> [!warning] Info
> Filen är självständigt skapad av [Opus 4.5](https://platform.claude.com/docs/en/about-claude/models/whats-new-claude-4-5) och [Claude Code](https://claude.com/product/claude-code)
## Inledning
Taylorserier är ett kraftfullt verktyg för att approximera funktioner med polynom. Idén är enkel: om vi känner till en funktions värde och alla dess derivator i en punkt, kan vi "återskapa" funktionen som en oändlig potensserie.
> [!note]- Varför Taylorserier?
>
> **Approximation:** Komplicerade funktioner (som $e^x$, $\sin x$, $\ln(1+x)$) kan approximeras med enkla polynom.
>
> **Beräkningar:** Så här beräknar miniräknare och datorer trigonometriska funktioner!
>
> **Gränsvärden:** Taylorutveckling förenklar ofta beräkning av gränsvärden.
>
> **Differentialekvationer:** Många lösningar uttrycks som potensserier.
>
> **Fysik:** Småvinkelapproximationer ($\sin \theta \approx \theta$) är Taylorutvecklingar!
>
> 
---
# Del I: Taylorpolynom
## Definition och grundläggande begrepp
> [!info]- Definition: Taylorpolynom
>
> **Taylorpolynomet av grad $n$** för funktionen $f$ kring punkten $a$ är:
>
> $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
>
> $= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
>
> **Speciellt:** Om $a = 0$ kallas det **Maclaurinpolynom**: $T_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
> [!note]- Intuition: Varför just denna formel?
>
> Vi vill hitta ett polynom $P(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$ som "matchar" $f$ så bra som möjligt vid $x = a$.
>
> **Krav:** $P(a) = f(a)$, $P'(a) = f'(a)$, $P''(a) = f''(a)$, osv.
>
> Om $P(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$
>
> - $P(a) = c_0 = f(a)$
> - $P'(x) = c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots \Rightarrow P'(a) = c_1 = f'(a)$
> - $P''(x) = 2c_2 + 6c_3(x-a) + \cdots \Rightarrow P''(a) = 2c_2 = f''(a) \Rightarrow c_2 = \frac{f''(a)}{2}$
> - $P'''(a) = 6c_3 = f'''(a) \Rightarrow c_3 = \frac{f'''(a)}{6} = \frac{f'''(a)}{3!}$
>
> **Allmänt:** $c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$
> [!info]- Definition: Restterm
>
> **Resttermen** $R_n(x)$ är skillnaden mellan funktionen och Taylorpolynomet: $f(x) = T_n(x) + R_n(x)$
>
> **Lagranges form av resttermen:** $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
>
> för något $\xi$ mellan $a$ och $x$.
>
> **Tolkning:** Resttermen talar om hur stort felet är när vi approximerar $f$ med $T_n$.
---
## Beräkning av Taylorpolynom
> [!tip]- Receptbok: Beräkna Taylorpolynom
>
> **Steg 1:** Beräkna derivatorna $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$
>
> **Steg 2:** Sätt in i formeln: $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
>
> **Steg 3:** Förenkla om möjligt
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $e^x$ kring $a = 0$
> >
> > **Steg 1:** $f(x) = e^x$
> >
> > $f^{(k)}(x) = e^x$ för alla $k$, så $f^{(k)}(0) = 1$ för alla $k$.
