---
tags:
  - matematik
  - optimering
---
## Optimering på kompakta områden

En kontinuerlig funktion $f(x,y)$ på ett kompakt område $K$ antar alltid både ett maximum och ett minimum (Weierstrass sats). Antag att $(x_0, y_0) \in K$ ger det största värdet. Då finns två möjligheter:

1. $(x_0, y_0)$ är en **inre punkt** — då måste det vara en [[Kritiska punkter|kritisk punkt]], dvs. $f_1(x_0,y_0) = 0$ och $f_2(x_0,y_0) = 0$, eller en singulär punkt där partialderivatorna inte existerar.
2. $(x_0, y_0)$ är en **randpunkt** — vi måste söka separat längs randen $\partial K$.

> **Notis:** $\partial$-tecknet i $\partial K$ betecknar randen av ett område — det har ingenting med partialderivatorna att göra, trots notationen.

### Metod

1. Bestäm alla **kritiska inre punkter**: lös $\nabla f = \vec{0}$, dvs. $f_1 = 0$ och $f_2 = 0$ simultant.
2. Bestäm alla **singulära inre punkter**: punkter i det inre av $K$ där $f_1$ eller $f_2$ inte existerar.
3. **Genomsök randen** $\partial K$: parametrisera varje del av randen och undersök $f$ längs dessa kurvor.

Jämför sedan alla kandidatvärden — störst är maximum, minst är minimum.

---

### Exempel 1

Sök största och minsta värde hos $f(x,y) = x + x^2 + y^2$ på $K: x^2 + y^2 \leq 1$.

**Steg 1 – Kritiska inre punkter:**

$$\nabla f = \vec{0} \iff \begin{cases} f_1 = 1 + 2x = 0 \\ f_2 = 2y = 0 \end{cases} \implies (x,y) = \left(-\tfrac{1}{2},\, 0\right)$$

Kontrollera att $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 = \frac{1}{4} < 1$ — ja, punkten ligger innanför $K$.

Funktionsvärde: $f\!\left(-\tfrac{1}{2}, 0\right) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + 0 = -\tfrac{1}{4}$.

**Steg 2 – Singulära inre punkter:** Saknas ($f$ är ett polynom).

**Steg 3 – Randundersökning:**

Parametrisera randen $x^2 + y^2 = 1$ med $x = \cos t$, $y = \sin t$, $t \in [0, 2\pi]$:

$$g(t) = \cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = \cos t + 1$$

Extrema: $g'(t) = -\sin t = 0 \implies t = 0$ eller $t = \pi$, dvs. punkterna $(1, 0)$ och $(-1, 0)$.

| Punkt | $f$-värde |
|---|---|
| $\left(-\tfrac{1}{2}, 0\right)$ | $-\tfrac{1}{4}$ |
| $(1,\, 0)$ | $2$ |
| $(-1,\, 0)$ | $0$ |

**Svar:** Minsta värdet är $f\!\left(-\tfrac{1}{2}, 0\right) = -\tfrac{1}{4}$, största värdet är $f(1, 0) = 2$.
![[Pasted image 20260414135528.png|200]]![[Pasted image 20260414135551.png|250]]

---

### Exempel 2

Sök största och minsta värde hos $f(x,y) = 3 + x - x^2 - y^2$ på $K: 0 \leq x \leq y \leq 1$ (triangeln med hörn $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$).

**Steg 1 – Kritiska inre punkter:**

$$\nabla f = \vec{0} \iff \begin{cases} f_1 = 1 - 2x = 0 \\ f_2 = -2y = 0 \end{cases} \implies (x,y) = \left(\tfrac{1}{2},\, 0\right)$$

Punkten $\left(\tfrac{1}{2}, 0\right)$ kräver $x \leq y$, dvs. $\tfrac{1}{2} \leq 0$ — falskt. Punkten ligger **utanför** $K$ och kastas bort.

