---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - envariabelanalys
  - differentialekvation
förkunskaper:
  - "[[Integraler]]"
status: true
aliases:
  - ODE
  - Ordinära differentialekvationer
---
## Inledning

Det finns **ordinära differentialekvationer** (ODE) och **partiella differentialekvationer** (PDE). I kursen M0066M behandlas endast ODE eftersom partiella har fler variabler, och detta är en envariabelkurs.

En ODE är en ekvation som innehåller en okänd funktion och derivator av denna funktion. Ett exempel från boken: $$xy'''(x) - 3\sqrt{xy'''}(x) + y'(x) + (\ln x)y(x) = 5e^{2x}$$

> [!note]- Vad är en linjär ODE?
> 
> En differentialekvation är **linjär** om den okända funktionen $y$ och alla dess derivator endast förekommer i första potensen och inte multipliceras med varandra.
> 
> **Formellt:** En ODE är linjär om den kan skrivas på formen: $$g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = f(x)$$
> 
> **Exempel på linjära ODE:**
> 
> - $y' + 2y = e^x$
> - $y'' - 3y' + 2y = \sin x$
> - $x^2 y''' + xy' - y = 0$
> 
> **Exempel på icke-linjära ODE:**
> 
> - $y' = y^2$ (kvadratisk i $y$)
> - $yy' = x$ (produkt av $y$ och $y'$)
> - $y'' + \sin(y) = 0$ (icke-linjär funktion av $y$)

> [!note]- Vad är en homogen ODE?
> 
> En linjär ODE är **homogen** om högerledet $f(x) = 0$: $$g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = 0$$
> 
> Om $f(x) \neq 0$ kallas ekvationen **inhomogen** (eller icke-homogen).
> 
> **Exempel:**
> 
> - $y'' + 4y = 0$ är homogen
> - $y'' + 4y = \cos x$ är inhomogen
> 
> **Viktig observation:** $y = 0$ är alltid en lösning till en homogen linjär ODE (den triviala lösningen).

> [!note]- Ordning och grad
> 
> **Ordningen** av en ODE är den högsta derivatan som förekommer.
> 
> |Ekvation|Ordning|
> |:--|:-:|
> |$y' + y = x$|1|
> |$y'' + 3y' - y = 0$|2|
> |$y''' + y = e^x$|3|
> 
> **Graden** är exponenten på den högsta derivatan (efter att ekvationen skrivits som ett polynom i derivatorna).

---

# Del I: Första ordningens ODE

## Separerbara differentialekvationer

> [!info]- Definition: Separabel differentialekvation
> 
> En differentialekvation av typen $g(y) \cdot y' = f(x)$ kallas **separabel**.
> 
> Ekvationen kan också skrivas som $g(y) , dy = f(x) , dx$ efter "separation av variabler".

> [!info]- SATS: Lösning av separerbara differentialekvationer
> 
> Antag att $g(y)$ och $f(x)$ är kontinuerliga med primitiva funktioner $G(y)$ respektive $F(x)$ i intervall $I_g$ respektive $I_f$.
> 
> Lösningarna till differentialekvationen $g(y)y' = f(x)$, $x \in I \subset I_f$, är de på $I$ deriverbara lösningarna till: $$G(y) = F(x) + C$$
> 
> **OBS:** $G(y) = F(x) + C$ ger lösningen på implicit form. Om det går ska man lösa ut $y$ och svara på explicit form $y = h(x)$.

> [!tip]- Receptbok: Separerbara ODE
> 
> **Steg 1:** Skriv ekvationen på formen $g(y) \cdot y' = f(x)$ eller $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}$
> 
> **Steg 2:** Separera variablerna: $g(y) , dy = f(x) , dx$
> 
> **Steg 3:** Integrera båda sidor: $\int g(y) , dy = \int f(x) , dx$
> 
> **Steg 4:** Lös ut $y$ om möjligt (explicit form), annars lämna på implicit form
> 
> **Steg 5:** Glöm inte konstanten $+C$!
> 
> > [!example]- Exempel: $y' = xy$
> > 
> > **Steg 1:** Skriv om: $\frac{dy}{dx} = xy \implies \frac{1}{y} , dy = x , dx$
> > 
> > **Steg 2:** Integrera: $\int \frac{1}{y} , dy = \int x , dx$
> > 
> > **Steg 3:** $\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$
> > 
> > **Steg 4:** Lös ut $y$: $|y| = e^{x^2/2 + C} = e^C \cdot e^{x^2/2}$
> > 
> > **Svar:** $y = Ae^{x^2/2}$ där $A = \pm e^C$ (eller $A = 0$ för triviallösningen)
> 
> > [!example]- Exempel: $e^x y' = 1 + y^2$
> > 
> > **Steg 1:** Separera: $\frac{dy}{1 + y^2} = e^{-x} , dx$
> > 
> > **Steg 2:** Integrera: $\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int e^{-x} , dx$
> > 
> > **Steg 3:** $\arctan(y) = -e^{-x} + C$
> > 
> > **Svar:** $y = \tan(C - e^{-x})$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' = \frac{x}{y}$, $y(0) = 2$
> > 
> > **Steg 1:** Separera: $y , dy = x , dx$
> > 
> > **Steg 2:** Integrera: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$
> > 
> > **Steg 3:** Förenkla: $y^2 = x^2 + 2C$
> > 
> > **Steg 4:** Använd begynnelsevillkor: $y(0) = 2 \implies 4 = 0 + 2C \implies C = 2$
> > 
> > **Svar:** $y = \sqrt{x^2 + 4}$ (positivt eftersom $y(0) = 2 > 0$)
> 
> > [!example]- Exempel: $y' = y^2 \sin x$
> > 
> > **Steg 1:** Separera: $\frac{dy}{y^2} = \sin x , dx$
> > 
> > **Steg 2:** Integrera: $\int y^{-2} , dy = \int \sin x , dx$
> > 
> > **Steg 3:** $-\frac{1}{y} = -\cos x + C$
> > 
> > **Svar:** $y = \frac{1}{\cos x - C}$
> > 
> > **OBS:** Glöm inte triviallösningen $y = 0$!

> [!info]- SATS: Omformning till separabel
> 
> En differentialekvation av typen $$y' = f\left(\frac{ax + by + c}{px + qy + r}\right)$$ där $a, b, c, p, q, r$ är givna konstanter, kan omformas till en separabel differentialekvation genom lämplig [[Variabelbyte i integraler|substitution]].

> [!warning]- Vanliga misstag med separerbara ODE
> 
> - **Glömmer triviallösningen:** Om du delar med $y$ (eller $g(y)$), kontrollera alltid om $y = 0$ är en lösning!
> - **Glömmer absolutbeloppet:** $\int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$, inte $\ln y + C$
> - **Glömmer $\pm$ vid roten:** $y^2 = k \implies y = \pm\sqrt{k}$

## Homogena differentialekvationer (substitution $y = vx$)

> [!info]- Definition: Homogen differentialekvation (av första ordningen)
> 
> En differentialekvation är **homogen** (i denna mening) om den kan skrivas på formen:
> $$y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$$
> 
> Det vill säga, högerledet beror endast på kvoten $\frac{y}{x}$, inte på $x$ och $y$ separat.
> 
> **Exempel på homogena ODE:**
> - $y' = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$ (kan skrivas som $y' = v + v^2$ där $v = \frac{y}{x}$)
> - $y' = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ (kan skrivas som $y' = \frac{1 + v^2}{v}$)
> - $y' = \frac{x + y}{x - y}$ (kan skrivas som $y' = \frac{1 + v}{1 - v}$)
> 
> **Exempel på icke-homogena ODE:**
> - $y' = x + \frac{y}{x}$ (termen $x$ kan inte skrivas som funktion av $\frac{y}{x}$)
> - $y' = y^2 + 1$ (beror inte på kvoten $\frac{y}{x}$)
> 
> > [!warning] OBS: Två betydelser av "homogen"
> > 
> > Termen "homogen" har olika betydelser beroende på kontext:
> > 1. **Här:** $y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$ — högerledet är en funktion av $\frac{y}{x}$
> > 2. **Linjära ODE:** $y' + g(x)y = 0$ — högerledet är noll
> > 
> > Dessa är olika begrepp! Sammanhanget avgör vilken definition som avses.

> [!tip]- Receptbok: Homogena ODE med substitution $y = vx$
> 
> **Steg 1:** Verifiera att ekvationen är homogen
> 
> Kontrollera att $y'$ kan skrivas som $F\left(\frac{y}{x}\right)$.
> 
> **Steg 2:** Substituera $y = vx$ där $v = v(x)$
> 
> **Steg 3:** Beräkna $y'$ med produktregeln
> $$y' = v + xv'$$
> 
> **Steg 4:** Sätt in i ekvationen
> $$v + xv' = F(v)$$
> 
> **Steg 5:** Lös för $v'$ och separera variablerna
> $$xv' = F(v) - v$$
> $$\frac{dv}{F(v) - v} = \frac{dx}{x}$$
> 
> **Steg 6:** Integrera båda sidor
> 
> **Steg 7:** Återsubstituera $v = \frac{y}{x}$ för att få svaret i $y$ och $x$
> 
> > [!warning] Glöm inte!
> > - Kontrollera om $F(v) - v = 0$ har lösningar — dessa ger konstanta lösningar $v = k$, dvs. $y = kx$
> > - Lösningen gäller vanligtvis för $x > 0$ eller $x < 0$ (inte $x = 0$)

> [!success]- Härledning: Varför fungerar substitutionen?
> 
> **Problemet:** En homogen ODE $y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$ är i allmänhet inte separabel — vi kan inte direkt separera $x$ och $y$.
> 
> **Idén:** Eftersom högerledet endast beror på kvoten $\frac{y}{x}$, inför vi denna kvot som ny variabel:
> $$v = \frac{y}{x} \quad \Leftrightarrow \quad y = vx$$
> 
> **Derivera $y = vx$ med produktregeln:**
> 
> Eftersom $v = v(x)$ är en funktion av $x$:
> $$y' = \frac{d}{dx}(v \cdot x) = \frac{dv}{dx} \cdot x + v \cdot 1 = xv' + v$$
> 
> **Sätt in i originalekvationen:**
> 
> Ekvationen $y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$ blir:
> $$v + xv' = F(v)$$
> 
> **Lös för $xv'$:**
> $$xv' = F(v) - v$$
> 
> **Separera variablerna:**
> $$\frac{dv}{F(v) - v} = \frac{dx}{x}$$
> 
> Nu har vi en **separabel ekvation** i $v$ och $x$! Substitutionen har alltså omvandlat en icke-separabel ekvation till en separabel.
> 
> **Sammanfattning:** Substitutionen $y = vx$ utnyttjar strukturen hos homogena ekvationer och reducerar dem till separerbara ekvationer.

