--- kurs: - M0067M tags: - linjär-algebra - vektorrum - bas förkunskaper: - "[[Bas och koordinater]]" - "[[Matriser]]" - "[[Linjära ekvationssystem]]" status: true aliases: - Change of basis - Övergångsmatris --- --- ## 1. Problemställningen > [3B1B: Change of basis](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) I [[V4L3 M0067M]] såg vi att samma vektor $\vec{x}$ får **olika** koordinatvektorer beroende på vilken bas vi väljer. Det leder till en naturlig fråga: > Om vi känner koordinaterna för $\vec{x}$ relativt **en** bas — hur beräknar vi koordinaterna relativt en **annan** bas? **Konkret:** Givet två baser $B$ och $B'$ för ett [[Vektorrum|vektorrum]] $V$, och koordinatvektorn $[\vec{x}]_B$. Hur hittar vi $[\vec{x}]_{B'}$? > [!tip] Varför behövs detta? > Ibland är ett problem svårt att lösa i en viss bas men enkelt i en annan. Basbyte låter oss "byta perspektiv" — lösa problemet i den bekväma basen och sedan översätta tillbaka. > > **Analogi:** Tänk på att byta från kartesiska koordinater till [[Polära koordinater|polära koordinater]]. Samma punkt i planet, men olika siffror som beskriver den. Ibland är polära koordinater smidigare (t.ex. för cirklar). --- ## 2. Övergångsmatris — definition > [!abstract] Definition: Övergångsmatris > Låt $B = \{\vec{b}_1, \dots, \vec{b}_n\}$ och $B' = \{\vec{b}'_1, \dots, \vec{b}'_n\}$ vara två baser för ett vektorrum $V$. > > **Övergångsmatrisen** (transition matrix) från $B$ till $B'$ är den unika $n \times n$-matris $P_{B \to B'}$ som uppfyller: > > $$[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{x}]_B$$ > > för alla $\vec{x} \in V$. **Med andra ord:** övergångsmatrisen "översätter" koordinater i bas $B$ till koordinater i bas $B'$ genom en enkel matrismultiplikation. > [!important] Notationen $P_{B \to B'}$ > Pilen visar **riktningen** på översättningen: från $B$-koordinater **till** $B'$-koordinater. Läs det som "övergångsmatrisen **från** $B$ **till** $B'$". > > Var noga med ordningen — $P_{B \to B'}$ och $P_{B' \to B}$ är **inte** samma matris! --- ## 3. Hur beräknar man övergångsmatrisen? ### 3.1 Metod: via kolumner Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ fås genom att uttrycka de **gamla** basvektorerna ($B$:s vektorer) i den **nya** basens ($B'$:s) koordinater: $$P_{B \to B'} = \Big[[\vec{b}_1]_{B'} \quad [\vec{b}_2]_{B'} \quad \cdots \quad [\vec{b}_n]_{B'}\Big]$$ **Varför?** Om vi sätter $\vec{x} = \vec{b}_j$ (den $j$:te basvektorn i $B$), så ger $[\vec{b}_j]_B = \vec{e}_j$ (enhetsvektorn). Då: $$[\vec{b}_j]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{b}_j]_B = P_{B \to B'} \, \vec{e}_j = \text{kolumn } j \text{ i } P_{B \to B'}$$ > [!tip] Minnesregel > Kolumn $j$ i $P_{B \to B'}$ = koordinaterna för den $j$:te **gamla** ($B$) basvektorn uttryckt i den **nya** ($B'$) basen. --- ### 3.2 Metod i $\mathbb{R}^n$: radreducering I $\mathbb{R}^n$ finns en smidig beräkningsmetod. Bilda den utökade matrisen med $B'$:s vektorer till vänster och $B$:s vektorer till höger, och radreducera: $$\Big[B' \;\Big|\; B\Big] \xrightarrow{\text{radreducera}} \Big[I \;\Big|\; P_{B \to B'}\Big]$$ **Varför fungerar detta?** Vi löser $n$ ekvationssystem samtidigt: för varje basvektor $\vec{b}_j$ i $B$ söker vi koefficienter $c_1, \dots, c_n$ sådana att $c_1\vec{b}'_1 + \dots + c_n\vec{b}'_n = \vec{b}_j$. Dessa koefficienter är precis $[\vec{b}_j]_{B'}$, dvs. kolumn $j$ i $P_{B \to B'}$. > [!example]- Räkneexempel: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^2$ > Givet baserna: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\right\}$ > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen) > > **Bestäm $P_{B \to B'}$.** > > **Metod:** Radreducera $[B' \mid B]$: > > $$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & 3 & 1\end{array}\right]$$ > > Matrisen är redan på reducerad trappstegsform! > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{bmatrix}$$ > > **Kontroll:** Låt $\vec{x}$ ha koordinaterna $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$. > > Då: $\vec{x} = 2\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$. > > Med formeln: $[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} [\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$. > > Och i standardbasen: $[\vec{x}]_{B'} = \vec{x} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$. ✓ > > **Notera:** När $B'$ är standardbasen blir övergångsmatrisen helt enkelt $P_{B \to \text{std}} = [B]$ (basvektorerna i $B$ som kolumner). Det beror på att koordinaterna i standardbasen **är** de vanliga komponenterna. > [!example]- Räkneexempel: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^3$ (möjlig tentauppgift) > Givet baserna: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen) > > **Bestäm $P_{B \to B'}$.