> >
> > **Steg 2:** $T_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$
> >
> > **Specifika fall:**
> >
> > - $T_0(x) = 1$
> > - $T_1(x) = 1 + x$
> > - $T_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$
> > - $T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\sin x$ kring $a = 0$
> >
> > **Steg 1:** Derivator:
> >
> > |$k$|$f^{(k)}(x)$|$f^{(k)}(0)$|
> > |:-:|:-:|:-:|
> > |0|$\sin x$|0|
> > |1|$\cos x$|1|
> > |2|$-\sin x$|0|
> > |3|$-\cos x$|-1|
> > |4|$\sin x$|0|
> > |5|$\cos x$|1|
> >
> > Mönster: $0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \ldots$ (period 4)
> >
> > **Steg 2:** Endast udda termer är icke-noll: $T_{2n+1}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
> >
>När taylorutvecklingens grad ökar, närmar den sig den sökta funktionen. Bilden visar funktionen $sin(x)$ och dess taylorpolynom av grad: $1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13 .$
> >![[Pasted image 20251214185503.png|400]]
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\cos x$ kring $a = 0$
> >
> > **Steg 1:** Derivator ger mönstret $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \ldots$
> >
> > **Steg 2:** Endast jämna termer är icke-noll: $T_{2n}(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\ln(1+x)$ kring $a = 0$
> >
> > **Steg 1:**
> >
> > |$k$|$f^{(k)}(x)$|$f^{(k)}(0)$|
> > |:-:|:-:|:-:|
> > |0|$\ln(1+x)$|0|
> > |1|$\frac{1}{1+x}$|1|
> > |2|$-\frac{1}{(1+x)^2}$|-1|
> > |3|$\frac{2}{(1+x)^3}$|2|
> > |4|$-\frac{6}{(1+x)^4}$|-6|
> >
> > Mönster: $f^{(k)}(0) = (-1)^{k+1}(k-1)!$ för $k \geq 1$
> >
> > **Steg 2:** $T_n(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$
---
## Taylorpolynom kring andra punkter
> [!tip]- Receptbok: Taylorpolynom kring $a \neq 0$
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\sqrt{x}$ kring $a = 4$
> >
> > $f(x) = x^{1/2}$
> >
> > |$k$|$f^{(k)}(x)$|$f^{(k)}(4)$|
> > |:-:|:-:|:-:|
> > |0|$x^{1/2}$|2|
> > |1|$\frac{1}{2}x^{-1/2}$|$\frac{1}{4}$|
> > |2|$-\frac{1}{4}x^{-3/2}$|$-\frac{1}{32}$|
> > |3|$\frac{3}{8}x^{-5/2}$|$\frac{3}{256}$|
> >
> > $T_2(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2$
> >
> > **Approximation:** $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{0.1}{4} - \frac{0.01}{64} \approx 2.0248$
>
> > [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $e^x$ kring $a = 1$
> >
> > $f^{(k)}(x) = e^x$, så $f^{(k)}(1) = e$ för alla $k$.
> >
> > $T_n(x) = e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots = e \sum_{k=0}^{n} \frac{(x-1)^k}{k!}$
---
# Del II: Taylorserier
## Definition av Taylorserie
> [!info]- Definition: Taylorserie
>
> **Taylorserien** för $f$ kring punkten $a$ är den oändliga serien:
>
> $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$
>
> Om $a = 0$ kallas den **Maclaurinserie**.
>
> **OBS:** Taylorserien är den formella gräns av Taylorpolynomen när $n \to \infty$.
> [!warning]- Viktigt: Konvergens
>
> Att Taylorserien **existerar** (kan skrivas upp) betyder inte att den **konvergerar** mot $f(x)$!
>
> **Tre saker kan hända:**
>
> 1. Serien konvergerar mot $f(x)$ för alla $x$ (t.ex. $e^x$, $\sin x$, $\cos x$)
> 2. Serien konvergerar mot $f(x)$ endast för $|x-a| < R$ (konvergensradie $R$)
> 3. Serien konvergerar men **inte** mot $f(x)$ (sällsynt men möjligt)
---
## Standardutvecklingar (Maclaurinserier)
> [!info]- SATS: Viktiga Maclaurinserier
>
> **Exponentialfunktionen:** $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \text{för alla } x$
>
> **Sinus:** $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad \text{för alla } x$
>
> **Cosinus:** $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad \text{för alla } x$
>
> **Naturliga logaritmen:** $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad \text{för } -1 < x \leq 1$
>
> **Geometrisk serie:** $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad \text{för } |x| < 1$
>
> **Binomialserien** (för $\alpha \in \mathbb{R}$): $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots \quad \text{för } |x| < 1$
>
> där $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$
> [!info]- SATS: Fler standardutvecklingar
>
> **Arcustangens:** $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad \text{för } |x| \leq 1$
>
> **Hyperbolisk sinus:** $\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \quad \text{för alla } x$
>
> **Hyperbolisk cosinus:** $\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \quad \text{för alla } x$
>
> **Viktigt specialfall:** $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \quad \text{för } |x| < 1$
---
## Minnestekniker
> [!tip]- Minnesregler för standardserier
>
> **$e^x$:** Alla termer, alla positiva, dela med $n!$ $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
>
> **$\sin x$:** Endast udda exponenter, alternerande tecken, dela med $(2n+1)!$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$
>
> **$\cos x$:** Endast jämna exponenter, alternerande tecken, dela med $(2n)!$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$
>
> **$\ln(1+x)$:** Alla termer, alternerande tecken, dela med $n$ (ej fakultet!) $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$
>
> **Samband:** $\sin$ och $\cos$ liknar $e^x$ men med alternerande tecken och bara halva termerna.