> [!example]- Exempel: $y' = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$
> 
> **Steg 1: Verifiera att ekvationen är homogen**
> 
> $$y' = \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$$
> 
> Med $v = \frac{y}{x}$ blir högerledet $v + v^2$. ✓ Homogen!
> 
> **Steg 2: Substituera $y = vx$**
> 
> **Steg 3: Beräkna $y'$**
> $$y' = v + xv'$$
> 
> **Steg 4: Sätt in i ekvationen**
> $$v + xv' = v + v^2$$
> 
> **Steg 5: Förenkla och separera**
> $$xv' = v^2$$
> $$\frac{dv}{v^2} = \frac{dx}{x}$$
> 
> **Steg 6: Integrera**
> $$\int v^{-2} \, dv = \int \frac{dx}{x}$$
> $$-\frac{1}{v} = \ln|x| + C$$
> 
> Lös ut $v$:
> $$v = -\frac{1}{\ln|x| + C}$$
> 
> **Steg 7: Återsubstituera $v = \frac{y}{x}$**
> $$\frac{y}{x} = -\frac{1}{\ln|x| + C}$$
> 
> **Svar:**
> $$y = -\frac{x}{\ln|x| + C}$$

> [!example]- Exempel: $y' = \frac{x^2 + y^2}{xy}$, $x > 0$
> 
> **Steg 1: Verifiera att ekvationen är homogen**
> 
> $$y' = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$$
> 
> Med $v = \frac{y}{x}$ får vi $\frac{x}{y} = \frac{1}{v}$, så:
> $$y' = \frac{1}{v} + v = \frac{1 + v^2}{v}$$
> 
> Högerledet beror endast på $v$. ✓ Homogen!
> 
> **Steg 2–3: Substituera och derivera**
> $$y = vx \implies y' = v + xv'$$
> 
> **Steg 4: Sätt in**
> $$v + xv' = \frac{1 + v^2}{v}$$
> 
> **Steg 5: Förenkla och separera**
> $$xv' = \frac{1 + v^2}{v} - v = \frac{1 + v^2 - v^2}{v} = \frac{1}{v}$$
> 
> $$v \, dv = \frac{dx}{x}$$
> 
> **Steg 6: Integrera**
> $$\int v \, dv = \int \frac{dx}{x}$$
> $$\frac{v^2}{2} = \ln x + C$$
> 
> (Vi kan skippa absolutbeloppet eftersom $x > 0$)
> 
> **Steg 7: Återsubstituera**
> $$\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln x + C$$
> $$y^2 = 2x^2(\ln x + C)$$
> 
> **Svar:**
> $$y = \pm x\sqrt{2\ln x + C_1}$$
> 
> där $C_1 = 2C$

> [!example]- Exempel: $xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2}$, $x > 0$
> 
> **Steg 1: Skriv om och verifiera**
> 
> $$y' = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x}$$
> 
> Nu är $\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \sqrt{1 + v^2}$ för $x > 0$.
> 
> Så: $y' = v + \sqrt{1 + v^2}$. ✓ Homogen!
> 
> **Steg 2–4: Substituera och sätt in**
> $$v + xv' = v + \sqrt{1 + v^2}$$
> 
> **Steg 5: Förenkla och separera**
> $$xv' = \sqrt{1 + v^2}$$
> $$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$$
> 
> **Steg 6: Integrera**
> 
> Vänsterledet är en standardintegral:
> $$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \text{arsinh}(v) = \ln\left(v + \sqrt{1 + v^2}\right)$$
> 
> $$\ln\left(v + \sqrt{1 + v^2}\right) = \ln x + C$$
> 
> **Förenkla:**
> $$v + \sqrt{1 + v^2} = e^C \cdot x = Ax$$
> 
> där $A = e^C > 0$.
> 
> **Steg 7: Återsubstituera $v = \frac{y}{x}$**
> $$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = Ax$$
> $$y + \sqrt{x^2 + y^2} = Ax^2$$
> 
> **Svar (implicit form):**
> $$\sqrt{x^2 + y^2} = Ax^2 - y$$

> [!example]- Exempel med begynnelsevillkor: $y' = \frac{y^2 - x^2}{xy}$, $y(1) = 2$
> 
> **Steg 1: Verifiera**
> $$y' = \frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = v - \frac{1}{v} = \frac{v^2 - 1}{v}$$
> 
> ✓ Homogen!
> 
> **Steg 2–4: Substituera och sätt in**
> $$v + xv' = \frac{v^2 - 1}{v}$$
> 
> **Steg 5: Förenkla och separera**
> $$xv' = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$$
> $$-v \, dv = \frac{dx}{x}$$
> 
> **Steg 6: Integrera**
> $$-\frac{v^2}{2} = \ln|x| + C$$
> $$v^2 = -2\ln|x| + C_1$$
> 
> **Steg 7: Återsubstituera**
> $$\left(\frac{y}{x}\right)^2 = C_1 - 2\ln|x|$$
> $$y^2 = x^2(C_1 - 2\ln|x|)$$
> 
> **Bestäm konstanten med $y(1) = 2$:**
> $$4 = 1 \cdot (C_1 - 2\ln 1) = C_1 - 0 = C_1$$
> 
> **Svar:**
> $$y = x\sqrt{4 - 2\ln x}$$
> 
> (Positivt tecken eftersom $y(1) = 2 > 0$)

> [!warning]- Vanliga misstag
> 
> - **Glömmer produktregeln:** $y = vx \implies y' = v + xv'$, inte bara $y' = v'$
> - **Glömmer återsubstitution:** Svaret ska vara i $x$ och $y$, inte i $v$
> - **Missar konstanta lösningar:** Om $F(v) - v = 0$ för något $v = k$, är $y = kx$ en lösning
> - **Definitionsområde:** Lösningar innehåller ofta $\ln|x|$ och gäller inte för $x = 0$

---

## Linjära första ordningens ODE

> [!info]- Definition: Linjär första ordningens ODE
> 
> En linjär differentialekvation av första ordningen har formen: $$y' + g(x)y = f(x)$$ där $g(x)$ är koefficienten framför $y$ och $f(x)$ är högerledet.
> 
> - Om $f(x) = 0$: ekvationen är **homogen**
> - Om $f(x) \neq 0$: ekvationen är **inhomogen**

> [!tip]- Receptbok: Linjära 1:a ordningens ODE (integrerande faktor)
> 
> **Steg 1:** Skriv ekvationen på standardform $y' + g(x)y = f(x)$
> 
> **Steg 2:** Beräkna [[Primitiv funktion och obestämd integral|primitiv funktion]] $G(x) = \int g(x),dx$
> 
> **Steg 3:** Bestäm integrerande faktor $\mu(x) = e^{G(x)}$
> 
> **Steg 4:** Multiplicera ekvationen med $\mu(x)$: $\frac{d}{dx}[y \cdot \mu(x)] = f(x) \cdot \mu(x)$
> 
> **Steg 5:** Integrera båda sidor: $y \cdot \mu(x) = \int f(x) \cdot \mu(x),dx$
> 
> **Steg 6:** Lös ut $y = \frac{1}{\mu(x)} \int f(x) \cdot \mu(x),dx$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' + 3xy = x^3$
> > 
> > **Steg 1:** Redan på standardform. $g(x) = 3x$, $f(x) = x^3$
> > 
> > **Steg 2:** $G(x) = \int 3x,dx = \frac{3x^2}{2}$
> > 
> > **Steg 3:** $\mu(x) = e^{3x^2/2}$
> > 
> > **Steg 4:** $\frac{d}{dx}\left[y \cdot e^{3x^2/2}\right] = x^3 \cdot e^{3x^2/2}$
> > 
> > **Steg 5:** Integrera (substitution $u = \frac{3x^2}{2}$, $du = 3x,dx$): $$y \cdot e^{3x^2/2} = \int x^3 e^{3x^2/2},dx$$
> > 
> > Skriv $x^3 = x \cdot x^2$ och använd $x,dx = \frac{1}{3}du$, $x^2 = \frac{2u}{3}$: $$= \frac{2}{9}\int u \cdot e^u,du = \frac{2}{9}(u-1)e^u + C$$
> > 
> > **Steg 6:** $y = \frac{2}{9}\left(\frac{3x^2}{2} - 1\right) + Ce^{-3x^2/2}$
> > 
> > **Svar:** $y = \frac{x^2}{3} - \frac{2}{9} + Ce^{-3x^2/2}$
> 
> > [!example]- Exempel: $xy' - y = x^2\cos x$, $x > 0$
> > 
> > **Steg 1:** Dela med $x$: $y' - \frac{1}{x}y = x\cos x$
> > 
> > $g(x) = -\frac{1}{x}$, $f(x) = x\cos x$
> > 
> > **Steg 2:** $G(x) = \int -\frac{1}{x},dx = -\ln x$
> > 
> > **Steg 3:** $\mu(x) = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$
> > 
> > **Steg 4:** $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cos x$
> > 
> > **Steg 5:** Integrera: $\frac{y}{x} = \sin x + C$
> > 
> > **Svar:** $y = x\sin x + Cx$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' + 2y = e^{-x}$, $y(0) = 3$
> > 
> > **Steg 1:** $g(x) = 2$, $f(x) = e^{-x}$
> > 
> > **Steg 2:** $G(x) = 2x$
> > 
> > **Steg 3:** $\mu(x) = e^{2x}$
> > 
> > **Steg 4:** $\frac{d}{dx}[ye^{2x}] = e^{-x} \cdot e^{2x} = e^x$
> > 
> > **Steg 5:** $ye^{2x} = e^x + C$
> > 
> > **Steg 6:** $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
> > 
> > **Begynnelsevillkor:** $y(0) = 1 + C = 3 \implies C = 2$
> > 
> > **Svar:** $y = e^{-x} + 2e^{-2x}$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' + y\tan x = \sec x$, $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$
> > 
> > **Steg 1:** $g(x) = \tan x$, $f(x) = \sec x$
> > 
> > **Steg 2:** $G(x) = \int \tan x,dx = -\ln|\cos x| = \ln|\sec x|$
> > 
> > **Steg 3:** $\mu(x) = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$
> > 
> > **Steg 4:** $\frac{d}{dx}[y \sec x] = \sec^2 x$
> > 
> > **Steg 5:** $y \sec x = \tan x + C$
> > 
> > **Svar:** $y = \sin x + C\cos x$

> [!warning]- Vanliga misstag
> 
> - Glömmer att dividera hela ekvationen för att få standardform
> - Missar minustecken i $g(x)$
> - Glömmer integrationskonstanten $C$
> - Beräknar $\mu(x)$ fel (det ska vara $e^{\int g(x),dx}$, inte $e^{g(x)}$)

---

## Bernoullis ekvation

> [!info]- Definition: Bernoullis ekvation
> 
> En **Bernoulli-ekvation** har formen: $$y' + P(x)y = Q(x)y^n, \quad n \neq 0, 1$$
> 
> Detta är icke-linjärt i $y$, men kan linjäriseras genom variabelbyte.
> 
> **Observera:** För $n = 0$ eller $n = 1$ är ekvationen redan linjär.