** > > Radreducera $[B' \mid B]$: > $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$$ > > Redan reducerad! > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$ > > **Kontroll:** Verifiera med $\vec{b}_1$: $[\vec{b}_1]_B = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$, så: > > $P_{B \to B'}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \vec{b}_1$ i standardkoordinater. ✓ > [!example]- Räkneexempel: Mellan två icke-standardbaser > Givet baserna i $\mathbb{R}^2$: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$ > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$ > > **Bestäm $P_{B \to B'}$.** > > Radreducera $[B' \mid B]$: > $$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\1 & -1 & 2 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\0 & -2 & 1 & -2\end{array}\right]$$ > > $$\xrightarrow{R_2 / (-2)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{2} & 2\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$$ > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}$$ > > **Kontroll:** Låt $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$. Då $\vec{x} = 1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$. > > Formeln ger: $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}$. > > Verifiera: $\frac{7}{2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{2} + \frac{1}{2}\\\frac{7}{2} - \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$ ✓ --- ## 4. Egenskaper hos övergångsmatrisen > [!theorem] Sats: Övergångsmatrisen är inverterbar > Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ är alltid **inverterbar**, och dess invers är övergångsmatrisen i **motsatt riktning**: > > $$\left(P_{B \to B'}\right)^{-1} = P_{B' \to B}$$ **Varför?** Vi har: $$[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{x}]_B$$ Multiplicera båda sidor med $(P_{B \to B'})^{-1}$: $$[\vec{x}]_B = \left(P_{B \to B'}\right)^{-1} [\vec{x}]_{B'}$$ Men per definition gäller $[\vec{x}]_B = P_{B' \to B} \, [\vec{x}]_{B'}$. Alltså $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$. ∎ > [!tip] Praktisk konsekvens > Om du har beräknat $P_{B \to B'}$ behöver du **inte** göra om hela beräkningen för att gå åt andra hållet — invertera matrisen! Och om matrisen är $2 \times 2$ kan du använda formeln $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$. > [!theorem] Sats: Kedja av basbyten > Om $B$, $B'$ och $B''$ är tre baser för samma vektorrum, så gäller: > > $$P_{B \to B''} = P_{B' \to B''} \cdot P_{B \to B'}$$ > > Man kan "kedja" övergångsmatriser genom matrismultiplikation. **Intuition:** Först översätt från $B$ till $B'$, sedan från $B'$ till $B''$. Sammansättningen ger direkt från $B$ till $B''$. --- ## 5. Specialfall: basbyte via standardbasen Om en av baserna är **standardbasen** $E = \{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ i $\mathbb{R}^n$ förenklas beräkningarna avsevärt. ### 5.1 Från bas $B$ till standardbasen $$P_{B \to E} = [\vec{b}_1 \quad \vec{b}_2 \quad \cdots \quad \vec{b}_n]$$ Det vill säga: övergångsmatrisen är helt enkelt matrisen med $B$:s basvektorer som kolumner! **Varför?** I standardbasen är $[\vec{b}_j]_E = \vec{b}_j$ (koordinaterna **är** komponenterna). ### 5.2 Från standardbasen till bas $B$ $$P_{E \to B} = \left(P_{B \to E}\right)^{-1} = [\vec{b}_1 \quad \cdots \quad \vec{b}_n]^{-1}$$ ### 5.3 Mellan två baser via standardbasen Vill du beräkna $P_{B \to B'}$ kan du gå **via** standardbasen: $$P_{B \to B'} = P_{E \to B'} \cdot P_{B \to E} = \left(P_{B' \to E}\right)^{-1} \cdot P_{B \to E}$$ > [!example]- Räkneexempel: Via standardbasen > Givet i $\mathbb{R}^2$: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$ > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$ > > **Steg 1:** $P_{B \to E} = \begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}$ (basvektorerna i $B$ som kolumner). > > **Steg 2:** $P_{B' \to E} = \begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}$. > > **Steg 3:** $P_{E \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-1 & -1\\-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$. > > **Steg 4:** > $$P_{B \to B'} = P_{E \to B'} \cdot P_{B \to E} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}$$ > > Samma svar som med radreduceringsmetoden! ✓ --- ## 6. Basbyte i andra vektorrum Metoden fungerar inte bara i $\mathbb{R}^n$ — den gäller i **alla** ändligtdimensionella vektorrum. Nyckeln är att översätta till $\mathbb{R}^n$ via koordinater. > [!example]- Basbyte i $\mathcal{P}_2$ > Givet baserna i $\mathcal{P}_2$: > - $B = \{1, x, x^2\}$ (standardbasen) > - $B' = \{1 + x, 1 - x, x^2\}$ > > **Bestäm $P_{B \to B'}$.