---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - analys
  - differentialekvation
förkunskaper:
  - "[[Homogena linjära differentialekvationer]]"
status: true
aliases:
  - Cauchy-Euler
---
> **Kurs:** M0066M
> **Förkunskaper:** [[Homogena linjära differentialekvationer]]

---

En Euler-ekvation har formen

$$
ax^2 y''+bxy'+cy=0,\quad x>0.
$$

## Lösningsansats

Sätt $y=x^r$. Då fås den **karakteristiska ekvationen**

$$
ar(r-1)+br+c=0
$$

- Två reella rötter $r_1\neq r_2$: $y=C_1 x^{r_1}+C_2 x^{r_2}$.
- Dubbelrot $r$: $y=(C_1+C_2\ln x)\,x^r$.
- Komplexa $r=\alpha\pm i\beta$: $y=x^\alpha(C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sin(\beta\ln x))$.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=1057|19.4 Differential Equations of Second Order]]

## Se även

- [[Homogena linjära differentialekvationer]]
- [[Differentialekvationer]]