---
# Del III: Operationer med Taylorserier
## Substitution
> [!tip]- Receptbok: Substitution i kända serier
>
> Om du känner Taylorserien för $f(u)$, kan du få serien för $f(g(x))$ genom att ersätta $u$ med $g(x)$.
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $e^{-x^2}$
> >
> > Vi vet: $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots$
> >
> > Sätt $u = -x^2$: $e^{-x^2} = 1 + (-x^2) + \frac{(-x^2)^2}{2!} + \frac{(-x^2)^3}{3!} + \cdots$ $= 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\sin(x^2)$
> >
> > Vi vet: $\sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \cdots$
> >
> > Sätt $u = x^2$: $\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \cdots = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\ln(1+x^2)$
> >
> > Vi vet: $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$
> >
> > Sätt $u = x^2$: $\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\frac{1}{1+x^2}$
> >
> > Vi vet: $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots$
> >
> > Sätt $u = -x^2$: $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$
---
## Addition och subtraktion
> [!tip]- Receptbok: Addera/subtrahera Taylorserier
>
> Taylorserier kan adderas och subtraheras term för term.
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
> >
> > $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
> >
> > Addition: $e^x + e^{-x} = 2 + \frac{2x^2}{2!} + \frac{2x^4}{4!} + \cdots = 2\left(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)$
> >
> > $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
> >
> > Subtraktion: $e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \cdots$
> >
> > $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$
---
## Multiplikation
> [!tip]- Receptbok: Multiplicera Taylorserier
>
> Multiplicera som vanliga polynom och samla termer av samma grad.
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $e^x \sin x$ (första termerna)
> >
> > $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
> >
> > Multiplicera: $e^x \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots)(x - \frac{x^3}{6} + \cdots)$
> >
> > Ordna efter potenser:
> >
> > - $x^1$: $1 \cdot x = x$
> > - $x^2$: $x \cdot x = x^2$
> > - $x^3$: $\frac{x^2}{2} \cdot x + 1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}$
> > - $x^4$: $\frac{x^3}{6} \cdot x + x \cdot (-\frac{x^3}{6}) = 0$
> >
> > $e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\frac{1}{(1-x)^2}$
> >
> > Metod 1 (derivera $\frac{1}{1-x}$): $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}$
> >
> > $\frac{d}{dx}(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots$
> >
> > $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$
---
## Division
> [!tip]- Receptbok: Dividera Taylorserier
>
> För $\frac{f(x)}{g(x)}$ där $g(0) \neq 0$:
>
> **Metod 1:** Skriv $\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$ och hitta serien för $\frac{1}{g}$ först.
>
> **Metod 2:** Ansätt $\frac{f}{g} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots$ och lös för koefficienterna.