> [!tip]- Receptbok: Bernoullis ekvation
> 
> **Steg 1:** Identifiera $P(x)$, $Q(x)$ och $n$
> 
> **Steg 2:** Substituera $v = y^{1-n}$
> 
> **Steg 3:** Derivera: $v' = (1-n)y^{-n}y'$
> 
> **Steg 4:** Den linjära ekvationen i $v$ blir: $$v' + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$$
> 
> **Steg 5:** Lös med integrerande faktor
> 
> **Steg 6:** Återsubstituera $y = v^{1/(1-n)}$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' + y = xy^3$
> > 
> > **Steg 1:** $P(x) = 1$, $Q(x) = x$, $n = 3$
> > 
> > **Steg 2:** $v = y^{1-3} = y^{-2}$
> > 
> > **Steg 3:** $v' = -2y^{-3}y'$
> > 
> > **Steg 4:** Multiplicera ursprungliga ekvationen med $-2y^{-3}$: $$-2y^{-3}y' - 2y^{-2} = -2xy^0$$ $$v' - 2v = -2x$$
> > 
> > **Steg 5:** Lös linjära ODE:n: $g(x) = -2$, $\mu(x) = e^{-2x}$
> > 
> > $\frac{d}{dx}[ve^{-2x}] = -2xe^{-2x}$
> > 
> > [[Partiell integration]] ger: $ve^{-2x} = xe^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$
> > 
> > $v = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}$
> > 
> > **Steg 6:** $y^{-2} = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}$
> > 
> > **Svar:** $y = \pm\frac{1}{\sqrt{x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}}}$
> 
> > [!example]- Exempel: $y' - \frac{y}{x} = xy^2$, $x > 0$
> > 
> > **Steg 1:** $P(x) = -\frac{1}{x}$, $Q(x) = x$, $n = 2$
> > 
> > **Steg 2:** $v = y^{1-2} = y^{-1}$
> > 
> > **Steg 3:** $v' = -y^{-2}y'$
> > 
> > **Steg 4:** Multiplicera med $-y^{-2}$: $$v' + \frac{1}{x}v = -x$$
> > 
> > **Steg 5:** $\mu(x) = e^{\ln x} = x$
> > 
> > $\frac{d}{dx}[vx] = -x^2$
> > 
> > $vx = -\frac{x^3}{3} + C$
> > 
> > $v = -\frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$
> > 
> > **Steg 6:** $\frac{1}{y} = -\frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$
> > 
> > **Svar:** $y = \frac{3x}{C \cdot 3 - x^3} = \frac{3x}{K - x^3}$

---

## Riktningsfält och numeriska metoder

> [!note]- Riktningsfält
> 
> Ett **riktningsfält** (eller lutningsfält) är en grafisk representation av en första ordningens ODE $y' = f(x, y)$.
> 
> I varje punkt $(x, y)$ i planet ritar man ett kort linjesegment med lutning $f(x, y)$. Detta ger en visuell bild av hur lösningskurvorna beter sig utan att man behöver lösa ekvationen analytiskt.
> 
> **Riktningsfältet visar:**
> 
> - Hur lösningar "flyter" genom planet
> - Jämviktslösningar (där $y' = 0$)
> - Asymptotiskt beteende
> - Stabilitet hos jämviktspunkter
> 
> ![[riktningsfalt.png|500]]

> [!info]- Isoklinmetoden
> 
> En **isoklin** är en kurva där lutningen är konstant.
> 
> För ODE:n $y' = f(x,y)$ är isoklinen för lutning $k$ kurvan: $$f(x,y) = k$$
> 
> **Metod:**
> 
> 1. Välj några värden på $k$ (t.ex. $k = -2, -1, 0, 1, 2$)
> 2. Rita kurvan $f(x,y) = k$ för varje $k$
> 3. Rita korta linjesegment med lutning $k$ längs varje isoklin
> 4. Skissa lösningskurvor som följer lutningarna

> [!tip]- Receptbok: [[Riktningsfält och numeriska metoder|Eulers metod]]
> 
> **Eulers metod** approximerar lösningar till begynnelsevärdesproblem $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$.
> 
> **Algoritm:** Välj steglängd $h > 0$, sedan: $$x_{n+1} = x_n + h$$ $$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$
> 
> **Geometrisk tolkning:** Man följer tangentlinjen från $(x_n, y_n)$ ett steg $h$ framåt.
> 
> **Fel:**
> 
> - Lokalt trunkeringsfel: $O(h^2)$
> - Globalt fel: $O(h)$
> 
> Mindre steglängd ger bättre approximation men kräver fler beräkningar.
> 
> > [!example]- Exempel: $y' = x + y$, $y(0) = 1$, approximera $y(0.3)$ med $h = 0.1$
> > 
> > **Steg 0:** $(x_0, y_0) = (0, 1)$, $f(x,y) = x + y$
> > 
> > **Steg 1:** $f(0, 1) = 0 + 1 = 1$
> > 
> > - $x_1 = 0 + 0.1 = 0.1$
> > - $y_1 = 1 + 0.1 \cdot 1 = 1.1$
> > 
> > **Steg 2:** $f(0.1, 1.1) = 0.1 + 1.1 = 1.2$
> > 
> > - $x_2 = 0.1 + 0.1 = 0.2$
> > - $y_2 = 1.1 + 0.1 \cdot 1.2 = 1.22$
> > 
> > **Steg 3:** $f(0.2, 1.22) = 0.2 + 1.22 = 1.42$
> > 
> > - $x_3 = 0.2 + 0.1 = 0.3$
> > - $y_3 = 1.22 + 0.1 \cdot 1.42 = 1.362$
> > 
> > **Svar:** $y(0.3) \approx 1.362$
> > 
> > (Exakt lösning: $y = 2e^x - x - 1$, $y(0.3) \approx 1.399$)
> 
> > [!example]- Exempel: $y' = y$, $y(0) = 1$, approximera $y(1)$ med $h = 0.5$
> > 
> > |$n$|$x_n$|$y_n$|$f(x_n, y_n) = y_n$|
> > |:-:|:-:|:-:|:-:|
> > |0|0|1|1|
> > |1|0.5|$1 + 0.5 \cdot 1 = 1.5$|1.5|
> > |2|1.0|$1.5 + 0.5 \cdot 1.5 = 2.25$|—|
> > 
> > **Svar:** $y(1) \approx 2.25$
> > 
> > (Exakt: $y = e^x$, $y(1) = e \approx 2.718$. Fel ≈ 17%)

> [!note]- Förbättrade metoder (överkurs)
> 
> **Heuns metod** (förbättrad Euler): $$k_1 = f(x_n, y_n)$$ $$k_2 = f(x_n + h, y_n + hk_1)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)$$
> 
> **Runge-Kutta (RK4):** Globalt fel $O(h^4)$ — mycket noggrannare.

---

# Del II: Teori för linjära ODE av högre ordning

## Grundläggande teori

> [!info]- Allmän form för linjär ODE av ordning $n$
> 
> En **linjär ODE av ordning $n$** kan skrivas: $$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$$
> 
> eller kompakt: $\sum_{k=0}^{n} a_k(x) y^{(k)} = f(x)$
> 
> Om $f(x) = 0$: **homogen** Om $f(x) \neq 0$: **inhomogen**

> [!info]- SATS: Superpositionsprincipen
> 
> För en **homogen** linjär ODE gäller:
> 
> Om $y_1$ och $y_2$ är lösningar, då är även $$c_1 y_1 + c_2 y_2$$ en lösning för alla konstanter $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.
> 
> **Generaliserat:** Om $y_1, y_2, \ldots, y_k$ är lösningar, så är även varje [[Geometri för linjära system|linjärkombination]] $$c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_k y_k$$ en lösning.
> 
> > [!warning] OBS! Superpositionsprincipen gäller **endast** för homogena linjära ODE!

> [!info]- SATS: [[Linjärt beroende och oberoende|Linjärt oberoende]] och beroende
> 
> **Linjärt beroende:** Funktionerna $y_1, \ldots, y_n$ är linjärt beroende på ett intervall $I$ om det finns konstanter $c_1, \ldots, c_n$ (inte alla noll) sådana att: $$c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n = 0 \quad \text{för alla } x \in I$$
> 
> **Linjärt oberoende:** Om ovanstående endast kan uppfyllas då $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$.
> 
> **Intuition:**
> 
> - Linjärt beroende: En funktion kan skrivas som kombination av de andra
> - Linjärt oberoende: Ingen funktion kan "byggas" av de övriga
> 
> **Förenklad test (för två funktioner):** $$\frac{y_2}{y_1} = \text{konstant} \implies \text{linjärt beroende}$$ $$\frac{y_2}{y_1} \neq \text{konstant} \implies \text{linjärt oberoende}$$

> [!info]- SATS: Dimension av lösningsrummet
> 
> En linjär homogen ODE av ordning $n$ (där ledande koefficienten $a_n(x) \neq 0$) har exakt **$n$ stycken linjärt oberoende lösningar** $y_1, y_2, \ldots, y_n$.
> 
> Den **allmänna lösningen** är: $$y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n$$
> 
> Mängden ${y_1, y_2, \ldots, y_n}$ kallas en **fundamental lösningmängd** (eller bas för lösningsrummet).

> [!info]- SATS: Struktur för inhomogen ODE
> 
> Den allmänna lösningen till den inhomogena ekvationen $$a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = f(x)$$ är $$y = y_h + y_p$$ där:
> 
> - $y_h$ = allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation
> - $y_p$ = en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen

> [!note]- Wronskianen (ej obligatorisk i M0066M)
> 
> **Wronskianen** är en determinant som testar linjärt oberoende: $$W(y_1, \ldots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$$
> 
> **Sats:** Om $W \neq 0$ för något $x$ i intervallet, är funktionerna linjärt oberoende.

---

# Del III: Andra ordningens ODE

## Homogena ODE med konstanta koefficienter

Vi löser ODE:n $y'' + ay' + by = 0$ där $a, b \in \mathbb{R}$.

> [!note]- Bakgrund: Diskriminanten
> 
> För andragradsekvationen $r^2 + ar + b = 0$ är diskriminanten: $$D = a^2 - 4b$$
> 
> |Värde|Rötter|
> |:-:|:--|
> |$D > 0$|Två olika reella rötter|
> |$D = 0$|En dubbelrot|
> |$D < 0$|Två komplexa konjugerade rötter|

> [!tip]- Receptbok: 2:a ordningens homogen ODE med konstanta koefficienter
> 
> **Steg 1:** Skriv ODE:n på formen $y'' + ay' + by = 0$
> 
> **Steg 2:** Ställ upp karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$
> 
> **Steg 3:** Beräkna diskriminanten $D = a^2 - 4b$
> 
> **Steg 4:** Lös för $r$ och välj rätt lösningsform:
> 
> |Diskriminant|Rötter|Allmän lösning|
> |:-:|:-:|:-:|
> |$D > 0$|$r_1 \neq r_2 \in \mathbb{R}$|$y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$|
> |$D < 0$|$r = \alpha \pm i\beta$|$y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$|
> |$D = 0$|$r_1 = r_2 = r$|$y = (A + Bx)e^{rx}$|
> 
> **Steg 5:** Om begynnelsevillkor ges, använd $y(x_0) = y_0$ och $y'(x_0) = v_0$ för att bestämma $A$ och $B$.

