---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - atomfysik
  - modell
förkunskaper:
  - "[[Bohrs atommodell]]"
  - "[[Rörelsemängdsmoment]]"
status: utkast
aliases:
  - Bohrradien
  - Väteatomens energinivåer
  - Joniseringsenergi
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Bohrs atommodell]], [[Rörelsemängdsmoment]]

---

Bohr antog att elektronen rör sig i stabila banor och att rörelsemängdsmomentet är kvantiserat i enheter av $h/2\pi$. Tillsammans med Coulombkraften som centripetalkraft ger det banradier och hastigheter som bara beror på huvudkvanttalet $n$ — det var därför det kom att kallas kvantmekanik. Minsta radien är Bohrradien $a_0=0{,}529\cdot10^{-10}$ m, och därefter följer $r_2=4a_0$, $r_3=9a_0$ och så vidare. Den totala energin blir $E_n=K_n+U_n=-K_n$, och energin för att ta elektronen från grundtillståndet till $E_\infty=0$ är vätets joniseringsenergi $13{,}6$ eV.

$$
\boxed{\;L_n=mv_nr_n=n\dfrac{h}{2\pi}\qquad E_n=-\dfrac{1}{\varepsilon_0^{2}}\dfrac{me^{4}}{8n^{2}h^{2}}=-\dfrac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^{2}}\;}
$$
*Fysika: Fd3 (i formen E_n = −E_H Z²/n² med Z = 1), Te (E_H)*

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{m v_n r_n}_{\substack{\text{rörelsemängds-}\\\text{moment }L_n}}
=\underbrace{n}_{\substack{\text{heltal}\\1,\,2,\,3,\,\ldots}}\,
\underbrace{\dfrac{h}{2\pi}}_{\substack{\text{kvantum}\\\text{för }L}}
$$

$$
\underbrace{E_n}_{\substack{\text{energin i}\\\text{bana }n}}
=-\underbrace{\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^{2}}}_{\substack{\text{bindningen}\\\text{avtar som }1/n^2}}
$$

Villkoret väljer ut de banor där elektronvågen går jämnt upp runt kärnan. Energin är negativ eftersom elektronen är bunden; ju högre $n$, desto närmare noll och desto lättare att jonisera atomen.

---

## 1. Kvantiseringsvillkoret

Klassiskt kan elektronen kretsa på vilket avstånd som helst, och då kan atomen ha vilken energi som helst — i strid med [[Linjespektrum|linjespektrumet]]. Bohr behöll den klassiska cirkelbanan men lade till ett villkor: [[Rörelsemängdsmoment|rörelsemängdsmomentet]] får bara vara en heltalsmultipel av $h/2\pi$, som i rutan ovan. Heltalet $n=1,2,3,\ldots$ kallas **huvudkvanttalet**. Dessutom postulerade han att elektronen inte strålar så länge den stannar i en tillåten bana; atomen avger eller tar upp energi bara när elektronen byter bana (se [[Bohrs atommodell]]).

Villkoret går att läsa som ett vågvillkor. Ger vi elektronen [[De Broglie-våglängd|de Broglie-våglängden]] $\lambda_n=h/(mv_n)$ och kräver att banans omkrets rymmer ett helt antal våglängder, så får vi

$$
2\pi r_n=n\lambda_n
$$

$$
2\pi r_n=n\dfrac{h}{mv_n}
$$
*Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden)*

$$
mv_nr_n=n\dfrac{h}{2\pi}
$$

vilket är precis Bohrs villkor. Elektronen i en tillåten bana är en stående våg som sluter sig själv.

![[f05-bohr-staende-vag.png|520]]

*Vänster: med fyra de Broglie-våglängder på omkretsen möter vågen sig själv i fas och bildar en stående våg. Mitten: 3,5 våglängder går inte jämnt upp. Höger: de tre första banorna i skala, $r_n=n^2a_0$, med farten $v_n=v_1/n$.*

---

## 2. Banradier och hastigheter

Protonen är nästan $2000$ gånger tyngre än elektronen, så vi låter den stå still. Coulombkraften mellan protonen och elektronen är den centripetalkraft som håller elektronen i cirkelbanan:

$$
\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_n^2}=\dfrac{mv_n^2}{r_n}
$$

Tillsammans med kvantiseringsvillkoret är det två ekvationer för de två obekanta $r_n$ och $v_n$.

