# Optimering och Relaterade Hastigheter – Studiematerial > [!abstract] Syfte Detta material lär dig att systematiskt lösa optimeringsuppgifter och problem med relaterade hastigheter. Fokus ligger på **metod och tankesätt** – inte bara svar. --- ## Del 1: Klassisk Optimering ### 1.1 Grundmetoden Alla optimeringsproblem följer samma struktur: 1. **Identifiera målfunktionen** – vad ska maximeras/minimeras? 2. **Hitta bivillkoret** – vilket samband begränsar variablerna? 3. **Reducera till en variabel** – substituera bort en variabel 4. **Derivera och sätt $= 0$** – hitta kritiska punkter 5. **Klassificera** – är det max eller min? Glöm inte randvärden! > [!tip] Nyckelinsikt Optimeringsproblem handlar om att gå från **två variabler + ett bivillkor** till **en variabel**. --- ### 1.2 Exempeltyp: Geometrisk optimering > [!example] Uppgift: Rektangel inskriven i ellips En rektangel ska inskrivas i ellipsen $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Maximera omkretsen. **Steg 1: Sätt upp problemet** Låt hörnet i första kvadranten vara $(x, y)$. Då är: - Rektangelns bredd: $2x$ - Rektangelns höjd: $2y$ - **Målfunktion:** $O = 4x + 4y$ - **Bivillkor:** $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ **Steg 2: Reducera till en variabel** Från bivillkoret: $y = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}$ Substitution ger: $O(x) = 4x + 4\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}, \quad 0 \leq x \leq 2$ **Steg 3: Derivera** $O'(x) = 4 + 4 \cdot \frac{-\frac{x}{2}}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} = 4 - \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$ **Steg 4: Sätt $O'(x) = 0$** $4 = \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$ $16\left(1 - \frac{x^2}{4}\right) = x^2$ $16 - 4x^2 = x^2 \implies x^2 = \frac{16}{5} \implies x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ **Steg 5: Beräkna $y$ och omkretsen** $y = \sqrt{1 - \frac{16/5}{4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $O_{\max} = 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$ > [!success] Svar Maximal omkrets är $4\sqrt{5}$ med sidorna $2x = \frac{8}{\sqrt{5}}$ och $2y = \frac{2}{\sqrt{5}}$. --- ### 1.3 Exempeltyp: Tid/Kostnad-optimering > [!example] Uppgift: Karen i roddbåten Karen är i en båt 4 km från strand. Hon ska till en punkt P som ligger 3 km längs stranden från närmaste punkten A. Hon ror 4 km/h och går 5 km/h. Var ska hon landa? **Steg 1: Rita och definiera** ``` R (båt) | | 4 km | ---A----S---------P--- (strand) x 3-x ``` Låt $x$ = avstånd från A till landningspunkt S. **Steg 2: Ställ upp tidsfunktionen** - Roavstånd: $\sqrt{16 + x^2}$ - Gångavstånd: $3 - x$ (om $x \leq 3$) $T(x) = \frac{\sqrt{16 + x^2}}{4} + \frac{3-x}{5}, \quad 0 \leq x \leq 3$ **Steg 3: Derivera och sätt $= 0$** $T'(x) = \frac{x}{4\sqrt{16 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0$ $\frac{x}{4\sqrt{16 + x^2}} = \frac{1}{5}$ $5x = 4\sqrt{16 + x^2}$ $25x^2 = 16(16 + x^2) = 256 + 16x^2$ $9x^2 = 256 \implies x = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ km}$ **Steg 4: Kritisk punkt utanför intervallet!