> [!success]- Härledning: Ansats och karakteristisk ekvation
> 
> Vi ansätter $y = e^{rx}$ där $r$ är en konstant att bestämma.
> 
> **Motivation:** Exponentialfunktioner är "egenfunktioner" för derivering — de behåller sin form.
> 
> **Derivering:**
> 
> - $y' = re^{rx}$
> - $y'' = r^2 e^{rx}$
> 
> **Insättning i ODE:n $y'' + ay' + by = 0$:** $$r^2 e^{rx} + ar \cdot e^{rx} + b \cdot e^{rx} = 0$$ $$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$
> 
> Eftersom $e^{rx} \neq 0$ för alla $x$, måste: $$\boxed{r^2 + ar + b = 0}$$
> 
> Detta kallas den **karakteristiska ekvationen**.

> [!success]- Härledning: Fall 1 ($D > 0$) — Två olika reella rötter
> 
> Rötterna är: $r_1 = \frac{-a + \sqrt{D}}{2}$, $r_2 = \frac{-a - \sqrt{D}}{2}$
> 
> **Partikulärlösningar:** $y_1 = e^{r_1 x}$, $y_2 = e^{r_2 x}$
> 
> **Linjärt oberoende:** $$\frac{y_2}{y_1} = \frac{e^{r_2 x}}{e^{r_1 x}} = e^{(r_2 - r_1)x}$$
> 
> Eftersom $r_1 \neq r_2$ är $(r_2 - r_1) \neq 0$, så kvoten är **inte konstant** ✓
> 
> **Allmän lösning:** $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$

> [!success]- Härledning: Fall 2 ($D < 0$) — Komplexa konjugerade rötter
> 
> Rötterna blir: $r = \alpha \pm i\beta$ där
> 
> - $\alpha = -\frac{a}{2}$ (realdelen)
> - $\beta = \frac{\sqrt{|D|}}{2} = \frac{\sqrt{4b - a^2}}{2}$ (imaginärdelen)
> 
> **Formella lösningar:** $$y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}, \quad y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}$$
> 
> **Använd [[De Moivres och Eulers formler|Eulers formel]]:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
> 
> **Reella lösningar genom linjärkombinationer:** $$\tilde{y}_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x}\cos(\beta x)$$ $$\tilde{y}_2 = \frac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$$
> 
> **Linjärt oberoende:** $\frac{\tilde{y}_2}{\tilde{y}_1} = \tan(\beta x) \neq \text{konst}$ ✓
> 
> **Allmän lösning:** $y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$

> [!success]- Härledning: Fall 3 ($D = 0$) — Dubbelrot
> 
> Dubbelrot: $r = -\frac{a}{2}$
> 
> **Problem:** Vi får bara **en** lösning $y_1 = e^{rx}$, men behöver **två** linjärt oberoende!
> 
> **Ansats för andra lösningen:** Prova $y_2 = xe^{rx}$
> 
> **Verifiering:** Med $y_2 = xe^{rx}$:
> 
> - $y_2' = e^{rx} + rxe^{rx} = (1 + rx)e^{rx}$
> - $y_2'' = r(1 + rx)e^{rx} + re^{rx} = (2r + r^2x)e^{rx}$
> 
> Insättning i $y'' + ay' + by = 0$: $$e^{rx}[(2r + r^2x) + a(1 + rx) + bx] = e^{rx}[(2r + a) + x(r^2 + ar + b)] = 0$$
> 
> - Eftersom $r$ är rot: $r^2 + ar + b = 0$ ✓
> - Eftersom $D = 0$: $r = -\frac{a}{2} \implies 2r + a = 0$ ✓
> 
> **Linjärt oberoende:** $\frac{y_2}{y_1} = x \neq \text{konst}$ ✓
> 
> **Allmän lösning:** $y = (A + Bx)e^{rx}$

> [!note]- Fysikalisk tolkning (komplexa rötter)
> 
> Lösningen $y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$ beskriver svängningar:
> 
> - $\alpha < 0$: **Dämpade svängningar** — amplituden avtar exponentiellt
> - $\alpha = 0$: **Harmoniska svängningar** — konstant amplitud, ren oscillation
> - $\alpha > 0$: **Växande svängningar** — instabilt system
> 
> ![[dampning_fall.png|500]]

---

## Räkneexempel: Homogena ODE

> [!example]- Exempel: $y'' - y' - 2y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^2 - r - 2 = 0$
> 
> **Diskriminant:** $D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 > 0$
> 
> **Rötter:** $(r-2)(r+1) = 0 \implies r_1 = 2$, $r_2 = -1$
> 
> **Svar:** $y = Ae^{2x} + Be^{-x}$

> [!example]- Exempel: $y'' + 4y' + 5y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^2 + 4r + 5 = 0$
> 
> **Diskriminant:** $D = 16 - 20 = -4 < 0$
> 
> **Rötter:** $r = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$
> 
> $\alpha = -2$, $\beta = 1$
> 
> **Svar:** $y = e^{-2x}(A\cos x + B\sin x)$

> [!example]- Exempel: $y'' + 4y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^2 + 4 = 0$
> 
> **Diskriminant:** $D = 0 - 16 = -16 < 0$
> 
> **Rötter:** $r = \pm 2i$, alltså $\alpha = 0$, $\beta = 2$
> 
> **Svar:** $y = A\cos 2x + B\sin 2x$

> [!example]- Exempel: $y'' + 6y' + 9y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^2 + 6r + 9 = 0$
> 
> **Diskriminant:** $D = 36 - 36 = 0$
> 
> **Dubbelrot:** $(r+3)^2 = 0 \implies r = -3$
> 
> **Svar:** $y = (A + Bx)e^{-3x}$

> [!example]- Exempel med IVP: $y'' + 6y' + 9y = 0$, $y(0) = -1$, $y'(0) = 1$
> 
> Från ovan: $y = (A + Bx)e^{-3x}$
> 
> **Begynnelsevillkor 1:** $y(0) = A = -1$
> 
> **Derivera:** $y' = Be^{-3x} - 3(A + Bx)e^{-3x} = (B - 3A - 3Bx)e^{-3x}$
> 
> **Begynnelsevillkor 2:** $y'(0) = B - 3A = B - 3(-1) = B + 3 = 1$
> 
> $\implies B = -2$
> 
> **Svar:** $y = (-1 - 2x)e^{-3x}$

> [!example]- Exempel med IVP: $y'' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -2$
> 
> Från ovan: $y = A\cos 2x + B\sin 2x$
> 
> **Begynnelsevillkor 1:** $y(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A = 1$
> 
> **Derivera:** $y' = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x$
> 
> **Begynnelsevillkor 2:** $y'(0) = 2B = -2 \implies B = -1$
> 
> **Svar:** $y = \cos 2x - \sin 2x$

---

## Inhomogena ODE med konstanta koefficienter

Vi löser ekvationer av typen: $$y'' + ay' + by = f(x)$$ där $f(x) \neq 0$.

> [!info]- SATS: Allmän lösning till inhomogen ODE
> 
> Den allmänna lösningen är: $$y = y_h + y_p$$ där:
> 
> - $y_h$ = allmänna lösningen till $y'' + ay' + by = 0$ (homogena lösningen)
> - $y_p$ = en partikulärlösning till hela ekvationen
> 
> **Två metoder för att hitta $y_p$:**
> 
> 1. **Obestämda koefficienter** (ansatsmetoden)
> 2. **Variation av parametrar**

### Metod 1: Obestämda koefficienter

> [!info]- När fungerar ansatsmetoden?
> 
> Metoden fungerar när $f(x)$ är en **linjärkombination** av:
> 
> - Polynom: $x^n$
> - Exponentialer: $e^{kx}$
> - Trigonometriska: $\cos(\omega x)$, $\sin(\omega x)$
> - Produkter av ovanstående
> 
> **Fungerar INTE för:** $\tan x$, $\ln x$, $\frac{1}{x}$, $\sec x$, etc.

> [!tip]- Receptbok: Obestämda koefficienter
> 
> **Steg 1:** Lös homogena ekvationen → $y_h$
> 
> **Steg 2:** Välj ansats för $y_p$ enligt tabellen:
> 
> |Högerled $f(x)$|Ansats $y_p$|
> |:--|:--|
> |$k$ (konstant)|$A$|
> |$kx^n$|$A_n x^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_0$|
> |$ke^{\alpha x}$|$Ae^{\alpha x}$|
> |$k\cos(\omega x)$ eller $k\sin(\omega x)$|$A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$|
> |$ke^{\alpha x}\cos(\omega x)$|$e^{\alpha x}(A\cos\omega x + B\sin\omega x)$|
> |$x^n e^{\alpha x}$|$(A_n x^n + \cdots + A_0)e^{\alpha x}$|
> 
> **Steg 3:** Sätt in ansatsen i ODE:n och bestäm koefficienterna
> 
> **Steg 4:** Allmänna lösningen: $y = y_h + y_p$
> 
> > [!warning] Resonansregeln (KRITISK!)
> > 
> > Om ansatsen (eller del av den) **redan är en lösning till homogena ekvationen**:
> > 
> > - Multiplicera ansatsen med $x$
> > - Vid dubbelrot: multiplicera med $x^2$
> > 
> > **Exempel:** $y'' - 4y = e^{2x}$ Homogen lösning: $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$ Eftersom $e^{2x} \in y_h$: ansätt $y_p = Axe^{2x}$ (ej $Ae^{2x}$)

> [!example]- Exempel: $y'' + 3y' + 2y = 10e^{4x}$
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> $r^2 + 3r + 2 = 0 \implies (r+1)(r+2) = 0 \implies r = -1, -2$
> 
> $y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$
> 
> **Steg 2: Ansats**
> 
> Högerled: $10e^{4x}$. Kontrollera: $4 \neq -1, -2$ (ingen resonans)
> 
> Ansätt: $y_p = Ae^{4x}$
> 
> **Steg 3: Sätt in**
> 
> $y_p' = 4Ae^{4x}$, $y_p'' = 16Ae^{4x}$
> 
> $16Ae^{4x} + 3(4Ae^{4x}) + 2(Ae^{4x}) = 10e^{4x}$
> 
> $(16 + 12 + 2)Ae^{4x} = 10e^{4x}$
> 
> $30A = 10 \implies A = \frac{1}{3}$
> 
> **Svar:** $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{3}e^{4x}$

> [!example]- Exempel: $y'' - 4y = e^{2x}$ (RESONANS!)
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> $r^2 - 4 = 0 \implies r = \pm 2$
> 
> $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
> 
> **Steg 2: Ansats med resonansregel**
> 
> Högerled: $e^{2x}$. MEN $e^{2x}$ är redan i $y_h$!
> 
> Ansätt: $y_p = Axe^{2x}$
> 
> **Steg 3: Sätt in**
> 
> $y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x} = A(1 + 2x)e^{2x}$
> 
> $y_p'' = 2A(1 + 2x)e^{2x} + 2Ae^{2x} = A(4 + 4x)e^{2x}$
> 
> $y_p'' - 4y_p = A(4 + 4x)e^{2x} - 4Axe^{2x} = 4Ae^{2x} = e^{2x}$
> 
> $A = \frac{1}{4}$
> 
> **Svar:** $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{x}{4}e^{2x}$