> [!note]- Härledning av $r_n$ och $v_n$
> **Förenkla kraftekvationen.** Multiplicera med $r_n$:
> $$
> mv_n^2r_n=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}
> $$
>
> **Dela med kvantiseringsvillkoret.** Vänsterledet delat med $mv_nr_n=nh/2\pi$ blir $v_n$:
> $$
> v_n=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{2\pi}{nh}
> $$
> $$
> v_n=\dfrac{e^2}{2\varepsilon_0nh}
> $$
>
> **Radien.** Lös ut $r_n$ ur kvantiseringsvillkoret och sätt in $v_n$:
> $$
> r_n=\dfrac{nh}{2\pi mv_n}=\dfrac{nh}{2\pi m}\cdot\dfrac{2\varepsilon_0nh}{e^2}
> $$
> $$
> r_n=\dfrac{\varepsilon_0n^2h^2}{\pi me^2}
> $$

$$
\boxed{\;r_n=\dfrac{\varepsilon_0n^2h^2}{\pi me^2}=n^2a_0\qquad v_n=\dfrac{e^2}{2\varepsilon_0nh}=\dfrac{v_1}{n}\;}
$$
*Fysika: Fd3 (banradie r_n = a₀n²/Z med Z = 1)*

Med konstanterna insatta blir

$$
a_0=\dfrac{\varepsilon_0h^2}{\pi me^2}=5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}\qquad v_1=\dfrac{e^2}{2\varepsilon_0h}=2{,}19\cdot10^{6}\text{ m/s}
$$
*Fysika: Te (a₀)*

- **Radien växer som $n^2$:** $a_0$, $4a_0$, $9a_0$, … Grundtillståndets diameter på ungefär $0{,}1$ nm stämmer med atomstorlekar mätta på andra sätt.
- **Farten avtar som $1/n$.** Även den största farten $v_1$ är under $1\ \%$ av ljusfarten ($v_1/c\approx1/137$), så klassisk mekanik räcker.

---

## 3. Kinetisk, potentiell och total energi

Med $r_n$ och $v_n$ kända kan varje energi skrivas som funktion av $n$. Den potentiella energin sätts till noll när elektronen är oändligt långt bort, så den är negativ i varje bana:

$$
K_n=\dfrac12mv_n^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0^2}\dfrac{me^4}{8n^2h^2}
$$

$$
U_n=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_n}=-\dfrac{1}{\varepsilon_0^2}\dfrac{me^4}{4n^2h^2}
$$

Den potentiella energin är alltså exakt $-2$ gånger den kinetiska, och summan blir energin i rutan överst:

$$
\boxed{\;E_n=K_n+U_n=-K_n=\dfrac{U_n}{2}\;}
$$

I elektronvolt är $K_n=13{,}6\text{ eV}/n^2$, $U_n=-27{,}2\text{ eV}/n^2$ och $E_n=-13{,}6\text{ eV}/n^2$. Samma fördelning gäller för satellitbanor, eftersom både gravitationen och Coulombkraften avtar som $1/r^2$.

---

## 4. Energinivådiagrammet och joniseringsenergin

Nivåerna ligger tätare ju högre upp vi kommer och hopar sig under $E_\infty=0$. Ovanför noll är elektronen fri och kan ha vilken energi som helst. Varje pil i diagrammet är en övergång $n_U\to n_L$ där en foton med energin $E_{n_U}-E_{n_L}$ sänds ut; våglängderna ges av [[Rydbergs formel]].