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\tan x$ (första termerna)
> >
> > $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
> >
> > Ansätt: $\tan x = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$
> >
> > Då ska $\sin x = \cos x \cdot \tan x$: $x - \frac{x^3}{6} + \cdots = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \cdots\right)(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots)$
> >
> > Jämför koefficienter:
> >
> > - $x^0$: $0 = c_0 \Rightarrow c_0 = 0$
> > - $x^1$: $1 = c_1 \Rightarrow c_1 = 1$
> > - $x^2$: $0 = c_2 - 0 \Rightarrow c_2 = 0$
> > - $x^3$: $-\frac{1}{6} = c_3 - \frac{1}{2} \Rightarrow c_3 = \frac{1}{3}$
> >
> > $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$
---
## Derivering och integration
> [!info]- SATS: Derivering och integration av potensserier
>
> Om $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ konvergerar för $|x-a| < R$, då gäller inom samma intervall:
>
> **Derivering (term för term):** $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot a_n (x-a)^{n-1}$
>
> **Integration (term för term):** $\int f(x) , dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$
> [!tip]- Receptbok: Derivera/integrera för att hitta serier
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\arctan x$ via integration
> >
> > Vi vet: $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$
> >
> > Från tidigare: $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$
> >
> > Integrera term för term: $\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = C + x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$
> >
> > Eftersom $\arctan 0 = 0$: $C = 0$
> >
> > $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
>
> > [!example]- Exempel: Maclaurinserie för $\ln(1+x)$ via integration
> >
> > Vi vet: $\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x}$
> >
> > $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$
> >
> > Integrera: $\ln(1+x) = C + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$
> >
> > Eftersom $\ln 1 = 0$: $C = 0$
> >
> > $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$
---
# Del IV: Konvergens
## Konvergensradie
> [!info]- Definition: Konvergensradie
>
> För en potensserie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ finns ett tal $R \geq 0$ (möjligen $\infty$) kallat **konvergensradien** sådant att:
>
> - Serien **konvergerar absolut** för $|x-a| < R$
> - Serien **divergerar** för $|x-a| > R$
> - För $|x-a| = R$ måste varje ändpunkt undersökas separat
>
> **Konvergensintervallet** är mängden av $x$ där serien konvergerar.
> [!info]- SATS: Beräkna konvergensradie
>
> **Kvottest:** $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
>
> om gränsvärdet existerar.
>
> **Rottest:** $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
>
> om gränsvärdet existerar.
> [!example]- Exempel: Konvergensradie för $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
>
> $a_n = \frac{1}{n}$
>
> **Kvottest:** $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{1/n}{1/(n+1)}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$
>
> **Ändpunkter:**
>
> - $x = 1$: $\sum \frac{1}{n}$ (harmoniska serien) — divergerar
> - $x = -1$: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ (alternerande harmoniska) — konvergerar
>
> **Konvergensintervall:** $[-1, 1)$
> [!example]- Exempel: Konvergensradie för $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ (serien för $e^x$)
>
> $a_n = \frac{1}{n!}$
>
> **Kvottest:** $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!}\right| = \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty$
>
> Serien konvergerar för alla $x$.
> [!info]- Sammanfattning: Konvergensradie för standardserier
>
> |Serie|Konvergensradie|
> |:--|:-:|
> |$e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$|$R = \infty$|
> |$\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$|$R = \infty$|
> |$\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$|$R = \infty$|
> |$\ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$|$R = 1$|
> |$\frac{1}{1-x} = \sum x^n$|$R = 1$|
> |$\arctan x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$|$R = 1$|
> |$(1+x)^\alpha = \sum \binom{\alpha}{n} x^n$|$R = 1$ (oftast)|
---
# Del V: Tillämpningar
## Beräkna gränsvärden
> [!tip]- Receptbok: Gränsvärden med Taylorutveckling
>
> **Strategi:** Ersätt funktioner med deras Taylorutvecklingar och förenkla.
>
> **Fördelar jämfört med L'Hôpital:**
>
> - Ofta snabbare
>
> - Ger mer information (asymptotiskt beteende)
>
> - Fungerar även när L'Hôpital blir krångligt
>
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$
> >
> > $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$
> >
> > $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots$
> >
> > $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$
> >
> > $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$
> >
> > $e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$
> >
> > $\frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{6} + \frac{x}{24} + \cdots \to \frac{1}{6}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$
> >
> > $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$
> >
> > $\cos x - 1 + \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$
> >
> > $\frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \frac{1}{24} - \frac{x^2}{720} + \cdots \to \frac{1}{24}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$
> >
> > $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$
> >
> > $\frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots}{x^3} = \frac{1}{3} + \frac{2x^2}{15} + \cdots \to \frac{1}{3}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$
> >
> > $1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots$ $x \sin x = x\left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) = x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots$
> >
> > $\frac{1 - \cos x}{x \sin x} = \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots}{x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \cdots}{1 - \frac{x^2}{6} + \cdots} \to \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$
---
## Approximation av funktioner
> [!tip]- Receptbok: Numeriska approximationer
>
> > [!example]- Exempel: Approximera $e^{0.1}$
> >
> > $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$
> >
> > $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000167 = 1.105167$
> >
> > (Exakt: $e^{0.1} = 1.10517091...$)
>
> > [!example]- Exempel: Approximera $\sin(0.1)$
> >
> > $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$
> >
> > $\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.1 - 0.000167 = 0.099833$
> >
> > (Exakt: $\sin(0.1) = 0.0998334...$)
>
> > [!example]- Exempel: Approximera $\sqrt{1.1}$
> >
> > Använd $(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$
> >
> > $\sqrt{1.1} = (1 + 0.1)^{1/2} \approx 1 + \frac{0.1}{2} - \frac{0.01}{8} = 1 + 0.05 - 0.00125 = 1.04875$
> >
> > (Exakt: $\sqrt{1.1} = 1.04880...$)
---
## Beräkna integraler
> [!tip]- Receptbok: Integraler via Taylorutveckling
>
> Många funktioner har inga elementära primitiva funktioner, men kan integreras via sin Taylorserie.
