--- kurs: - M0068M kapitel: "13.7" tags: - flervariabelanalys - gradient - partiell-derivata förkunskaper: - "[[Partiella derivator]]" - "[[Kedjeregeln]]" status: utkast aliases: - Gradient - Riktningsderivata - Directional derivative --- > **Kapitel:** 13.7 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]], [[Kedjeregeln]] --- ## 1. Gradienten Gradienten samlar alla partiella derivator för en funktion $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ i en enda vektor. Den beskriver hur $f$ förändras i varje koordinatriktning och är ett centralt verktyg i flervariabelanalys. ### 1.1 Definition För $f(x, y, z)$ definieras gradienten som: $$ \vec{\nabla}f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(x,y,z) \\ f_2(x,y,z) \\ f_3(x,y,z) \end{bmatrix} $$ ### Notation $$ \vec{\nabla}f \quad \text{eller} \quad \operatorname{grad} f $$ ### 1.2 För funktioner av två variabler För $f(x,y)$ förenklas definitionen till: $$ \vec{\nabla}f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\[6pt] \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} $$ > [!example]- Beräkna gradient för $f(x,y) = x^2 + 3xy$ > > Beräkna de partiella derivatorna: > > $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 3x$$ > > Gradienten ges av: > > $$\vec{\nabla}f = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 3x \end{bmatrix}$$ > > I punkten $(1, 2)$: > > $$\vec{\nabla}f(1,2) = \begin{bmatrix} 2(1) + 3(2) \\ 3(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \end{bmatrix}$$ --- ## 2. Riktningsderivatan Partiella derivator mäter förändring längs koordinataxlarna. Riktningsderivatan generaliserar detta — den ger förändringen av $f$ i en valfri riktning $\hat{u}$. ### 2.1 Definition och formel För en enhetsvektor $\hat{u}$ med $\|\hat{u}\| = 1$ definieras riktningsderivatan av $f$ i riktningen $\hat{u}$ som: $$ \boxed{D_{\hat{u}}\,f = \vec{\nabla}f \cdot \hat{u}} $$ > [!warning] Riktningsvektorn måste vara normerad > > $D_{\hat{u}}\,f$ kräver $\|\hat{u}\| = 1$. Om du ges en godtycklig riktning $\vec{v}$, normera alltid först: > $$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$ > Glömmer du normeringen skalas svaret av $\|\vec{v}\|$ — en vanlig räknmiss. ### 2.2 Partiella derivator som specialfall Om $\hat{u} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ fås: $$ D_{\hat{u}}\,f = \vec{\nabla}f \cdot \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} = f_1 = \frac{\partial f}{\partial x} $$ Riktningsderivatan inkluderar alltså partiella derivator som specialfall. > [!example]- Beräkna riktningsderivata för $f(x,y) = x^2y + y^3$ i riktningen $(1,1)$ > > Normera riktningsvektorn: > > $$\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$$ > > Beräkna gradienten: > > $$\vec{\nabla}f = \begin{bmatrix} 2xy \\ x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}$$ > > I punkten $(1, 2)$: > > $$\vec{\nabla}f(1,2) = \begin{bmatrix} 2(1)(2) \\ 1 + 3(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \end{bmatrix}$$ > > Riktningsderivatan: > > $$D_{\hat{u}}\,f(1,2) = \begin{bmatrix}4\\13\end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \frac{4 + 13}{\sqrt{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{2}$$ --- ## 3. Geometrisk tolkning ### 3.1 Vilket $\hat{u}$ maximerar $D_{\hat{u}}\,f$? Använd skalärproduktens definition: $$ D_{\hat{u}}\,f = \vec{\nabla}f \cdot \hat{u} = |\vec{\nabla}f|\,|\hat{u}|\cos\theta = |\vec{\nabla}f|\cos\theta $$ Eftersom $|\hat{u}| = 1$ beror uttrycket enbart på vinkeln $\theta$ mellan $\vec{\nabla}f$ och $\hat{u}$. Cosinus är maximal (= 1) när $\theta = 0$, dvs när $\hat{u}$ pekar i samma riktning som $\vec{\nabla}f$. ### 3.2 Sammanfattning — gradientens egenskaper | Egenskap | Beskrivning | |---|---| | $\vec{\nabla}f$ pekar mot **brantaste stigning** | Riktningen där $f$ ökar snabbast | | $\|\vec{\nabla}f\|$ är **maximal ändringstakt** | Storleken på den snabbaste ökningen | | $-\vec{\nabla}f$ pekar mot **brantaste nedstigning** | Riktningen där $f$ minskar snabbast | | $\vec{\nabla}f \perp$ **nivåyta** $f = \text{konstant}$ | Gradienten är normalvektor till nivåytan | > [!tip] Geometrisk intuition — berglandskapet > > Kom ihåg: Gradienten pekar åt det **brattigast uppför**-hållet. > Nivåkurvorna (höjdkurvorna på en karta) är alltid $\perp$ gradienten. > Tätt liggande nivåkurvor = stor $\|\nabla f\|$ = brant lutning. ![[gradient-vektorfalt.png|520]] > [!example]- Grad och [[Nivåkurvor och ytor|nivåkurva]] för $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ > > Grafen $z = f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ är en kon. > > Nivåkurvan $f(x,y) = c$ ger $\sqrt{x^2+y^2} = c$, dvs cirklar med radie $c$ centrerade i origo. > > Gradienten: > > $$\vec{\nabla}f = \begin{bmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\[6pt] \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{bmatrix}$$ > > I varje punkt