** Eftersom $x = \frac{16}{3} > 3$, måste vi kontrollera **randvärdena**: - $T(0) = \frac{4}{4} + \frac{3}{5} = 1 + 0.6 = 1.6$ h - $T(3) = \frac{\sqrt{25}}{4} + 0 = \frac{5}{4} = 1.25$ h > [!success] Svar Karen ska ro direkt till P (dvs. $x = 3$ km). Tiden blir 1.25 h. > [!warning] Läxa Glöm aldrig att kontrollera randvärden på slutna intervall! --- ## Del 2: Relaterade Hastigheter ### 2.1 Grundmetoden När flera storheter ändras med tiden och är kopplade genom ett samband: 1. **Rita bild** och definiera variabler 2. **Skriv geometriskt samband** mellan variablerna 3. **Derivera implicit** med avseende på $t$ 4. **Sätt in kända värden** – derivera först, substituera sen! 5. **Lös ut** den sökta hastigheten > [!danger] Vanligaste misstaget Att sätta in numeriska värden **innan** man deriverar. Då försvinner variablerna och du får fel! --- ### 2.2 Exempeltyp: Avståndsproblem > [!example] Uppgift: Polisjakten Polis P kör 50 km/h norrut. Bil B kör västerut mot samma korsning. När P är 180 m från korsningen är avståndet P–B = 300 m och minskar med 90 km/h. Hur fort kör B? **Steg 1: Koordinatsystem** Korsningen i origo. Polisen vid $(0, y)$, bilen vid $(x, 0)$. **Steg 2: Geometriskt samband** $d^2 = x^2 + y^2$ **Steg 3: Derivera med avseende på $t$** $2d \frac{dd}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}$ $d \frac{dd}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}$ **Steg 4: Bestäm alla värden vid tillfället** Kända: - $y = 180$ m $= 0.18$ km - $d = 300$ m $= 0.30$ km - $\frac{dd}{dt} = -90$ km/h (minskar) - $\frac{dy}{dt} = -50$ km/h (närmar sig korsningen) Beräkna $x$: $x = \sqrt{d^2 - y^2} = \sqrt{0.30^2 - 0.18^2} = \sqrt{0.09 - 0.0324} = \sqrt{0.0576} = 0.24 \text{ km}$ **Steg 5: Lös ut $\frac{dx}{dt}$** $0.30 \cdot (-90) = 0.24 \cdot \frac{dx}{dt} + 0.18 \cdot (-50)$ $-27 = 0.24 \cdot \frac{dx}{dt} - 9$ $0.24 \cdot \frac{dx}{dt} = -18$ $\frac{dx}{dt} = -75 \text{ km/h}$ > [!success] Svar Bil B kör **75 km/h** (minustecknet betyder att x minskar, dvs. bilen kör mot korsningen). Detta överskrider hastighetsgränsen 70 km/h. --- ### 2.3 Exempeltyp: Vinkelproblem > [!example] Uppgift: Fyren En fyr står 2 km från stranden och roterar med 8 varv/min. Hur snabbt rör sig ljuspunkten P när den är 6 km från närmaste punkt A? **Steg 1: Geometriskt samband** $\tan\theta = \frac{x}{2}$ där $x$ = avstånd längs stranden, $\theta$ = vinkel. **Steg 2: Derivera med avseende på $t$** $\sec^2\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2}\frac{dx}{dt}$ **Steg 3: Beräkna vinkelhastigheten** $\frac{d\theta}{dt} = 8 \text{ varv/min} = 8 \cdot 2\pi = 16\pi \text{ rad/min}$ **Steg 4: Vid $x = 6$ km** $\tan\theta = \frac{6}{2} = 3$ $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + 9 = 10$ **Steg 5: Lös ut $\frac{dx}{dt}$** $10 \cdot 16\pi = \frac{1}{2}\frac{dx}{dt}$ $\frac{dx}{dt} = 320\pi \approx 1005 \text{ km/min}$ > [!success] Svar Ljuspunkten rör sig med $320\pi \approx 1005$ km/min när den är 6 km från A. --- ## Del 3: Mekaniska tillämpningar ### 3.1 Kolvmotorn > [!example] Uppgift Vevaxel roterar 6500 rpm, radie $r = 3$ cm, vevstakslängd $d = 7$ cm. Bestäm kolvens position och hastighet vid $\theta = \frac{\pi}{3}$. **Geometriskt