---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - analys
  - differentialekvation
förkunskaper:
  - "[[Linjära differentialekvationer av första ordningen]]"
status: true
aliases:
  - Homogen ODE
---
> **Kurs:** M0066M
> **Förkunskaper:** [[Linjära differentialekvationer av första ordningen]]

---

En linjär homogen ODE av ordning $n$ med konstanta koefficienter:

$$
a_n y^{(n)}+\cdots+a_1 y'+a_0 y=0
$$

## Karakteristisk ekvation

Ansätt $y=e^{rx}$:

$$
a_n r^n+\cdots+a_1 r+a_0=0
$$

- Enkla reella rötter $r_k$: bidrag $C_k e^{r_k x}$.
- Dubbelrot $r$: bidrag $(C_1+C_2 x)e^{rx}$.
- Komplexa $r=\alpha\pm i\beta$: bidrag $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$.

Allmän lösning är summa av alla bidrag.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=1060|19.5 Linear Differential Equations with Constant Coefficients]]

## Se även

- [[Inhomogena linjära differentialekvationer]]
- [[Differentialekvationer]]