pekar $\vec{\nabla}f$ radiellt utåt — vinkelrätt mot nivåkurvorna (cirklarna) — eftersom $f$ ökar snabbast bort från origo. --- ## 4. Tangentplan till en nivåyta ### 4.1 Uppställning Låt $g(x,y,z) = C$ vara en nivåyta och $(a,b,c)$ en punkt på ytan. Eftersom $\vec{\nabla}g(a,b,c)$ är normalvektor till nivåytan i punkten $(a,b,c)$ ges tangentplanet av: $$ \boxed{\vec{\nabla}g(a,b,c) \cdot \begin{bmatrix} x-a \\ y-b \\ z-c \end{bmatrix} = 0} $$ ### 4.2 Utskriven form $$ g_x(a,b,c)(x-a) + g_y(a,b,c)(y-b) + g_z(a,b,c)(z-c) = 0 $$ > [!note]- Jämförelse med tangentplanet till en graf $z = f(x,y)$ > > En graf $z = f(x,y)$ kan skrivas som nivåytan $g(x,y,z) = z - f(x,y) = 0$. > > Då ges tangentplanet av: > > $$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$$ > > vilket stämmer med formeln från avsnitt 13.4. > [!example]- Bestäm tangentplanet till $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ i punkten $(1, 2, 3)$ > > Skriv $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$. > > Beräkna gradienten: > > $$\vec{\nabla}g = \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{bmatrix}$$ > > I punkten $(1,2,3)$: > > $$\vec{\nabla}g(1,2,3) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$$ > > Tangentplanet: > > $$2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$$ > > $$2x + 4y + 6z = 28 \quad \Longrightarrow \quad x + 2y + 3z = 14$$ --- ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=764|13.7 Gradients and Directional Derivatives]] ## Se även - [[Partiella derivator]] - [[Kedjeregeln]] - [[Kritiska punkter]] - [[Lagranges multiplikatormetod]] --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Gradient descent, how neural networks learn (kap 2)](https://youtu.be/IHZwWFHWa-w) — gradientens roll i optimering och maskininlärning - [3Blue1Brown: What's a tensor? (bonus)](https://youtu.be/f5liqUk0ZTw) — djupare geometrisk förståelse av gradienten - [Khan Academy: Directional derivatives and slope](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/directional-derivative-introduction) — introduktion till riktningsderivatan ### Interaktiva verktyg - [GeoGebra: Gradient Field 3D](https://www.geogebra.org/m/pqvzxg7e) — visualisera gradientfält i 3D - [Desmos: Level curves and gradient](https://www.desmos.com/calculator) — rita nivåkurvor och gradientvektorer - [WolframAlpha: Gradient](https://www.wolframalpha.com/input?i=gradient+of+x%5E2+%2B+y%5E2) — beräkna gradienter steg för steg ### Wikipedia - [Gradient](https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient) - [Directional derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative) - [Level set](https://en.wikipedia.org/wiki/Level_set) ### Fördjupning - [Immersive Math — Chapter 8: The Gradient](https://immersivemath.com/ila/ch08_gradients/ch08.html) — interaktiv genomgång med 3D-illustrationer - [MIT 18.02SC: Gradient, Directional Derivative, Tangent Plane](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/) — föreläsningsanteckningar och övningsuppgifter ## Illustrationer ![[gradient-1.png]] *Gradient* ![[gradient_walk.png]] *Gradientvandring* --- ## Föreläsningsanteckningar > Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M > Föreläsare: Stephen McCormick ### 2026-04-10 – Föreläsning 8 (Riktningsderivata och Taylorpolynom) #### Riktningsderivata Syfte: Generalisera partiella derivator till [[Derivata|derivata]] i godtycklig riktning. Partiella derivator mäter förändring längs koordinataxlarna ($x,y,z$), men riktningsderivatan ger förändringen i en helt annan riktning. Givet $f(x,y,z):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$. Gradienten: $$\vec{\nabla}f=\begin{bmatrix}f_1(x,y,z)\\f_2(x,y,z)\\f_3(x,y,z)\end{bmatrix}$$ För en enhetsvektor $\hat{u}$ med $\|\hat{u}\|=1$: $$D_{\hat{u}}f=\vec{\nabla}f\cdot\hat{u}$$ *Krav $\|\hat{u}\|=1$: Riktningsderivatan mäter förändring per längdenhet.* **Vilket $\hat{u}$ maximerar $D_{\hat{u}}f$?** $$D_{\hat{u}}f=|\vec{\nabla}f|\cos\theta$$ Maximum när $\theta=0$ (dvs $\hat{u}$ pekar i samma riktning som $\vec{\nabla}f$). **Slutsats:** - $\vec{\nabla}f$ → riktning där $f$ ökar snabbast - $|\vec{\nabla}f|$ → maximal ändringstakt - $-\vec{\nabla}f$ → riktning där $f$ minskar snabbast - $\vec{\nabla}f$ är normalvektor till nivåytan $f(x,y,z)=\text{konst}$ **Exempel:** $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ (kon). Nivåkurvan $f=c$ är cirklar. Gradienten pekar radiellt utåt – vinkelrätt mot cirklarna. #### Taylorpolynom i flera variabler Syfte: Approximera funktioner kring en punkt med polynom. Idén är att reducera till envariabelfallet via en hjälpfunktion. Låt $\vec{a}=(a,b)$, $\vec{h}=(h,k)$. Definiera: $$F(t)=f(\vec{a}+t\vec{h})=f(a+th,b+tk)$$ Då är $F(0)=f(\vec{a})$ och $F(1)=f(\vec{a}+\vec{h})$. Taylor-expansion av $F(t)$ kring $t=0$ ger Taylorpolynomet för $f$ kring $\vec{a}$: $$F'(t)=\vec{\nabla}f(\vec{a}+t\vec{h})\cdot\vec{h}$$