>
> > [!example]- Exempel: $\int_0^1 e^{-x^2} dx$
> >
> > $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$
> >
> > Integrera term för term: $\int_0^1 e^{-x^2} dx = \left[x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots\right]_0^1$ $= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots$ $\approx 1 - 0.333 + 0.1 - 0.024 + 0.005 \approx 0.747$
> >
> > (Exakt: $\approx 0.7468$)
>
> > [!example]- Exempel: $\int \frac{\sin x}{x} dx$
> >
> > $\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$
> >
> > Integrera: $\int \frac{\sin x}{x} dx = x - \frac{x^3}{18} + \frac{x^5}{600} - \cdots + C$
> >
> > (Denna integral har inget uttryck i elementära funktioner!)
---
## Beräkna summor
> [!tip]- Receptbok: Hitta summor via Taylorserier
>
> > [!example]- Exempel: Beräkna $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
> >
> > Vi vet att $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
> >
> > Sätt $x = 1$: $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Beräkna $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$
> >
> > Vi vet att $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
> >
> > Sätt $x = 1$: $\sin 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$
>
> > [!example]- Exempel: Beräkna $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
> >
> > Vi vet att $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$
> >
> > Sätt $x = 1$: $\ln 2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$
>
> > [!example]- Exempel: Beräkna $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$
> >
> > Vi vet att $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
> >
> > Sätt $x = 1$ (på gränsen, men konvergerar): $\arctan 1 = \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$
> >
> > **Leibniz formel för $\pi$:** $\pi = 4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right)$
---
## Fysikaliska approximationer
> [!note]- Småvinkelapproximationer
>
> För små vinklar $\theta$ (i radianer):
>
> $\sin \theta \approx \theta$ $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ $\tan \theta \approx \theta$
>
> Dessa är de första icke-triviala termerna i Taylorutvecklingarna.
>
> **Användning i fysik:**
>
> - Pendelns svängningstid
> - Optik (paraxial approximation)
> - Vågmekanik
> [!note]- Binomialapproximationer
>
> För $|x| \ll 1$:
>
> $(1+x)^n \approx 1 + nx$
>
> **Exempel:**
>
> - $(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{x}{2}$ (kvadratrot)
> - $(1+x)^{-1} \approx 1 - x$
> - $(1+x)^{-1/2} \approx 1 - \frac{x}{2}$
>
> **Användning:** Relativistisk mekanik, kvantkorrektioner, feluppskattningar
---
# Del VI: Eulers formel och komplexa exponentialer
## Eulers formel
> [!info]- SATS: Eulers formel
>
> $e^{ix} = \cos x + i \sin x$
>
> **Speciellt:** $e^{i\pi} + 1 = 0$ (Eulers identitet)
> [!success]- Härledning: Eulers formel via Taylorserier
>
> Utveckla $e^{ix}$ formellt: $e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n x^n}{n!}$
>
> Notera att $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, ...
>
> Separera i jämna och udda termer: $e^{ix} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k} x^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k+1} x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
>
> $= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
>
> $= \cos x + i \sin x$
> [!info]- SATS: Konsekvenser av Eulers formel
>
> **Trigonometriska funktioner som exponentialer:** $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
>
> **de Moivres formel:** $(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$
---
# Del VII: Feluppskattning
## Lagranges restterm
> [!info]- SATS: Lagranges form av resttermen
>
> Om $f$ har kontinuerliga derivator upp till ordning $n+1$ på ett intervall innehållande $a$ och $x$, då:
>
> $f(x) = T_n(x) + R_n(x)$
>
> där $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
>
> för något $\xi$ mellan $a$ och $x$.