** > > **Steg 1:** Uttryck $B$:s vektorer i $B'$:s koordinater. > > Översätt till $\mathbb{R}^3$: > - $B$: $(1) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$, $(x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$, $(x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ > - $B'$: $(1+x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$, $(1-x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$, $(x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ > > **Steg 2:** Radreducera $[B' \mid B]$ (i $\mathbb{R}^3$): > > $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ > > $$\xrightarrow{R_2/(-2)} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ > > **Kontroll:** Polynomet $p(x) = 3 + 2x$ har $[p]_B = \begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix}$. > > $[p]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\\0\end{bmatrix}$ > > Verifiera: $\frac{5}{2}(1+x) + \frac{1}{2}(1-x) + 0 \cdot x^2 = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x = 3 + 2x$ ✓ --- ## 7. Beslutsträd ### Beräkna övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ ```mermaid flowchart TD A["Givet: baser B och B' för V"] --> B{"Arbetar vi i Rⁿ?"} B -- Ja --> C["Bilda [B' | B]\noch radreducera\ntill [I | P]"] B -- Nej --> D["Översätt B och B'\ntill koordinater i Rⁿ\n(via standardbasen)"] D --> C C --> E["P = P_{B→B'}"] E --> F{"Behöver du P_{B'→B}?"} F -- Ja --> G["P_{B'→B} = P⁻¹"] F -- Nej --> H["Klar!"] ``` ### Beräkna $[\vec{x}]_{B'}$ givet $[\vec{x}]_B$ ```mermaid flowchart TD A["Givet: [x]_B och baserna B, B'"] --> B["Beräkna P_{B→B'}\n(se ovan)"] B --> C["Matrismultiplicera:\n[x]_{B'} = P_{B→B'} · [x]_B"] C --> D["Svar: [x]_{B'}"] ``` --- ## 8. Övningsuppgifter ### Övergångsmatris-uppgifter > [!question]- Uppgift 1: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^2$ > Givet: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen) > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\right\}$ > > Bestäm $P_{B \to B'}$. > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Radreducera $[B' \mid B]$, dvs. $\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Alternativt: $B$ är standardbasen, så $P_{B \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}^{-1}$. > > > [!success]- Facit > > $P_{B \to B'} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$ > > > > > [!success]- Full lösning > > > **Metod 1 (radreducering):** > > > $$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\2 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$$ > > > > > > $$\xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\0 & -5 & 1 & -2\end{array}\right] \xrightarrow{R_2/(-5)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$ > > > > > > $$\xrightarrow{R_1 - 3R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\0 & 1 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$ > > > > > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$$ > > > > > > **Metod 2 (invers):** Eftersom $B$ är standardbasen: > > > $P_{B \to B'} = P_{E \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}$ > > > > > > **Kontroll:** $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$, $[\vec{e}_1]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\end{bmatrix}$. > > > > > > Verifiera: $\frac{3}{5}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + \left(-\frac{1}{5}\right)\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{6}{5} - \frac{1}{5}\\\frac{3}{5} - \frac{3}{5}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \vec{e}_1$ ✓ > [!question]- Uppgift 2: Mellan två icke-standardbaser > Givet i $\mathbb{R}^2$: > - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\right\}$ > - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\right\}$ > > a) Bestäm $P_{B \to B'}$. > b) Om $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$, bestäm $[\vec{x}]_{B'}$. > > > [!hint]- Ledtråd > > Radreducera $[B' \mid B] = \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 2 & 1 & -1\end{array}\right]$. > > > [!success]- Facit > > a) $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$ > > > > b) $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$ > > > > > [!success]- Full lösning > > > **a)** > > > $$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 2 & 1 & -1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2/2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$ > > > > > > $$\xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$ > > > > > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ > > > > > > **b)** > > > $$[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} - \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$ > > > > > > **Kontroll:** $\vec{x} = 3\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$. > > > > > > I $B'$: $-1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1+2\\0+4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$ ✓ > [!question]- Uppgift 3: Basbyte i $\mathcal{P}_1$ > Givet baserna i $\mathcal{P}_1$: > - $B = \{1, x\}$ (standardbasen) > - $B' = \{1 + x, 1 - x\}$ > > a) Bestäm $P_{B \to B'}$. > b) Bestäm koordinaterna för $p(x) = 5 + 3x$ i basen $B'$. > > > [!hint]- Ledtråd > > Översätt till $\mathbb{R}^2$: $1 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$, $x \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$, $(1+x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$, $(1-x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$. > > > [!success]- Facit > > a) $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$ > > > > b) $[5 + 3x]_{B'} = \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$, alltså $5 + 3x = 4(1+x) + 1(1-x)$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > **a)** Radreducera $[B' \mid B]$ i $\mathbb{R}^2$: > > > > > > $$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & -1 & 1\end{array}\right]$$ > > > > > > $$\xrightarrow{R_2/(-2)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$ > > > > > > $$P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ > > > > > > **b)** $[5+3x]_B = \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$ (i standardbasen). > > > > > > $$[5+3x]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$$ > > > > > > **Kontroll:** $4(1+x) + 1(1-x) = 4 + 4x + 1 - x = 5 + 3x$ ✓ --- ### Inversuppgifter > [!question]- Uppgift 4: Omvänd riktning > Från uppgift 2 vet vi att $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$. > > Bestäm $P_{B' \to B}$ och använd den för att beräkna $[\vec{x}]_B$ givet $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$. > > > [!hint]- Ledtråd > > $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$. Använd $2 \times 2$-inversformeln. > > > [!success]- Facit > > $P_{B' \to B} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$, $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}\frac{17}{3}\\-\frac{1}{3}\end{bmatrix}$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > $\det(P_{B \to B'}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$. > > > > > > $$P_{B' \to B} = \frac{1}{-\frac{3}{2}}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} = -\frac{2}{3}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$$ > > > > > > $$[\vec{x}]_B = P_{B' \to B}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} + 5\\\frac{2}{3} - 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{17}{3}\\-\frac{1}{3}\end{bmatrix}$$ > > > > > > **Kontroll:** $\vec{x} = 2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}$. > > > > > > Andra vägen: $\frac{17}{3}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} - \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{17}{3} - \frac{2}{3}\\\frac{17}{3} + \frac{1}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}$ ✓ --- ### Konceptuella uppgifter > [!question]- Uppgift 5: Sant eller falskt? > Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort. > > a) Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ är alltid kvadratisk. > b) $P_{B \to B'} = P_{B' \to B}$. > c) $(P_{B \to B'})^{-1}$ existerar alltid. > d) Om $P_{B \to B'} = I$ (identitetsmatrisen), så är $B = B'$. > e) Kolumnerna i $P_{B \to B'}$ är koordinaterna för $B'$:s basvektorer i bas $B$. > > > [!hint]- Ledtråd > > b) Tänk på vad som händer om du sätter $P_{B \to B'} = P_{B' \to B}$: det ger $(P_{B \to B'})^2 = I$, dvs. $P$ är sin egen invers. Gäller det generellt? > > > [!success]- Facit > > > > a) **Sant.** Både $B$ och $B'$ har $n$ vektorer (dimensionen av rummet), så $P_{B \to B'}$ är $n \times n$. > > > > b) **Falskt.** $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$, och en matris är i allmänhet inte lika med sin invers. T.ex. i uppgift 2 ovan. > > > > c) **Sant.** Övergångsmatrisen är alltid inverterbar (satsen i avsnitt 4). > > > > d) **Sant.** Om $P_{B \to B'} = I$ så gäller $[\vec{x}]_{B'} = I \cdot [\vec{x}]_B = [\vec{x}]_B$ för alla $\vec{x}$. Samma koordinater i båda baserna innebär att baserna är identiska. > > > > e) **Falskt.** Kolumnerna i $P_{B \to B'}$ är koordinaterna för **$B$:s** basvektorer i bas **$B'$** — inte tvärtom! (Se avsnitt 3.1.) --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Change of basis (kap 13)](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) — basbyte visuellt förklarat - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — grunden för baser och koordinater - [3Blue1Brown: Eigenvectors and eigenvalues (kap 14)](https://youtu.be/PFDu9oVAE-g) — egenvärden och basbyte hänger ihop ### Wikipedia - [Change of basis](https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis) - [Transition matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis#Change_of_basis_for_vectors) - [Coordinate vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_vector) ### Fördjupning - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Change of Basis](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/change-of-basis.html)