**Steg 2 – Singulära inre punkter:** Saknas.

**Steg 3 – Randundersökning:**

Randen $\partial K$ består av tre sidor:

- $\gamma_1$: $y = x$, $x \in [0,1]$ — diagonalen
- $\gamma_2$: $x = 0$, $y \in [0,1]$ — vänsterkanten
- $\gamma_3$: $y = 1$, $x \in [0,1]$ — toppen

**$\gamma_1$:** $h(x) = f(x,x) = 3 + x - 2x^2$

$$h'(x) = 1 - 4x = 0 \implies x = \tfrac{1}{4}, \quad \text{dvs. } \left(\tfrac{1}{4},\, \tfrac{1}{4}\right)$$

$f\!\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{25}{8}$

**$\gamma_2$:** $h(y) = f(0,y) = 3 - y^2$, avtagande för $y > 0$.

**$\gamma_3$:** $h(x) = f(x,1) = 2 + x - x^2$

$$h'(x) = 1 - 2x = 0 \implies x = \tfrac{1}{2}, \quad \text{dvs. } \left(\tfrac{1}{2},\, 1\right)$$

$f\!\left(\tfrac{1}{2}, 1\right) = \tfrac{9}{4}$

**Hörn:**

| Hörn    | $f$-värde |
| ------- | --------- |
| $(0,0)$ | $3$       |
| $(0,1)$ | $2$       |
| $(1,1)$ | $2$       |

**Alla kandidater:**

| Punkt                                     | $f$-värde                 |
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
| $\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}\right)$ | $\tfrac{25}{8} = 3{,}125$ |
| $\left(\tfrac{1}{2}, 1\right)$            | $\tfrac{9}{4} = 2{,}25$   |
| $(0,0)$                                   | $3$                       |
| $(0,1)$                                   | $2$                       |
| $(1,1)$                                   | $2$                       |

**Svar:** Minsta värdet är $f = 2$, största värdet är $f\!\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{25}{8}$.
![[Pasted image 20260414141425.png|130]] ![[Pasted image 20260414141435.png|140]]![[Pasted image 20260414142833.png|200]]






#### Optimering under bi-vilkor

$$f(x,y)\to\text{max/min, där }(x,y)\in K$$

Bivilkor betyder att man tar med en två variablig [[Nivåkurvor och ytor|nivåkurva]] i spelet. $g(x,y)=0$

**Exempel**

Sök avstånd mellan origo och den släta nivåkurvan $y=h(x)$. Avsåtndet är $\sqrt{ x²+y² }$, men vi kan välja att plocka bort rottäcken och räkna med avstånd i kvadrat. 
$f(x,y)=x²+y²\to\text{minimera under bivilkoret}\to y-h(x)=0$ 

där $y-h(x)=g(x,y)$

Kurvorna $f(x,y)=c$ och $g(x,y)=0$ tangerar varandra i den punkt som ger oss maximum (lösningslunkten) 

$\vec{\nabla}f=-\lambda\vec{\nabla}g$ parralell och motriktade där $\lambda$ är en skallär och kallas [[Lagranges multiplikatormetod]] multiplikator. Metoden som vi tar oss fram till kallas [[Lagranges multiplikatormetod]] 

Man kan införa lagrangefunktionen $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$

Det nödvändiga villkoret kan skrivas som 
$$L_{1}=L_{2}=L_{3}=0\implies f_{1}+\lambda g_{2}= f_{2}+\lambda g_{2} = g=0\Longleftrightarrow \nabla f=-\lambda \nabla g $$
stationaritetsvilkor
$g=0$ = bivilkor

omformning (utan $\lambda$)
$\det[\nabla f\quad  \nabla g]=\begin{vmatrix}f_{1}&g_{1}\\f_{2}&g_{2}\end{vmatrix}=0$

**Example** bestäm punkter
en elips ($17x²+12xy+8y^2=100$) som ligger närmast resp, längst från origo
Man kan se att det är en elips pga det är en [[kvadratisk form]] som är hyperbolisk eller eliptisk. och vi kan skillja på de gemom att ...

![[Pasted image 20260415154549.png|200]]
$x²+y²\to\text{min / max}$ under bivilkoret att $17x²+12xy+8y^2-100=0=g(x)$ det nödvändiga villkoret $0=\det[\nabla f\quad\nabla g]$  

**Exempel** trevariabeloptimering, 
Bestäm det största och det minsta värdet på $f(x,y,z)=x+y²+z$
Tvingar på sfären $x²+y²+z²=1$


![[Pasted image 20260415160941.png|200]]




[[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=801&selection=252,15,252,16|14.2 Exempel 2]]
> Stephen går igenom steg för steg

Vi går vidare till [[Lagranges multiplikatormetod]] 




















































## Illustrationer

![[Screenshot 2026-02-10 at 12.49.24.png]]
*Extremvärde*


## Relaterade koncept

[[topologiska begräpp]]

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=792|14.1 Extreme Values]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=800|14.2 Extreme Values on Restricted Domains]]