> [!example]- Exempel: $y'' + 4y = \cos(2x)$ (RESONANS med trig!)
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> $r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i$
> 
> $y_h = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
> 
> **Steg 2: Ansats med resonansregel**
> 
> Högerled: $\cos(2x)$. MEN $\cos(2x)$ är i $y_h$!
> 
> Ansätt: $y_p = x(A\cos(2x) + B\sin(2x))$
> 
> **Steg 3: Derivera och sätt in**
> 
> $y_p' = (A\cos 2x + B\sin 2x) + x(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x)$
> 
> $y_p'' = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x + (-2A\sin 2x + 2B\cos 2x) + x(-4A\cos 2x - 4B\sin 2x)$
> 
> $= -4A\sin 2x + 4B\cos 2x - 4x(A\cos 2x + B\sin 2x)$
> 
> $y_p'' + 4y_p = -4A\sin 2x + 4B\cos 2x = \cos 2x$
> 
> Jämför: $-4A = 0$, $4B = 1 \implies A = 0$, $B = \frac{1}{4}$
> 
> **Svar:** $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{x}{4}\sin(2x)$
> 
> ![[resonans.png|500]]

> [!example]- Exempel: $y'' + y' - 2y = x^2$
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> $r^2 + r - 2 = 0 \implies (r+2)(r-1) = 0 \implies r = -2, 1$
> 
> $y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$
> 
> **Steg 2: Ansats**
> 
> Högerled: $x^2$ (polynom grad 2). Ingen resonans (exponentialer ≠ polynom)
> 
> Ansätt: $y_p = Ax^2 + Bx + C$
> 
> **Steg 3: Sätt in**
> 
> $y_p' = 2Ax + B$, $y_p'' = 2A$
> 
> $2A + (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = x^2$
> 
> $-2Ax^2 + (2A - 2B)x + (2A + B - 2C) = x^2$
> 
> Jämför koefficienter:
> 
> - $x^2$: $-2A = 1 \implies A = -\frac{1}{2}$
> - $x^1$: $2A - 2B = 0 \implies B = A = -\frac{1}{2}$
> - $x^0$: $2A + B - 2C = 0 \implies C = \frac{2(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})}{2} = -\frac{3}{4}$
> 
> **Svar:** $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}$

> [!example]- Exempel: $y'' - 2y' + y = e^x$ (DUBBELROT + RESONANS!)
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> $r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r-1)^2 = 0 \implies r = 1$ (dubbelrot)
> 
> $y_h = (C_1 + C_2 x)e^{x}$
> 
> **Steg 2: Ansats med dubbel resonans**
> 
> Högerled: $e^x$. MEN både $e^x$ och $xe^x$ är i $y_h$!
> 
> Multiplicera med $x^2$: $y_p = Ax^2 e^{x}$
> 
> **Steg 3: Sätt in**
> 
> $y_p' = A(2x + x^2)e^x$
> 
> $y_p'' = A(2 + 4x + x^2)e^x$
> 
> $y_p'' - 2y_p' + y_p = A[(2 + 4x + x^2) - 2(2x + x^2) + x^2]e^x = 2Ae^x = e^x$
> 
> $A = \frac{1}{2}$
> 
> **Svar:** $y = (C_1 + C_2 x)e^{x} + \frac{1}{2}x^2 e^{x}$

### Metod 2: Variation av parametrar

> [!info]- När används variation av parametrar?
> 
> Metoden fungerar för **alla** kontinuerliga $f(x)$, inte bara speciella typer.
> 
> **Använd när:**
> 
> - Högerledet inte passar ansatsmetoden ($\tan x$, $\ln x$, $\sec x$, etc.)
> - Du vill ha en generell formel
> - Ansatsmetoden blir för komplicerad

> [!tip]- Receptbok: Variation av parametrar
> 
> För $y'' + ay' + by = f(x)$:
> 
> **Steg 1:** Hitta homogena lösningar $y_1$, $y_2$
> 
> **Steg 2:** Beräkna Wronskianen: $$W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$$
> 
> **Steg 3:** Partikulärlösningen: $$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 f(x)}{W},dx + y_2 \int \frac{y_1 f(x)}{W},dx$$
> 
> Eller: $y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2$ där $$u_1 = -\int \frac{y_2 f}{W},dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 f}{W},dx$$
> 
> **Steg 4:** $y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_p$

> [!example]- Exempel: $y'' + y = \tan x$
> 
> **Steg 1:** $r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$
> 
> $y_1 = \cos x$, $y_2 = \sin x$
> 
> **Steg 2:** $W = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$
> 
> **Steg 3:**
> 
> $u_1 = -\int \frac{\sin x \cdot \tan x}{1},dx = -\int \frac{\sin^2 x}{\cos x},dx$
> 
> Använd $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$u_1 = -\int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x},dx = -\int (\sec x - \cos x),dx = -\ln|\sec x + \tan x| + \sin x$$
> 
> $u_2 = \int \frac{\cos x \cdot \tan x}{1},dx = \int \sin x,dx = -\cos x$
> 
> **Steg 4:** $y_p = (-\ln|\sec x + \tan x| + \sin x)\cos x + (-\cos x)\sin x$ $= -\cos x \ln|\sec x + \tan x|$
> 
> **Svar:** $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \cos x \ln|\sec x + \tan x|$

> [!example]- Exempel: $y'' + 4y = \sec(2x)$
> 
> **Steg 1:** $y_1 = \cos(2x)$, $y_2 = \sin(2x)$
> 
> **Steg 2:** $W = \cos(2x) \cdot 2\cos(2x) - \sin(2x) \cdot (-2\sin(2x)) = 2$
> 
> **Steg 3:**
> 
> $u_1 = -\int \frac{\sin(2x) \cdot \sec(2x)}{2},dx = -\frac{1}{2}\int \tan(2x),dx = \frac{1}{4}\ln|\cos(2x)|$
> 
> $u_2 = \int \frac{\cos(2x) \cdot \sec(2x)}{2},dx = \frac{x}{2}$
> 
> **Svar:** $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)\ln|\cos(2x)| + \frac{x}{2}\sin(2x)$

> [!warning]- Jämförelse av metoderna
> 
> |Aspekt|Obestämda koeff.|Variation av param.|
> |:--|:--|:--|
> |Fungerar för|Polynom, $e^{kx}$, trig, produkter|Alla kontinuerliga $f(x)$|
> |Beräkningsbörda|Lättare (algebra)|Tyngre (integration)|
> |Resonans|Manuell hantering|Automatisk|
> |Rekommendation|Använd först|Backup-metod|

---

## Reduktion av ordning

> [!note]- När används reduktion av ordning?
> 
> Metoden används när:
> 
> 1. En andra ordningens ODE saknar $y$ explicit (endast $y'$ och $y''$)
> 2. Du redan känner en lösning $y_1$ och vill hitta en andra

> [!tip]- Receptbok: Reduktion av ordning (typ 1 — saknar $y$)
> 
> Om ODE:n har formen $F(x, y', y'') = 0$ (ingen $y$):
> 
> **Steg 1:** Substituera $v = y'$, $v' = y''$
> 
> **Steg 2:** Lös första ordningens ODE i $v$
> 
> **Steg 3:** Integrera $y' = v$ för att hitta $y$
> 
> > [!example]- Exempel: $xy'' + y' = 3x^2$, $x > 0$
> > 
> > **Steg 1:** Sätt $v = y'$, $v' = y''$: $xv' + v = 3x^2$
> > 
> > **Steg 2:** Linjär 1:a ordningens ODE. Dela med $x$: $$v' + \frac{1}{x}v = 3x$$
> > 
> > $\mu(x) = e^{\ln x} = x$
> > 
> > $\frac{d}{dx}(xv) = 3x^2$
> > 
> > $xv = x^3 + C_1 \implies v = x^2 + \frac{C_1}{x}$
> > 
> > **Steg 3:** $y = \int v,dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \ln x + C_2$

> [!tip]- Receptbok: Reduktion av ordning (typ 2 — känd lösning)
> 
> Om du vet att $y_1$ är en lösning till $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$:
> 
> **Steg 1:** Ansätt $y_2 = v(x) \cdot y_1$
> 
> **Steg 2:** Sätt in och förenkla (termer med $v$ försvinner)
> 
> **Steg 3:** Substituera $w = v'$ för att få 1:a ordningens ODE
> 
> **Steg 4:** Lös för $w$, integrera för $v$, få $y_2 = v \cdot y_1$

---

## Eulers differentialekvation (Cauchy-Euler)

> [!info]- Definition: [[Eulers differentialekvation]]
> 
> **Eulers differentialekvation** (eller Cauchy-Euler-ekvation) har formen: $$x^2 y'' + axy' + by = f(x)$$
> 
> där $a, b$ är konstanter.
> 
> **Kännetecken:** Koefficienten framför $y^{(k)}$ är $x^k$.
> 
> **Homogen form:** $x^2 y'' + axy' + by = 0$

> [!tip]- Receptbok: Eulers differentialekvation
> 
> **Metod 1: Ansats $y = x^r$** (för $x > 0$)
> 
> **Steg 1:** Ansätt $y = x^r$ där $r$ är konstant
> 
> **Steg 2:** Derivera: $y' = rx^{r-1}$, $y'' = r(r-1)x^{r-2}$
> 
> **Steg 3:** Sätt in i $x^2 y'' + axy' + by = 0$: $$x^2 \cdot r(r-1)x^{r-2} + ax \cdot rx^{r-1} + bx^r = 0$$ $$x^r[r(r-1) + ar + b] = 0$$
> 
> **Steg 4:** Lös den **karakteristiska ekvationen**: $$r(r-1) + ar + b = 0 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 + (a-1)r + b = 0$$
> 
> **Steg 5:** Skriv upp lösningen enligt tabellen:
> 
> |Fall|Rötter|Allmän lösning|
> |:--|:--|:--|
> |Två olika reella|$r_1 \neq r_2$|$y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}$|
> |Dubbelrot|$r_1 = r_2 = r$|$y = (C_1 + C_2 \ln x)x^r$|
> |Komplexa|$r = \alpha \pm i\beta$|$y = x^\alpha(C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x))$|
> 
> ---
> 
> **Metod 2: Substitution $t = \ln x$** (transformerar till konstanta koefficienter)
> 
> Sätt $x = e^t$, då $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$ och transformera till en ODE med konstanta koefficienter i $t$.