![[f05-vate-energinivaer.png|520]]

*Vätets energinivåer $E_n=-13{,}6\text{ eV}/n^2$. Pilarna är övergångarna i Lyman-, Balmer- och Paschenserien; seriens namn bestäms av den undre nivån.*

Joniseringsenergin är den energi som krävs för att lyfta elektronen från nivå $n$ till $E_\infty=0$:

$$
E_{\text{jon},n}=0-E_n=\dfrac{13{,}6\text{ eV}}{n^2}
$$

Från grundtillståndet ger modellen $13{,}606$ eV, mot det uppmätta $13{,}60$ eV. Den lilla skillnaden kommer av att protonen inte står still, se [[Reducerad massa]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **Tecknet på $E_n$.** Energierna är negativa, och en högre nivå har *mindre negativ* energi: $E_3=-1{,}51$ eV ligger över $E_2=-3{,}40$ eV.
> - **$K$ och $E$ rör sig åt olika håll.** När atomen exciteras ökar $E_n$, men $K_n=-E_n$ minskar — elektronen går långsammare i den större banan. $U_n$ ökar dubbelt så mycket som $E_n$.
> - **Radien skalar som $n^2$, inte $n$.** $r_3=9a_0$, inte $3a_0$.
> - **Joniseringsenergin från en exciterad nivå** är $13{,}6\text{ eV}/n^2$, inte $13{,}6$ eV.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Elektronen i n = 2 som stående våg
> En väteatom är i sitt första exciterade tillstånd, $n=2$. Bestäm elektronens banradie, fart och omloppstid enligt Bohrs modell. Beräkna också elektronens de Broglie-våglängd och visa att banans omkrets rymmer precis två våglängder.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Radien.** $r_n=n^2a_0$ ger
> > $$
> > r_2=4\cdot5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}=\boxed{2{,}12\cdot10^{-10}\text{ m}}
> > $$
> >
> > **Farten.** $v_n=v_1/n$ ger
> > $$
> > v_2=\dfrac{2{,}19\cdot10^{6}}{2}=\boxed{1{,}09\cdot10^{6}\text{ m/s}}
> > $$
> >
> > **Omloppstiden.**
> > $$
> > T_2=\dfrac{2\pi r_2}{v_2}=\dfrac{2\pi\cdot2{,}12\cdot10^{-10}}{1{,}09\cdot10^{6}}=\boxed{1{,}22\cdot10^{-15}\text{ s}}
> > $$
> >
> > **De Broglie-våglängden.**
> > $$
> > \lambda_2=\dfrac{h}{m_ev_2}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}109\cdot10^{-31}\cdot1{,}094\cdot10^{6}}=\boxed{6{,}65\cdot10^{-10}\text{ m}}
> > $$
> >
> > **Kontroll av omkretsen.**
> > $$
> > 2\pi r_2=2\pi\cdot2{,}117\cdot10^{-10}=1{,}33\cdot10^{-9}\text{ m}=2\cdot6{,}65\cdot10^{-10}\text{ m}=2\lambda_2
> > $$
> > Omkretsen rymmer exakt $n=2$ våglängder, som kvantiseringsvillkoret kräver.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Banradien blir nio gånger så stor
> En väteatom i grundtillståndet absorberar en foton, och därefter är elektronens banradie nio gånger så stor som förut. Bestäm fotonens våglängd. Hur mycket ändras elektronens kinetiska energi respektive atomens potentiella energi?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Slutnivån.** $r_n=n^2a_0=9a_0$ ger $n=3$.
> >
> > **Fotonenergin.**
> > $$
> > E_3-E_1=-\dfrac{13{,}6}{9}-(-13{,}6)=-1{,}51+13{,}6=12{,}1\text{ eV}
> > $$
> >
> > **Våglängden.**
> > $$
> > \lambda=\dfrac{hc}{E_3-E_1}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{12{,}09\text{ eV}}=\boxed{103\text{ nm}}
> > $$
> > Det är ultraviolett ljus, den andra linjen i Lymanserien.
> >
> > **Kinetiska energin.** $K_n=13{,}6\text{ eV}/n^2$:
> > $$
> > \Delta K=1{,}51-13{,}6=\boxed{-12{,}1\text{ eV}}
> > $$
> >
> > **Potentiella energin.** $U_n=-27{,}2\text{ eV}/n^2$:
> > $$
> > \Delta U=-3{,}02-(-27{,}2)=\boxed{+24{,}2\text{ eV}}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** $\Delta K+\Delta U=-12{,}1+24{,}2=12{,}1$ eV, vilket är fotonens energi.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1320|39.3 Energy Levels and the Bohr Model of the Atom]]

---

← [[Bohrs atommodell]] · [[F0005T]] · [[Rydbergs formel]] →