> [!warning] Varning
> Filen är självständigt skapad av [Opus 4.5](https://platform.claude.com/docs/en/about-claude/models/whats-new-claude-4-5) och [Claude Code:](https://claude.com/product/claude-code)
## Inledning
Gränsvärden är ett av de mest fundamentala begreppen inom matematisk analys. De utgör grunden för derivator, integraler och kontinuitet. Intuitivt beskriver ett gränsvärde vad en funktion "närmar sig" när variabeln närmar sig ett visst värde.
> [!note]- Varför behövs gränsvärden?
>
> Gränsvärden löser problem som annars verkar omöjliga:
>
> **Problem 1:** Vad är $\frac{0}{0}$?
>
> - Uttrycket $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ är odefinierat för $x = 1$
> - Men om vi undersöker vad som händer _nära_ $x = 1$ kan vi ge ett meningsfullt svar
>
> **Problem 2:** Vad är derivatan?
>
> - $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
> - Utan gränsvärden kan vi inte definiera momentan förändringshastighet
>
> **Problem 3:** Vad är $e$?
>
> - $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
> - Talet $e$ definieras som ett gränsvärde!
---
# Del I: Grundläggande teori
## Informell definition
> [!info]- Definition: Gränsvärde (informell)
>
> Vi skriver $\lim_{x \to a} f(x) = L$
>
> och säger att "gränsvärdet av $f(x)$ då $x$ går mot $a$ är $L
quot; om $f(x)$ kan göras godtyckligt nära $L$ genom att välja $x$ tillräckligt nära $a$ (men $x \neq a$).
>
> **Viktigt:** Värdet $f(a)$ spelar ingen roll! Det som räknas är beteendet _nära_ $a$.
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 2} (3x - 1)$
>
> När $x$ närmar sig 2:
>
> |$x$|$f(x) = 3x - 1$|
> |:-:|:-:|
> |1.9|4.7|
> |1.99|4.97|
> |1.999|4.997|
> |2.001|5.003|
> |2.01|5.03|
> |2.1|5.3|
>
> Funktionsvärdet närmar sig 5 från båda hållen.
>
> **Svar:** $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$
---
## Formell definition (epsilon-delta)
> [!info]- Definition: Gränsvärde (formell, $\varepsilon$-$\delta$)
>
> Låt $f$ vara definierad på en öppen mängd innehållande $a$, möjligen utom i $a$ själv.
>
> Vi säger att $\lim_{x \to a} f(x) = L$ om:
>
> $\forall \varepsilon > 0 ; \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$
>
> **Översättning:**
>
> - För varje tolerans $\varepsilon$ (hur nära $L$ vi vill vara)
> - finns ett avstånd $\delta$ (hur nära $a$ vi måste vara)
> - så att om $x$ är inom $\delta$ från $a$ (men inte lika med $a$)
> - då är $f(x)$ inom $\varepsilon$ från $L$
>
> _bild på epsilon-delta-definition med rektangel kring $(a, L)$_
> [!success]- Härledning: Visa att $\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$
>
> Vi vill visa: $\forall \varepsilon > 0 ; \exists \delta > 0 : 0 < |x - 3| < \delta \implies |2x + 1 - 7| < \varepsilon$
>
> **Steg 1:** Förenkla $|f(x) - L|$ $|2x + 1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3|$
>
> **Steg 2:** Vi vill ha $2|x - 3| < \varepsilon$, dvs. $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{2}$
>
> **Steg 3:** Välj $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$
>
> **Steg 4:** Verifiera: Om $0 < |x - 3| < \delta = \frac{\varepsilon}{2}$, då $|2x + 1 - 7| = 2|x - 3| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \quad \checkmark$
> [!note]- När behövs $\varepsilon$-$\delta$?
>
> I praktiken används $\varepsilon$-$\delta$-bevis sällan för att _beräkna_ gränsvärden. Istället använder man:
>
> - Gränsvärdeslagar
> - Standardgränsvärden
> - L'Hôpitals regel
>
> $\varepsilon$-$\delta$-definitionen används främst för att:
>
> - **Bevisa** att gränsvärdeslagar gäller
> - **Visa** att ett gränsvärde inte existerar
> - Ge en rigorös grund för analys
---
## Ensidiga gränsvärden
> [!info]- Definition: Höger- och vänstergränsvärde
>
> **Högergränsvärde** (från höger, $x > a$): $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$
>
> **Vänstergränsvärde** (från vänster, $x < a$): $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$
>
> **Notation:** $a^+$ betyder "från höger", $a^-$ betyder "från vänster"
> [!info]- SATS: Samband mellan tvåsidigt och ensidiga gränsvärden
>
> $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = L \text{ och } \lim_{x \to a^-} f(x) = L$
>
> Det tvåsidiga gränsvärdet existerar om och endast om båda ensidiga gränsvärdena existerar och är lika.