> [!success]- Härledning: Dubbelrotsfallet
> 
> Vid dubbelrot $r$ får vi bara en lösning $y_1 = x^r$.
> 
> **Ansats för andra lösningen:** $y_2 = v(x) \cdot x^r$
> 
> Efter reduktion av ordning visar sig att $v = \ln x$ fungerar.
> 
> Alltså: $y_2 = x^r \ln x$
> 
> **Allmän lösning:** $y = (C_1 + C_2 \ln x)x^r$

> [!success]- Härledning: Komplexa rötter
> 
> Med $r = \alpha \pm i\beta$ får vi formellt $y = x^{\alpha + i\beta}$.
> 
> Använd $x = e^{\ln x}$: $$x^{i\beta} = e^{i\beta \ln x} = \cos(\beta \ln x) + i\sin(\beta \ln x)$$
> 
> **Reella lösningar:** $$y_1 = x^\alpha \cos(\beta \ln x), \quad y_2 = x^\alpha \sin(\beta \ln x)$$

> [!example]- Exempel: $x^2 y'' - 2xy' - 4y = 0$, $x > 0$
> 
> **Steg 1:** Ansätt $y = x^r$
> 
> **Steg 2-3:** Karakteristisk ekvation: $$r(r-1) - 2r - 4 = 0$$ $$r^2 - 3r - 4 = 0$$
> 
> **Steg 4:** $(r-4)(r+1) = 0 \implies r_1 = 4$, $r_2 = -1$
> 
> **Svar:** $y = C_1 x^4 + C_2 x^{-1}$

> [!example]- Exempel: $x^2 y'' + xy' + y = 0$, $x > 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $$r(r-1) + r + 1 = 0$$ $$r^2 + 1 = 0$$
> 
> **Rötter:** $r = \pm i$ (alltså $\alpha = 0$, $\beta = 1$)
> 
> **Svar:** $y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x)$

> [!example]- Exempel: $x^2 y'' - 3xy' + 4y = 0$, $x > 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $$r(r-1) - 3r + 4 = 0$$ $$r^2 - 4r + 4 = 0$$ $$(r-2)^2 = 0 \implies r = 2$$ (dubbelrot)
> 
> **Svar:** $y = (C_1 + C_2 \ln x)x^2$

> [!example]- Exempel: $x^2 y'' + 3xy' + 5y = 0$, $x > 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $$r(r-1) + 3r + 5 = 0$$ $$r^2 + 2r + 5 = 0$$
> 
> **Rötter:** $r = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = -1 \pm 2i$
> 
> $\alpha = -1$, $\beta = 2$
> 
> **Svar:** $y = x^{-1}(C_1 \cos(2\ln x) + C_2 \sin(2\ln x))$

> [!warning]- OBS: Definitionsområde
> 
> Lösningar av formen $x^r$ och $\ln x$ kräver $x > 0$.
> 
> För $x < 0$ kan man använda $|x|$ istället, eller substituera $u = -x$.

---

# # Del IV: Högre ordningens ODE

## ODE av ordning $n$ med konstanta koefficienter

> [!info]- Allmän form
> 
> En linjär homogen ODE av ordning $n$ med konstanta koefficienter:
> $$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0$$
> 
> **Karakteristisk ekvation:**
> $$r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1 r + a_0 = 0$$
> 
> Denna ekvation har exakt $n$ rötter (räknat med multiplicitet) i $\mathbb{C}$.

## De fyra fallen för rötter

> [!info]- SATS: Lösningar från karakteristiska ekvationens rötter
> 
> Varje rot (eller rotpar) till den karakteristiska ekvationen ger upphov till linjärt oberoende lösningar enligt följande:
> 
> | Fall | Rottyp | Antal lösningar | Lösningar |
> |:--:|:--|:--:|:--|
> | 1 | Enkel reell rot $r_k$ | 1 | $e^{r_k x}$ |
> | 2 | Enkelt komplext par $\alpha_k \pm i\beta_k$ | 2 | $e^{\alpha_k x}\cos(\beta_k x)$, $e^{\alpha_k x}\sin(\beta_k x)$ |
> | 3 | Reell rot $r_k$ med multiplicitet $m_k$ | $m_k$ | $e^{r_k x}, xe^{r_k x}, x^2 e^{r_k x}, \ldots, x^{m_k-1}e^{r_k x}$ |
> | 4 | Komplext par $\alpha_k \pm i\beta_k$ med mult. $m_k$ | $2m_k$ | Se nedan |
> 
> **Fall 4 (komplext par med multiplicitet $m_k$):**
> $$e^{\alpha_k x}\cos(\beta_k x), \quad xe^{\alpha_k x}\cos(\beta_k x), \quad \ldots, \quad x^{m_k-1}e^{\alpha_k x}\cos(\beta_k x)$$
> $$e^{\alpha_k x}\sin(\beta_k x), \quad xe^{\alpha_k x}\sin(\beta_k x), \quad \ldots, \quad x^{m_k-1}e^{\alpha_k x}\sin(\beta_k x)$$

> [!success]- Härledning: Fall 1 — Enkel reell rot
> 
> **Påstående:** Om $r_k$ är en enkel reell rot till $r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$, då är $y_k = e^{r_k x}$ en lösning.
> 
> **Bevis:**
> 
> Ansätt $y = e^{rx}$. Då är:
> $$y' = re^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}, \quad \ldots, \quad y^{(n)} = r^n e^{rx}$$
> 
> Insättning i ODE:n ger:
> $$r^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = 0$$
> $$e^{rx}\underbrace{(r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1 r + a_0)}_{\text{karakteristiska polynomet}} = 0$$
> 
> Eftersom $e^{rx} \neq 0$ för alla $x$, måste $r$ vara en rot till karakteristiska ekvationen.
> 
> Om $r_k$ är en sådan rot, är alltså $y_k = e^{r_k x}$ en lösning. $\square$

> [!success]- Härledning: Fall 2 — Enkelt komplext rotpar
> 
> **Påstående:** Om $\alpha \pm i\beta$ är ett par komplexa konjugerade rötter, ger de upphov till de reella lösningarna:
> $$y_1 = e^{\alpha x}\cos(\beta x), \quad y_2 = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$$
> 
> **Bevis:**
> 
> Formellt får vi lösningarna:
> $$\tilde{y}_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}, \quad \tilde{y}_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}$$
> 
> Använd Eulers formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$:
> $$\tilde{y}_1 = e^{\alpha x} \cdot e^{i\beta x} = e^{\alpha x}(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x))$$
> $$\tilde{y}_2 = e^{\alpha x} \cdot e^{-i\beta x} = e^{\alpha x}(\cos(\beta x) - i\sin(\beta x))$$
> 
> **Reella lösningar via linjärkombinationer:**
> $$y_1 = \frac{\tilde{y}_1 + \tilde{y}_2}{2} = e^{\alpha x}\cos(\beta x)$$
> $$y_2 = \frac{\tilde{y}_1 - \tilde{y}_2}{2i} = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$$
> 
> **Linjärt oberoende:**
> $$\frac{y_2}{y_1} = \frac{\sin(\beta x)}{\cos(\beta x)} = \tan(\beta x) \neq \text{konstant}$$
> 
> Alltså är $y_1$ och $y_2$ linjärt oberoende. $\square$

> [!success]- Härledning: Fall 3 — Reell rot med multiplicitet $m$
> 
> **Påstående:** Om $r$ är en reell rot med multiplicitet $m$, ger den upphov till $m$ linjärt oberoende lösningar:
> $$y_1 = e^{rx}, \quad y_2 = xe^{rx}, \quad y_3 = x^2 e^{rx}, \quad \ldots, \quad y_m = x^{m-1}e^{rx}$$
> 
> **Bevis (skiss):**
> 
> Om $r$ har multiplicitet $m$ kan vi skriva karakteristiska polynomet som:
> $$P(s) = (s - r)^m Q(s)$$
> där $Q(r) \neq 0$.
> 
> Den tillhörande differentialoperatorn är:
> $$L[y] = (D - r)^m Q(D)[y] = 0$$
> där $D = \frac{d}{dx}$.
> 
> **Nyckelobservation:** Om $(D - r)^m[y] = 0$, så är $y$ en lösning.
> 
> Vi visar att $y_k = x^{k-1}e^{rx}$ uppfyller $(D-r)^m[y_k] = 0$ för $k = 1, 2, \ldots, m$.
> 
> **Viktigt lemma:** $(D - r)[x^j e^{rx}] = jx^{j-1}e^{rx}$
> 
> *Bevis av lemma:*
> $$\frac{d}{dx}[x^j e^{rx}] = jx^{j-1}e^{rx} + rx^j e^{rx}$$
> $$(D - r)[x^j e^{rx}] = jx^{j-1}e^{rx} + rx^j e^{rx} - rx^j e^{rx} = jx^{j-1}e^{rx}$$
> 
> **Tillämpning:** För $y_k = x^{k-1}e^{rx}$:
> $$(D-r)[x^{k-1}e^{rx}] = (k-1)x^{k-2}e^{rx}$$
> $$(D-r)^2[x^{k-1}e^{rx}] = (k-1)(k-2)x^{k-3}e^{rx}$$
> $$\vdots$$
> $$(D-r)^{k-1}[x^{k-1}e^{rx}] = (k-1)! \cdot e^{rx}$$
> $$(D-r)^k[x^{k-1}e^{rx}] = 0$$
> 
> Eftersom $k \leq m$ har vi $(D-r)^m[x^{k-1}e^{rx}] = 0$, så $y_k$ är en lösning.
> 
> **Linjärt oberoende:** Funktionerna $e^{rx}, xe^{rx}, \ldots, x^{m-1}e^{rx}$ är linjärt oberoende eftersom kvoten av två konsekutiva är $x$, som inte är konstant. $\square$

> [!success]- Härledning: Fall 4 — Komplext rotpar med multiplicitet $m$
> 
> **Påstående:** Om $\alpha \pm i\beta$ är ett komplext rotpar med multiplicitet $m$, ger det upphov till $2m$ linjärt oberoende lösningar.
> 
> **Bevis:**
> 
> Från Fall 3 vet vi att multipla rötter ger faktor $x^j$ framför baslösningen.
> 
> Formellt får vi de komplexa lösningarna:
> $$e^{(\alpha + i\beta)x}, \quad xe^{(\alpha + i\beta)x}, \quad \ldots, \quad x^{m-1}e^{(\alpha + i\beta)x}$$
> $$e^{(\alpha - i\beta)x}, \quad xe^{(\alpha - i\beta)x}, \quad \ldots, \quad x^{m-1}e^{(\alpha - i\beta)x}$$
> 
> **Reella lösningar:** Precis som i Fall 2, kombinerar vi konjugatparen:
> 
> För varje $j = 0, 1, \ldots, m-1$:
> $$x^j e^{(\alpha + i\beta)x} = x^j e^{\alpha x}(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x))$$
> $$x^j e^{(\alpha - i\beta)x} = x^j e^{\alpha x}(\cos(\beta x) - i\sin(\beta x))$$
> 
> Reella lösningar:
> $$y_{2j+1} = x^j e^{\alpha x}\cos(\beta x)$$
> $$y_{2j+2} = x^j e^{\alpha x}\sin(\beta x)$$
> 
> **Totalt:** $2m$ stycken linjärt oberoende lösningar. $\square$

