till kärnan i grundtillståndet.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Enligt lektion 19, övning 3 ovan, med $R = 1$, är $f_\zeta(z) = 3z^2$ på $(0,1)$ och
> > $$
> > E(\zeta) = \int_0^1 z\cdot3z^2\,dz = \boxed{\dfrac34}
> > $$
> >
> > **b)** Frekvensfunktionen beror bara på avståndet $r$ till origo. Ett tunt skal på avståndet $r$ har volymen $4\pi r^2\,dr$ (se [[Sfäriska koordinater]]), så
> > $$
> > f_\zeta(r) = 4\pi r^2\cdot\dfrac{1}{\pi a_0^3}\,e^{-2r/a_0} = \dfrac{4}{a_0^3}\,r^2 e^{-2r/a_0}, \qquad r > 0
> > $$
> > Med substitutionen $t = 2r/a_0$ och $\int_0^\infty t^n e^{-t}\,dt = n!$:
> > $$
> > E(\zeta) = \int_0^\infty r\cdot\dfrac{4}{a_0^3}\,r^2 e^{-2r/a_0}\,dr = \dfrac{4}{a_0^3}\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^4\cdot3! = \boxed{\dfrac32\,a_0} \approx 7{,}94\cdot10^{-11}
> > $$
> > Samma teknik ger $\int_0^\infty f_\zeta(r)\,dr = \dfrac{4}{a_0^3}\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^3\cdot2! = 1$, en kontroll av att $f$ verkligen är en frekvensfunktion. Elektronen befinner sig i genomsnitt $1{,}5$ Bohrradier från kärnan.
> >
> > **På räknaren.** b) `∫(r*4/a^3*r^2*e^(-2*r/a),r,0,∞)` med `a` odefinierad ger `3*a/2`.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Kompendiet, övning 2.4 — Brownsk rörelse
> Låt $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ vara oberoende, var och en $N(0,\sqrt t)$. I en diffusionsmodell (Brownsk rörelse) är de koordinaterna för en mikroskopisk partikel vid tiden $t$. Beräkna sannolikheten att partikeln vid tiden $t = 1$ befinner sig högst $0{,}341$ från origo.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Till $\chi^2$.** Vid $t = 1$ är $\xi_i\in N(0,1)$, och enligt avsnitt 3 är $\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2$ då $\chi^2$-fördelad med $3$ frihetsgrader. Avståndet är högst $0{,}341$ precis när kvadratsumman är högst $0{,}341^2$:
> > $$
> > P\big(\sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2}\le 0{,}341\big) = P\big(\chi^2(3)\le 0{,}1163\big)
> > $$
> >
> > **Tabellen.** $\chi^2$-tabellen ger att $3$ frihetsgrader har $1\ \%$ av massan under $0{,}115$. Vårt $0{,}1163$ ligger alldeles ovanför, så
> > $$
> > P \approx \boxed{0{,}01}
> > $$
> > Med räknaren blir det $0{,}0102$.
> >
> > **På räknaren.** `χ²Cdf(0,0.341^2,3)`, under `menu` → **Statistics** → **Distributions** → **χ² Cdf**.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

---

## Se även

- [[Max och min av stokastiska variabler]]
- [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]
- [[Flerdimensionella fördelningar]]
- [[Fördelningsfunktion]]
- [[Sfäriska koordinater]]

## Resurser

- [Wikipedia: Convolution of probability distributions](https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_of_probability_distributions)
- [Wikipedia: Propagation of uncertainty](https://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty) — Gauss approximationsformler

---

← [[Tvådimensionell normalfördelning]] · [[S0008M]] · [[Max och min av stokastiska variabler]] →