samband:** $x = r\cos\theta + \sqrt{d^2 - r^2\sin^2\theta}$ **Del a) Position vid $\theta = \frac{\pi}{3}$:** $x = 3\cos\frac{\pi}{3} + \sqrt{49 - 9\sin^2\frac{\pi}{3}}$ $= 3 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{49 - 9 \cdot \frac{3}{4}} = 1.5 + \sqrt{49 - 6.75}$ $= 1.5 + \sqrt{42.25} = 1.5 + 6.5 = 8 \text{ cm}$ **Del b) Hastighet:** Derivera $x$ med avseende på $t$: $\frac{dx}{dt} = -r\sin\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} - \frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{d^2 - r^2\sin^2\theta}} \cdot \frac{d\theta}{dt}$ Vinkelhastighet: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6500 \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{650\pi}{3} \text{ rad/s}$ Vid $\theta = \frac{\pi}{3}$: - $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ $\frac{dx}{dt} = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{650\pi}{3} \left(1 + \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{6.5}\right)$ $= -\frac{\sqrt{3} \cdot 650\pi}{2} \left(1 + \frac{3}{13}\right) = -\frac{650\sqrt{3}\pi}{2} \cdot \frac{16}{13}$ $\approx -1374 \text{ cm/s} \approx -13.7 \text{ m/s}$ > [!success] Svar a) $x = 8$ cm > b) Kolvens hastighet är ca $13.7$ m/s (negativt = rörelse mot vevaxeln) --- ## Del 4: Snabbguide ### Checklista för optimering - [ ] Vad ska optimeras? (målfunktion) - [ ] Vad är bivillkoret? - [ ] Har jag reducerat till en variabel? - [ ] Har jag deriverat och löst $f'(x) = 0$? - [ ] Har jag kontrollerat randvärdena? - [ ] Är svaret rimligt? ### Checklista för relaterade hastigheter - [ ] Har jag ritat en bild? - [ ] Har jag skrivit det geometriska sambandet? - [ ] Har jag deriverat **innan** jag satt in värden? - [ ] Har jag rätt tecken på hastigheterna? - [ ] Är enheterna konsekventa? ### Viktiga omvandlingar |Från|Till|Formel| |---|---|---| |varv/min (rpm)|rad/s|$\omega_{\text{rad/s}} = \omega_{\text{rpm}} \cdot \frac{2\pi}{60}$| |km/h|m/s|$v_{\text{m/s}} = v_{\text{km/h}} \cdot \frac{1}{3.6}$| |grader|radianer|$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$| --- ## Del 5: Övningsuppgifter > [!question]- Övning 1: Transportkostnad En lastbil ska köra 200 km. Föraren kostar 320 kr/h. Bränsle kostar 10 kr/L och förbrukningen är $\frac{v}{10}$ L/km vid hastighet $v$ km/h. > > a) Ställ upp kostnadsfunktionen $C(v)$ > b) Bestäm optimal hastighet > c) Beräkna minimikostnaden > > **Tips:** Total tid = $\frac{200}{v}$, total bränsleförbrukning = $200 \cdot \frac{v}{10}$ > [!question]- Övning 2: Kulstötning Kastparabelns ekvation är $y = h + x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v^2}(1 + \tan^2\theta)$ > > Sätt $z = \tan\theta$ och $y = 0$ för att få kastvidden $R$ som implicit funktion av $z$. Bestäm $\frac{dR}{dz}$ genom implicit derivering och hitta optimal vinkel. > [!question]- Övning 3: Tangerande cirkel Bestäm arean av cirkeln som tangerar $y = x + \frac{1}{x}$ i första och tredje kvadranten. > > **Tips:** Utnyttja symmetri. Cirkelns centrum ligger i origo. --- ## Länkade resurser - [[Derivataregler]] - [[Implicit derivering]] - [[Trigonometriska identiteter]] - [[Pythagoras sats och avstånd]]