> [!tip]- Receptbok: Högre ordningens ODE
> 
> **Steg 1:** Ställ upp karakteristiska ekvationen $P(r) = 0$
> 
> **Steg 2:** Hitta alla rötter (faktorisera, använd rotformeln, eller gissa rationella rötter)
> 
> **Steg 3:** För varje rot/rotpar, skriv upp motsvarande lösningar:
> 
> | Rottyp | Bidrag till allmänna lösningen |
> |:--|:--|
> | Enkel reell rot $r$ | $Ce^{rx}$ |
> | Reell rot $r$ med mult. $m$ | $(C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1})e^{rx}$ |
> | Enkelt komplext par $\alpha \pm i\beta$ | $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$ |
> | Komplext par $\alpha \pm i\beta$ med mult. $m$ | $e^{\alpha x}[(C_1 + C_2 x + \cdots){\cos\beta x} + (D_1 + D_2 x + \cdots){\sin\beta x}]$ |
> 
> **Steg 4:** Summera alla bidrag till $y_h$
> 
> **Steg 5:** Om inhomogen: hitta $y_p$ och bilda $y = y_h + y_p$

---

## Räkneexempel: Homogena ODE av högre ordning

> [!example]- Exempel 1: $y''' - y'' - y' + y = 0$
> 
> **Steg 1: Karakteristisk ekvation**
> $$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$$
> 
> **Steg 2: Faktorisera**
> 
> Gruppera:
> $$r^2(r - 1) - (r - 1) = (r - 1)(r^2 - 1) = (r - 1)(r - 1)(r + 1) = (r - 1)^2(r + 1)$$
> 
> **Rötter:**
> - $r = 1$ med multiplicitet 2
> - $r = -1$ med multiplicitet 1
> 
> **Steg 3: Skriv upp lösningarna**
> 
> Från $r = 1$ (dubbelrot): $e^x$ och $xe^x$
> 
> Från $r = -1$ (enkel rot): $e^{-x}$
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 e^x + C_2 xe^x + C_3 e^{-x} = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3 e^{-x}}$$

> [!example]- Exempel 2: $y''' - y'' - y' + y = e^x$ (inhomogen)
> 
> **Steg 1: Homogena lösningen**
> 
> Från Exempel 1: $y_h = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3 e^{-x}$
> 
> **Steg 2: Partikulärlösning med resonansregel**
> 
> Högerled: $e^x$
> 
> Men $e^x$ och $xe^x$ finns redan i $y_h$ (dubbelrot $r = 1$)!
> 
> **Resonansregel:** Multiplicera med $x^2$:
> $$y_p = Ax^2 e^x$$
> 
> **Steg 3: Derivera**
> $$y_p = Ax^2 e^x$$
> $$y_p' = A(2x + x^2)e^x = A(x^2 + 2x)e^x$$
> $$y_p'' = A(2 + 2x + x^2 + 2x)e^x = A(x^2 + 4x + 2)e^x$$
> $$y_p''' = A(2x + 4 + x^2 + 4x + 2)e^x = A(x^2 + 6x + 6)e^x$$
> 
> **Steg 4: Sätt in i ODE:n**
> $$y''' - y'' - y' + y = Ae^x[(x^2 + 6x + 6) - (x^2 + 4x + 2) - (x^2 + 2x) + x^2]$$
> $$= Ae^x[x^2 + 6x + 6 - x^2 - 4x - 2 - x^2 - 2x + x^2]$$
> $$= Ae^x[0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 4] = 4Ae^x = e^x$$
> 
> $$A = \frac{1}{4}$$
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3 e^{-x} + \frac{1}{4}x^2 e^x}$$

> [!example]- Exempel 3: $y^{(4)} + 2y'' + y = 0$
> 
> **Steg 1: Karakteristisk ekvation**
> $$r^4 + 2r^2 + 1 = 0$$
> 
> **Steg 2: Faktorisera**
> 
> Detta är en kvadrat:
> $$(r^2 + 1)^2 = 0$$
> 
> **Rötter:** $r^2 = -1 \implies r = \pm i$ med multiplicitet 2 vardera.
> 
> Alltså: $\alpha = 0$, $\beta = 1$, multiplicitet $m = 2$
> 
> **Steg 3: Skriv upp lösningarna (Fall 4)**
> 
> Från $r = \pm i$ med multiplicitet 2:
> - $j = 0$: $\cos x$, $\sin x$
> - $j = 1$: $x\cos x$, $x\sin x$
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x}$$

> [!example]- Exempel 4: $y''' + 6y'' + 11y' + 6y = e^{-3x}$
> 
> **Steg 1: Karakteristisk ekvation**
> $$r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = 0$$
> 
> **Steg 2: Hitta rötter**
> 
> Gissa rationella rötter (divisorer till 6): Prova $r = -1$:
> $$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 \quad \checkmark$$
> 
> Polynomdivision:
> $$r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = (r + 1)(r^2 + 5r + 6) = (r + 1)(r + 2)(r + 3)$$
> 
> **Rötter:** $r = -1, -2, -3$ (alla enkla)
> 
> **Steg 3: Homogena lösningen**
> $$y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{-3x}$$
> 
> **Steg 4: Partikulärlösning**
> 
> Högerled: $e^{-3x}$
> 
> Men $e^{-3x}$ finns i $y_h$ (enkel rot)! **Resonans!**
> 
> Ansätt: $y_p = Axe^{-3x}$
> 
> **Derivera:**
> $$y_p' = Ae^{-3x} - 3Axe^{-3x} = A(1 - 3x)e^{-3x}$$
> $$y_p'' = -3Ae^{-3x} - 3A(1-3x)e^{-3x} = A(-6 + 9x)e^{-3x}$$
> $$y_p''' = 9Ae^{-3x} - 3A(-6 + 9x)e^{-3x} = A(27 - 27x)e^{-3x}$$
> 
> **Sätt in:**
> $$y''' + 6y'' + 11y' + 6y = Ae^{-3x}[(27 - 27x) + 6(-6 + 9x) + 11(1 - 3x) + 6x]$$
> $$= Ae^{-3x}[27 - 27x - 36 + 54x + 11 - 33x + 6x]$$
> $$= Ae^{-3x}[(27 - 36 + 11) + (-27 + 54 - 33 + 6)x]$$
> $$= Ae^{-3x}[2 + 0 \cdot x] = 2Ae^{-3x} = e^{-3x}$$
> 
> $$A = \frac{1}{2}$$
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{-3x} + \frac{1}{2}xe^{-3x}}$$

> [!example]- Exempel 5: $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0$
> 
> **Faktorisera:** Prova $r = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
> 
> $$r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = (r-1)(r^2 - 5r + 6) = (r-1)(r-2)(r-3)$$
> 
> **Rötter:** $r = 1, 2, 3$ (alla enkla)
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + C_3 e^{3x}}$$

> [!example]- Exempel 6: $y^{(4)} - y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^4 - 1 = 0$
> 
> **Faktorisera:**
> $$r^4 - 1 = (r^2 - 1)(r^2 + 1) = (r-1)(r+1)(r^2+1)$$
> 
> **Rötter:**
> - $r = 1$ (enkel reell)
> - $r = -1$ (enkel reell)
> - $r = \pm i$ (enkelt komplext par, $\alpha = 0$, $\beta = 1$)
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x}$$

> [!example]- Exempel 7: $y''' + y'' - y' - y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^3 + r^2 - r - 1 = 0$
> 
> **Faktorisera:**
> $$r^2(r+1) - (r+1) = (r+1)(r^2-1) = (r+1)(r-1)(r+1) = (r+1)^2(r-1)$$
> 
> **Rötter:**
> - $r = -1$ med multiplicitet 2
> - $r = 1$ med multiplicitet 1
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 e^x + (C_2 + C_3 x)e^{-x}}$$

> [!example]- Exempel 8: $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0$
> 
> **Faktorisera:** Känn igen $(r-1)^3$:
> $$(r-1)^3 = r^3 - 3r^2 + 3r - 1$$
> 
> **Rot:** $r = 1$ med multiplicitet 3
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2)e^x}$$

---

## Eulers differentialekvation (Cauchy-Euler)

> [!info]- Definition: Eulers differentialekvation
> 
> **Eulers differentialekvation** (eller Cauchy-Euler-ekvation) har formen:
> $$x^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 xy' + a_0 y = f(x)$$
> 
> **Kännetecken:** Koefficienten framför $y^{(k)}$ är $x^k$.
> 
> **Andra ordningen:** $x^2 y'' + axy' + by = f(x)$
> 
> **Tredje ordningen:** $x^3 y''' + ax^2y'' + bxy' + cy = f(x)$

> [!tip]- Receptbok: Eulers differentialekvation via substitution
> 
> **Huvudmetod: Substitution $x = e^t \Leftrightarrow t = \ln x$**
> 
> Denna substitution transformerar Euler-ekvationen till en ODE med **konstanta koefficienter**!
> 
> ---
> 
> **Steg 1:** Inför $t = \ln x$, så att $x = e^t$
> 
> Låt $y(x) = u(t)$ där $t = \ln x$.
> 
> **Steg 2:** Transformera derivatorna med hjälp av formler nedan
> 
> **Steg 3:** Lös den resulterande ODE:n med konstanta koefficienter i $u(t)$
> 
> **Steg 4:** Transformera tillbaka till $y(x)$ via $t = \ln x$, $e^{rt} = x^r$

> [!success]- Härledning: Transformationsformler för derivator
> 
> Låt $y(x) = u(t)$ där $t = \ln x$, så $x = e^t$.
> 
> Vi använder notationen $u' = \frac{du}{dt}$, $u'' = \frac{d^2u}{dt^2}$, etc.
> 
> ---
> 
> **Första derivatan:**
> 
> [[Kedjeregeln]] ger:
> $$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = u' \cdot \frac{1}{x}$$
> 
> Multiplicera med $x$:
> $$\boxed{xy' = u'}$$
> 
> ---
> 
> **Andra derivatan:**
> 
> $$y' = \frac{1}{x}u'$$
> 
> Derivera igen m.a.p. $x$:
> $$y'' = -\frac{1}{x^2}u' + \frac{1}{x}\frac{du'}{dx} = -\frac{1}{x^2}u' + \frac{1}{x} \cdot u'' \cdot \frac{1}{x}$$
> $$y'' = \frac{1}{x^2}(u'' - u')$$
> 
> Multiplicera med $x^2$:
> $$\boxed{x^2 y'' = u'' - u'}$$
> 
> ---
> 
> **Tredje derivatan:**
> 
> Från $y'' = \frac{1}{x^2}(u'' - u')$, derivera m.a.p. $x$:
> $$y''' = -\frac{2}{x^3}(u'' - u') + \frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(u'' - u')$$
> 
> Nu är $\frac{d}{dx}(u'' - u') = (u''' - u'') \cdot \frac{1}{x}$
> 
> $$y''' = -\frac{2}{x^3}(u'' - u') + \frac{1}{x^3}(u''' - u'')$$
> $$y''' = \frac{1}{x^3}[u''' - u'' - 2u'' + 2u'] = \frac{1}{x^3}[u''' - 3u'' + 2u']$$
> 
> Multiplicera med $x^3$:
> $$\boxed{x^3 y''' = u''' - 3u'' + 2u'}$$
> 
> ---
> 
> **Sammanfattning av transformationsformler:**
> 
> | Original | Transformerad |
> |:--:|:--:|
> | $y$ | $u$ |
> | $xy'$ | $u'$ |
> | $x^2 y''$ | $u'' - u'$ |
> | $x^3 y'''$ | $u''' - 3u'' + 2u'$ |
> 
> **Invertera för att uttrycka $y$-derivator:**
> 
> | [[Derivata]] | Uttryck i $u$ |
> |:--:|:--:|
> | $y$ | $u$ |
> | $xy'$ | $u'$ |
> | $x^2 y''$ | $u'' - u'$ |
> | $x^3 y'''$ | $u''' - 3u'' + 2u'$ |
> 
> **Varför fungerar detta?**
> 
> Substitutionen $t = \ln x$ "avlogaritmerar" Euler-ekvationens speciella struktur och ger konstanta koefficienter.