>
> **Felavskattning:** $|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$
>
> där $M = \max |f^{(n+1)}(t)|$ för $t$ mellan $a$ och $x$.
> [!tip]- Receptbok: Uppskatta approximationsfelet
>
> **Steg 1:** Identifiera $f^{(n+1)}(x)$
>
> **Steg 2:** Hitta en övre gräns $M$ för $|f^{(n+1)}|$ på aktuellt intervall
>
> **Steg 3:** Beräkna $\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$
>
> > [!example]- Exempel: Fel vid approximation av $e^{0.5}$ med $T_3(x)$
> >
> > $f(x) = e^x$, $a = 0$, $x = 0.5$, $n = 3$
> >
> > $f^{(4)}(x) = e^x$
> >
> > För $0 \leq t \leq 0.5$: $|f^{(4)}(t)| = e^t \leq e^{0.5} < e < 3$
> >
> > $|R_3(0.5)| \leq \frac{3}{4!}(0.5)^4 = \frac{3}{24} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{128} < 0.008$
> >
> > Approximationen är korrekt till minst 2 decimaler.
>
> > [!example]- Exempel: Hur många termer för $\sin(0.1)$ med 6 decimalers noggrannhet?
> >
> > $f^{(n+1)}(x)$ är $\pm\sin x$ eller $\pm\cos x$, så $|f^{(n+1)}(x)| \leq 1$ för alla $x$.
> >
> > Vi vill ha $|R_n| < 0.5 \times 10^{-6}$
> >
> > $\frac{1}{(n+1)!}(0.1)^{n+1} < 5 \times 10^{-7}$
> >
> > För $n = 3$: $\frac{(0.1)^4}{4!} = \frac{10^{-4}}{24} \approx 4 \times 10^{-6}$ (för stort)
> >
> > För $n = 5$: $\frac{(0.1)^6}{6!} = \frac{10^{-6}}{720} \approx 1.4 \times 10^{-9}$ ✓
> >
> > **Svar:** Det räcker med $T_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$
---
## O-notation
> [!info]- Definition: Ordo-notation för resttermer
>
> Vi skriver $f(x) = T_n(x) + O((x-a)^{n+1})$
>
> för att indikera att resttermen är av ordning $(x-a)^{n+1}$ när $x \to a$.
>
> **Betydelse:** Det finns en konstant $C$ så att $|R_n(x)| \leq C|x-a|^{n+1}$ nära $a$.
>
> **Exempel:** $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3) \quad \text{när } x \to 0$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \quad \text{när } x \to 0$
---
# Del VIII: Sammanfattning
## Standardutvecklingar att memorera
> [!warning]- De viktigaste Maclaurinserierna
>
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
>
> $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
>
> $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
>
> $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$
>
> $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$
>
> $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$
>
> $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
---
## Snabbguide
> [!tip]- Strategier för Taylorutveckling
>
> |Situation|Metod|
> |:--|:--|
> |Hitta Maclaurinserie för $f(x)$|Derivera och sätt in i formeln|
> |$f(g(x))$ där $f$ är känd|Substitution i känd serie|
> |Produkt av funktioner|Multiplicera serier|
> |Kvot av funktioner|Division eller ansats|
> |Integral av funktion|Integrera serie term för term|
> |Derivata av funktion|Derivera serie term för term|
> |Beräkna gränsvärde $\frac{0}{0}$|Utveckla täljare och nämnare|
> |Uppskatta fel|Använd Lagranges restterm|
> [!warning]- Vanliga misstag
>
> 1. **Glömma konvergensintervallet**
> - $\ln(1+x)$ gäller endast för $-1 < x \leq 1$
> 2. **Fel i fakultet vs enkel division**
> - $e^x$: dividera med $n!$
> - $\ln(1+x)$: dividera med $n$ (ej fakultet!)
> 3. **Blanda ihop sin och cos**
> - $\sin$: udda potenser, börjar med $x$
> - $\cos$: jämna potenser, börjar med $1$
> 4. **Glömma alternerande tecken**
> - Kontrollera teckenmönstret noga
> 5. **Behålla för få termer vid gränsvärden**
> - Se till att dominerande term i täljare och nämnare inte tar ut varandra