--- kurs: - F0005T tags: - fysik - atomfysik - modell förkunskaper: - "[[Paulis uteslutningsprincip]]" - "[[Atomorbitaler]]" status: utkast aliases: - Periodiska systemet - Skalfyllnad - Degenererade energinivåer --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Paulis uteslutningsprincip]], [[Atomorbitaler]] --- Orbitalerna fylls nerifrån och upp enligt Pauliprincipen, vilket ger varje grundämne en bestämd konfiguration — natrium $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$, aluminium $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^1$. Nivåer med samma $n$ och $l$ men olika $m_l$ har samma energi så länge sfärens symmetri är obruten; de kallas degenererade. Det är det yttersta skalets konfiguration som styr atomens kemi, och det är därför Mendelejevs periodiska system från år 1869 ser ut som det gör. --- ## Formeln, symbol för symbol $$ E_n=-\underbrace{Z_{\text{eff}}^{2}}_{\substack{\text{kärnladdningen}\\\text{efter skärmning}}}\cdot\dfrac{13{,}6\text{ eV}}{\underbrace{n^{2}}_{\text{skalet}}} $$ En yttre elektron ser inte hela kärnladdningen $Ze$, eftersom de inre elektronerna ligger emellan. Energin räknas som i väte, men med den laddning som faktiskt når fram. --- ## 1. Notation och fyllnadsordning En konfiguration anger hur många elektroner som sitter i varje underskal: siffran är $n$, bokstaven är $l$ (s, p, d, f för $l=0,1,2,3$) och exponenten är antalet elektroner. Exponenterna summerar alltid till $Z$ för en neutral atom, och inget underskal får fler än $2(2l+1)$ enligt [[Paulis uteslutningsprincip]]. I grundtillståndet fylls underskalen i ordning efter stigande energi: $$ 1s\;\;2s\;\;2p\;\;3s\;\;3p\;\;4s\;\;3d\;\;4p\;\;5s\;\;4d\;\;5p\;\;6s\;\;4f\ldots $$ *Fysika: T k3 (konfigurationen för varje grundämne står i periodiska systemet)* Några exempel: | Grundämne | $Z$ | Konfiguration | |---|---|---| | Helium | 2 | $1s^2$ | | Kol | 6 | $1s^2\,2s^2\,2p^2$ | | Neon | 10 | $1s^2\,2s^2\,2p^6$ | | Natrium | 11 | $1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^1$ | | Argon | 18 | $1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6$ | --- ## 2. Skärmning och effektiv kärnladdning I väte beror energin bara på $n$. I en atom med flera elektroner ser en yttre elektron inte hela kärnladdningen $Ze$: de inre elektronerna ligger till stor del mellan den och kärnan och skärmar av en del av laddningen. Effekten beskrivs med en effektiv kärnladdning $Z_{\text{eff}}$, som sätts in i energin för [[Väteliknande system|ett väteliknande system]] i stället för $Z$: $$ E_n=-\dfrac{Z^2}{n^2}\cdot13{,}6\text{ eV}\quad\longrightarrow\quad\boxed{\;E_n=-\dfrac{Z_{\text{eff}}^2}{n^2}\cdot13{,}6\text{ eV}\;} $$ *Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system, med $E_H=13{,}6$ eV från Te)* Löser vi ut $Z_{\text{eff}}$ ur en uppmätt joniseringsenergi $E_{\text{jon}}=|E_n|$ får vi $$ Z_{\text{eff}}=n\sqrt{\dfrac{E_{\text{jon}}}{13{,}6\text{ eV}}} $$ Full skärmning av alla inre elektroner skulle ge $Z_{\text{eff}}=1$ för en ensam valenselektron, ingen skärmning alls $Z_{\text{eff}}=Z$. Verkliga värden ligger däremellan, oftast nära 1. --- ## 3. Varför 4s fylls före 3d Skärmningen är inte lika för alla $l$. En s-elektron har en sannolikhetstäthet som når ända in till kärnan (se [[Atomorbitaler]]), så den tränger in genom de inre skalen och känner ett större $Z_{\text{eff}}$. En d-elektron med samma $n$ håller sig längre ut och är bättre skärmad. I en atom med många elektroner beror energin därför på både $n$ och $l$: $$ E_{ns} [!warning] Vanliga fel > - **$3d$ före $4s$.** I grundtillståndet fylls $4s$ först. Skriv kalium som $\ldots3p^6\,4s^1$, inte $\ldots3p^6\,3d^1$. > - **Exponenterna summerar inte till $Z$.** Kontrollera alltid summan, det avslöjar de flesta felskrivningar. > - **Fel $n$ i $Z_{\text{eff}}$.** Litiums valenselektron sitter i $n=2$, natriums i $n=3$. Med fel $n$ blir $Z_{\text{eff}}$ fel med en faktor $n$. > - **Degeneration tas för given.** I väte har $2s$ och $2p$ samma energi. I atomer med fler elektroner har de det inte, eftersom skärmningen beror på $l$. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Effektiv kärnladdning för litium > Litiums joniseringsenergi är $5{,}39$ eV, och den elektron som lämnar atomen sitter i $2s$. Bestäm $Z_{\text{eff}}$ för den elektronen och jämför med de två ytterlighetsfallen $Z_{\text{eff}}=1$ och $Z_{\text{eff}}=3$. > > > [!note]- Lösning > > **Modell.** Valenselektronen behandlas som en elektron i ett väteliknande system med $n=2$ och energin $E_2=-5{,}39$ eV. > > > > **Lös ut $Z_{\text{eff}}$.** > > $$ > > Z_{\text{eff}}=n\sqrt{\dfrac{E_{\text{jon}}}{13{,}6\text{ eV}}}=2\sqrt{\dfrac{5{,}39}{13{,}6}}=\boxed{1{,}26} > > $$ > > > > **Jämförelse.** Med $Z_{\text{eff}}=1$ skulle de två $1s$-elektronerna skärma perfekt och joniseringsenergin bli $13{,}6/4=3{,}40$ eV. Utan skärmning, $Z_{\text{eff}}=3$, skulle den bli $9\cdot13{,}6/4=30{,}6$ eV. Värdet $1{,}26$ ligger nära full skärmning: $2s$-elektronen är mest utanför $1s$-skalet men tränger in en bit och känner lite mer än $+e$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Svavel och kalium > Skriv grundtillståndets elektronkonfiguration för svavel ($Z=16$) och kalium ($Z=19$). Vilket underskal fylls sist i respektive atom, och varför hamnar kaliums sista elektron i $4s$ och inte i $3d$? > > > [!note]- Lösning > > **Svavel.** Fyll i ordningen $1s,2s,2p,3s,3p$ tills $16$ elektroner är placerade: > > $$ > > \boxed{1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^4}\qquad 2+2+6+2+4=16 > > $$ > > Sist fylls $3p$, som har fyra av sex platser besatta. > > > > **Kalium.** Efter argonskalet ($18$ elektroner) återstår en: > > $$ > > \boxed{1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1}\qquad 18+1=19 > > $$ > > > > **Varför $4s$.** En s-elektron tränger in genom de inre skalen och känner ett större $Z_{\text{eff}}$ än en d-elektron, som hålls utanför och skärmas nästan helt. Därför ligger $4s$ lägre än $3d$ i kalium. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1415|41.6 Many-Electron Atoms and the Exclusion Principle]] --- ← [[Paulis uteslutningsprincip]] · [[F0005T]] · [[Zeemaneffekten]] →