> [!example]- Exempel 9: $x^3 y''' + 3x^2 y'' + xy' + 8y = 32\ln x$, $x > 0$
> 
> **Steg 1: Substituera $t = \ln x$, $x = e^t$, $y(x) = u(t)$**
> 
> Använd transformationsformlerna:
> - $y = u$
> - $xy' = u'$
> - $x^2 y'' = u'' - u'$, alltså $x^2 y'' + xy' = u''$
> - $x^3 y''' = u''' - 3u'' + 2u'$
> 
> **Observera:** Vi behöver $x^3 y''' + 3x^2 y'' + xy'$
> 
> $$x^3 y''' + 3x^2 y'' + xy' = (u''' - 3u'' + 2u') + 3(u'' - u') + u'$$
> $$= u''' - 3u'' + 2u' + 3u'' - 3u' + u'$$
> $$= u''' + 0 \cdot u'' + 0 \cdot u' = u'''$$
> 
> **Steg 2: Transformerad ekvation**
> 
> Högerledet: $32\ln x = 32t$
> 
> ODE:n blir:
> $$u''' + 8u = 32t$$
> 
> **Steg 3: Lös homogena ekvationen**
> 
> Karakteristisk ekvation: $r^3 + 8 = 0$
> 
> $$r^3 = -8 = 8e^{i\pi}$$
> 
> **Hitta de tre rötterna:**
> 
> $|r|^3 = 8 \implies |r| = 2$
> 
> $3\phi = \pi + 2\pi n$, $n = 0, 1, 2$
> 
> $$\phi_0 = \frac{\pi}{3}, \quad \phi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \pi, \quad \phi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$
> 
> Rötterna:
> $$r_0 = 2e^{i\pi/3} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$$
> $$r_1 = 2e^{i\pi} = -2$$
> $$r_2 = 2e^{i5\pi/3} = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}$$
> 
> **Rötter:**
> - $r = -2$ (enkel reell)
> - $r = 1 \pm i\sqrt{3}$ (komplext par, $\alpha = 1$, $\beta = \sqrt{3}$)
> 
> **Homogen lösning:**
> $$u_h = C_1 e^{-2t} + e^{t}(C_2 \cos(\sqrt{3}t) + C_3 \sin(\sqrt{3}t))$$
> 
> **Steg 4: Partikulärlösning**
> 
> Högerled: $32t$ (polynom grad 1)
> 
> Ingen resonans (rötterna är $-2$ och $1 \pm i\sqrt{3}$, ingen är 0)
> 
> Ansätt: $u_p = At + B$
> 
> $$u_p' = A, \quad u_p'' = 0, \quad u_p''' = 0$$
> 
> Insättning: $0 + 8(At + B) = 32t$
> 
> $$8At + 8B = 32t$$
> 
> Jämför: $8A = 32 \implies A = 4$, $8B = 0 \implies B = 0$
> 
> $$u_p = 4t$$
> 
> **Steg 5: Allmän lösning i $t$**
> $$u = C_1 e^{-2t} + e^{t}(C_2 \cos(\sqrt{3}t) + C_3 \sin(\sqrt{3}t)) + 4t$$
> 
> **Steg 6: Transformera tillbaka**
> 
> Med $t = \ln x$:
> - $e^{-2t} = e^{-2\ln x} = x^{-2}$
> - $e^{t} = x$
> - $\cos(\sqrt{3}t) = \cos(\sqrt{3}\ln x)$
> - $\sin(\sqrt{3}t) = \sin(\sqrt{3}\ln x)$
> - $t = \ln x$
> 
> **Allmän lösning:**
> $$\boxed{y = C_1 x^{-2} + x\left(C_2 \cos(\sqrt{3}\ln x) + C_3 \sin(\sqrt{3}\ln x)\right) + 4\ln x}$$

> [!example]- Exempel: $x^2 y'' - 2xy' - 4y = 0$, $x > 0$ (kontrollexempel)
> 
> **Substituera $t = \ln x$:**
> 
> $x^2 y'' = u'' - u'$, $xy' = u'$
> 
> Ekvationen blir:
> $$(u'' - u') - 2u' - 4u = 0$$
> $$u'' - 3u' - 4u = 0$$
> 
> **Karakteristisk ekvation:** $r^2 - 3r - 4 = 0$
> 
> $(r-4)(r+1) = 0 \implies r = 4, -1$
> 
> **Lösning i $t$:**
> $$u = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}$$
> 
> **Tillbaka till $x$:**
> $$y = C_1 x^4 + C_2 x^{-1}$$
> 
> *(Samma svar som med direktansats $y = x^r$!)*

> [!note]- Jämförelse: Substitution vs direktansats
> 
> | Metod | Fördel | Nackdel |
> |:--|:--|:--|
> | **Substitution $t = \ln x$** | Återanvänder känd teori för konstanta koeff. Fungerar för inhomogena ekvationer. | Kräver omskrivning fram och tillbaka |
> | **Direktansats $y = x^r$** | Snabbare för homogena eq. | Dubbelrot/komplexa kräver extra motivering. Svårare för inhomogena. |
> 
> Substitutionsmetoden är mer **systematisk** och visar varför lösningarna har formen de har.

> [!warning]- OBS: Definitionsområde
> 
> - Substitutionen $t = \ln x$ kräver $x > 0$
> - För $x < 0$: använd $t = \ln|x|$ eller substituera $v = -x$
> - Lösningar med $\ln x$ är odefinierade vid $x = 0$
---

# Del V: Tillämpningar

## Befolkningsmodeller

> [!info]- Exponentiell tillväxt och avtagande
> 
> Den enklaste modellen antar att tillväxthastigheten är proportionell mot populationens storlek: $$\frac{dP}{dt} = kP$$
> 
> **Lösning:** $P(t) = P_0 e^{kt}$
> 
> - $k > 0$: Exponentiell tillväxt (bakterier i tidig fas)
> - $k < 0$: Exponentiellt avtagande (radioaktivt sönderfall)
> 
> ![[exponentiell_tillvaxt.png|500]]

> [!tip]- Receptbok: Exponentiell tillväxt/sönderfall
> 
> **Modell:** $\frac{dP}{dt} = kP$
> 
> **Lösning:** $P(t) = P_0 e^{kt}$
> 
> **Nyckelformler:**
> 
> - Fördubblingstid: $T_2 = \frac{\ln 2}{k}$
>     
> - Halveringstid: $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$
>     
> - Från halveringstid: $k = -\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$
>     
> 
> > [!example]- Exempel: Radioaktivt sönderfall
> > 
> > Kol-14 har halveringstid 5730 år. Ett fossil har 25% av ursprungligt C-14. Hur gammalt är det?
> > 
> > $k = -\frac{\ln 2}{5730}$
> > 
> > $0.25 P_0 = P_0 e^{kt} \implies \ln(0.25) = kt$
> > 
> > $t = \frac{\ln(0.25)}{k} = \frac{-2\ln 2}{-\ln 2/5730} = 2 \cdot 5730 = 11460$ år

> [!info]- Logistisk tillväxt
> 
> Med begränsad bärkapacitet $M$: $$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{M}\right)$$
> 
> **Lösning:** $P(t) = \frac{M}{1 + Ae^{-kt}}$ där $A = \frac{M - P_0}{P_0}$
> 
> **Egenskaper:**
> 
> - S-formad kurva (sigmoidal)
> - Inflexion vid $P = M/2$
> - $\lim_{t \to \infty} P(t) = M$
> 
> ![[logistisk_tillvaxt.png|500]]

---

## Newtons avsvalningslag

> [!tip]- Receptbok: Newtons avsvalningslag
> 
> **Modell:** $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$
> 
> där $T$ = objektets temperatur, $T_s$ = omgivningens temperatur
> 
> **Lösning:** $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$
> 
> > [!example]- Exempel: Mordutredning
> > 
> > Kropp hittas kl. 22:00 med temp 32°C. Kl. 23:00: 30°C. Rumstemperatur 20°C. Normal kroppstemperatur 37°C. När skedde mordet?
> > 
> > **Bestäm k:** $30 = 20 + 12e^{-k} \implies k = \ln(6/5)$
> > 
> > **Räkna bakåt:** $32 = 20 + 17e^{-k\tau} \implies \tau = \frac{\ln(17/12)}{\ln(6/5)} \approx 1.9$ h
> > 
> > **Svar:** Mordet skedde ca kl. 20:06

---

## Mekaniska svängningar

> [!note]- Fjäder-massa-system
> 
> Newtons andra lag ger: $$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - c\frac{dx}{dt} + F(t)$$
> 
> Standardform: $x'' + 2\gamma x' + \omega_0^2 x = f(t)$
> 
> där $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (naturlig frekvens), $\gamma = c/(2m)$ (dämpningsfaktor)
> 
> ![[springmassdamper.jpg|400]]

> [!tip]- Receptbok: Fria svängningar
> 
> **Modell:** $x'' + 2\gamma x' + \omega_0^2 x = 0$
> 
> |Fall|Villkor|Lösning|
> |:--|:--|:--|
> |Underdämpad|$\gamma < \omega_0$|$x = e^{-\gamma t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$|
> |Kritiskt dämpad|$\gamma = \omega_0$|$x = (A + Bt)e^{-\gamma t}$|
> |Överdämpad|$\gamma > \omega_0$|$x = Ae^{r_1 t} + Be^{r_2 t}$|
> 
> där $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$
> 
> ![[dampning_fall.png|500]]

> [!info]- Resonans
> 
> Vid påtvingad svängning $x'' + \omega_0^2 x = F_0\cos(\omega t)$:
> 
> Om $\omega = \omega_0$ (drivfrekvens = naturlig frekvens): $$x_p = \frac{F_0 t}{2\omega_0}\sin(\omega_0 t)$$
> 
> **Amplituden växer linjärt med tiden!**
> 
> ![[resonans.png|500]]

---

## Elektriska kretsar

> [!note]- RLC-kretsar
> 
> Kirchhoffs spänningslag: $$L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = E(t)$$
> 
> **Analogi med mekanik:**
> 
> |Mekaniskt|Elektriskt|
> |:--|:--|
> |Förskjutning $x$|Laddning $Q$|
> |Massa $m$|Induktans $L$|
> |Dämpning $c$|Resistans $R$|
> |Fjäderkonstant $k$|$1/C$|
> 
> Alla resultat för mekaniska system överförs direkt!
> 
> ![[RLC-circuit2.jpg|400]]


## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=1039|Chapter 19 Ordinary Differential Equations]]