--- kurs: - S0008M tags: - matematik - statistik - sannolikhetslära - fördelning förkunskaper: - "[[Binomialfördelning]]" status: utkast aliases: - Hypergeometriska fördelningen - Hypergeometric distribution --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Binomialfördelning]] --- Den hypergeometriska fördelningen räknar hur många markerade objekt vi får när vi drar ett stickprov **utan återläggning** ur en ändlig population. Den är binomialfördelningens motsvarighet när dragningarna påverkar varandra. --- ## 1. Sannolikhetsfunktionen Ur en population på $N$ objekt, varav $K$ är markerade, drar vi $n$ stycken **utan återläggning**. Låt $\xi$ vara antalet markerade i dragningen. Då är $$ \boxed{P(\xi = k) = \dfrac{\dbinom{K}{k}\dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}} $$ Vännman skriver fördelningen med andelen markerade $p = K/N$ i stället för antalet, $\xi\in\text{Hyp}(N,\ n,\ p)$, så att $K = Np$. Kvoten är ren kombinatorik: nämnaren räknar alla möjliga dragningar, täljaren de gynnsamma — välj $k$ av de markerade och resterande $n-k$ av de omarkerade. > [!important] Skillnaden mot binomialfördelningen > Utan återläggning ändras populationen för varje draget objekt, så försöken är varken oberoende eller likafördelade. Just därför duger inte $\text{Bin}(n,p)$ här — samma räkning som [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|dragning ur en urna]]. --- ## 2. Väntevärde och varians $$ \boxed{E(\xi) = n\dfrac{K}{N}, \qquad V(\xi) = n\dfrac{K}{N}\left(1-\dfrac{K}{N}\right)\dfrac{N-n}{N-1}} $$ Väntevärdet är detsamma som för binomialfördelningen med $p = K/N$. Variansen skiljer sig med faktorn $\frac{N-n}{N-1}$, den **ändliga populationskorrektionen**: den är alltid $\le 1$, så utan återläggning sprider utfallet mindre. Är $N$ stor jämfört med $n$ går faktorn mot $1$ och fördelningen mot $\text{Bin}(n, K/N)$ — därför spelar det i praktiken ingen roll om man drar med eller utan återläggning ur en tillräckligt stor population. > [!example]- Exempel — defekta komponenter i ett stickprov > En låda innehåller $20$ komponenter, varav $5$ är defekta. Vi drar $4$ stycken utan återläggning. Vad är sannolikheten att exakt en är defekt? > > > [!note]- Lösning > > **Setup.** $N = 20$, $K = 5$ defekta, $n = 4$ dragna, och vi söker $k = 1$. > > > > **Räkningen.** > > $$ > > P(\xi = 1) = \dfrac{\dbinom{5}{1}\dbinom{15}{3}}{\dbinom{20}{4}} > > = \dfrac{5\cdot 455}{4845} > > = \boxed{\dfrac{455}{969}} \approx 0{,}470 > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** Väntevärdet är $E(\xi) = 4\cdot\frac{5}{20} = 1$, alltså är exakt en defekt det mest sannolika utfallet — att det svarar för knappt hälften av sannolikhetsmassan stämmer. Binomialapproximationen ger $0{,}422$; att den underskattar är väntat, eftersom den saknar populationskorrektionen och därför sprider ut massan för mycket. > > > > **På räknaren.** Fördelningen saknas som funktion: `nCr(5,1)*nCr(15,3)/nCr(20,4)`. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ![[hypergeometrisk-fordelning.png|460]] Hela fördelningen i exemplet: masscentrum ligger vid väntevärdet $1$, och sannolikheten att få alla fyra defekta är nästan noll. --- ## 3. Approximationer Är urvalet litet jämfört med populationen spelar det nästan ingen roll att vi drar utan återläggning: | Villkor | Approximation | |---|---| | $n/N \le 0{,}1$ | $\text{Hyp}(N,n,p) \approx \text{Bin}(n,p)$ | | $p + n/N \le 0{,}1$ och $n \ge 10$ | $\text{Hyp}(N,n,p) \approx \text{Po}(np)$ | Poissonapproximationen är ofta enklast att räkna med eftersom den bara har en parameter och finns i tabell. > [!warning] Vanliga fel > - **Använda binomialfördelningen för små populationer.** Utan återläggning och med $n/N > 0{,}1$ ändras sannolikheten märkbart mellan dragningarna. > - **Tappa korrektionsfaktorn i variansen.** $V(\xi) = \dfrac{N-n}{N-1}\,np(1-p)$; utan faktorn blir variansen för stor. > - **Blanda ihop $n$ och $N$.** $N$ är populationen, $n$ antalet dragna. --- ## 4. Lösta lektionsuppgifter > [!example]- Lektion 4, övning 4 — Parametrarna i urnan > I en urna ligger 25 kulor, 10 röda och resten svarta. Utan återläggning och på måfå väljs 5 kulor. Låt $\xi$ = antalet röda kulor i urvalet. Då är $\xi$ hypergeometriskt fördelad. Vilka är parametrarna? > > > [!note]- Lösning > > Populationens storlek är $N = 25$, urvalets storlek $n = 5$, och andelen röda är $p = 10/25 = 0{,}4$: > > $$ > > \xi\in\boxed{\text{Hyp}(25,\ 5,\ 0{,}4)} > > $$ > > Sannolikheterna är desamma som räknades i [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen|lektion 2, övning 1]], till exempel $P(\xi = 2) \approx 0{,}385$. > > > > *Facit: N = 25, n = 5, p = 0,4.* > [!example]- Lektion 5, övning 9 — Stickprov ur ett stort parti > En tillverkningsprocess har felkvoten $0{,}05$. Ur ett parti om 3000 enheter väljs 100 på måfå. Låt $\xi$ = antal defekta bland de 100. Bestäm det minsta tröskelvärdet $k$ sådant att $P(\xi > k) < 0{,}05$. > > > [!note]- Lösning > > **Modell.** Utan återläggning ur ett parti med $Np = 3000\cdot0{,}05 = 150$ defekta: $\xi\in\text{Hyp}(3000,\ 100,\ 0{,}05)$. > > > > **Approximation 1.** $n/N = 100/3000 < 0{,}1$, så $\xi\approx\text{Bin}(100,\ 0{,}05)$ — men den finns inte i tabellen. > > > > **Approximation 2.** $p + n/N = 0{,}05 + 0{,}033 \approx 0{,}083 \le 0{,}1$ och $n > 10$, så $\xi\approx\text{Po}(np) = \text{Po}(5)$. Den är lättare att räkna med. > > > > **Tröskeln.** Vi söker minsta $k$ med > > $$ > > P(\xi > k) < 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad P(\xi\le k) > 0{,}95 > > $$ > > Poissontabellen för $\lambda = 5$ ger $F(8) \approx 0{,}932$ och $F(9) \approx 0{,}968$, alltså $\boxed{k = 9}$. > > > > **Tolkning.** Det är mindre än $5\ \%$ risk för fler än 9 defekta. Justerar vi processen när 10 eller fler av 100 är defekta sker det i genomsnitt vid mindre än vart tjugonde stickprov, om processen fungerar som den ska. > > > > *Svar i boken (2:a uppl., 3.20): 9. Uppgiften är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaret stämmer också med det.* --- ## Se även - [[Binomialfördelning]] - [[Stokastisk variabel]] - [[Mängdlära]] ## Resurser - [Wikipedia: Hypergeometrisk fördelning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrisk_f%C3%B6rdelning) - [Wikipedia: Hypergeometric distribution](https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_distribution) — utförligare, med härledningar --- ← [[Binomialfördelning]] · [[S0008M]] · [[Poissonfördelning]] →