> [!example]- Exempel: Signum-funktionen
>
> $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \ 0 & x = 0 \ -1 & x < 0 \end{cases}$
>
> - $\lim_{x \to 0^+} \text{sgn}(x) = 1$
> - $\lim_{x \to 0^-} \text{sgn}(x) = -1$
>
> Eftersom $1 \neq -1$ existerar **inte** $\lim_{x \to 0} \text{sgn}(x)$.
>
> _bild på signum-funktionen_
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$
>
> $\frac{|x|}{x} = \begin{cases} \frac{x}{x} = 1 & x > 0 \ \frac{-x}{x} = -1 & x < 0 \end{cases}$
>
> - $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$
> - $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$
>
> **Gränsvärdet existerar inte** (ensidiga gränsvärdena är olika).
---
## Gränsvärden vid oändligheten
> [!info]- Definition: Gränsvärde då $x \to \infty$
>
> $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
>
> betyder att $f(x)$ kan göras godtyckligt nära $L$ genom att välja $x$ tillräckligt stort.
>
> **Formellt:** $\forall \varepsilon > 0 ; \exists M : x > M \implies |f(x) - L| < \varepsilon$
>
> Analogt för $x \to -\infty$.
> [!info]- Definition: Oändligt gränsvärde
>
> $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
>
> betyder att $f(x)$ kan göras godtyckligt stort genom att välja $x$ tillräckligt nära $a$.
>
> **Formellt:** $\forall M > 0 ; \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M$
>
> **OBS:** Vi säger att gränsvärdet "är oändligt" eller att det "inte existerar (divergerar mot oändligheten)".
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$
>
> När $x \to 0^+$ (positiva värden nära 0):
>
> |$x$|$\frac{1}{x}$|
> |:-:|:-:|
> |0.1|10|
> |0.01|100|
> |0.001|1000|
>
> **Svar:** $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$
>
> Notera: $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$, så $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ existerar inte.
---
# Del II: Gränsvärdeslagar
## Aritmetiska regler
> [!info]- SATS: Gränsvärdeslagar
>
> Om $\lim_{x \to a} f(x) = L$ och $\lim_{x \to a} g(x) = M$ existerar, då gäller:
>
> **Summa/Differens:** $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
>
> **Konstant multipel:** $\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$
>
> **Produkt:** $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
>
> **Kvot** (om $M \neq 0$): $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$
>
> **Potens:** $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$
>
> **Rot** (om $L > 0$ eller $n$ udda): $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$
> [!info]- SATS: Sammansatta funktioner
>
> Om $\lim_{x \to a} g(x) = b$ och $f$ är kontinuerlig i $b$, då: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(b)$
>
> **Speciellt:** Om $\lim_{x \to a} g(x) = b$:
>
> - $\lim_{x \to a} e^{g(x)} = e^b$
> - $\lim_{x \to a} \ln(g(x)) = \ln(b)$ (om $b > 0$)
> - $\lim_{x \to a} \sin(g(x)) = \sin(b)$
> [!tip]- Receptbok: Direktsubstitution
>
> **Om $f$ är kontinuerlig i $a$:** $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
>
> Detta gäller för polynom, rationella funktioner (där nämnaren $\neq 0$), trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner, etc.
>
> **Metod:** Sätt in $x = a$ direkt. Om du får ett definierat värde är du klar!
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1)$
> >
> > Polynom är kontinuerliga överallt, så: $\lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1) = 2^3 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \pi} \cos(x)$
> >
> > Cosinus är kontinuerlig: $\lim_{x \to \pi} \cos(x) = \cos(\pi) = -1$
---
## Instängningssatsen (Squeeze Theorem)
> [!info]- SATS: Instängningssatsen
>
> Om $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ för alla $x$ nära $a$ (utom möjligen $x = a$), och $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$
>
> då gäller också $\lim_{x \to a} f(x) = L$
>
> _bild på squeeze theorem med f instängd mellan g och h_
> [!tip]- Receptbok: Instängningssatsen
>
> **Användning:** När du inte kan beräkna gränsvärdet direkt, försök hitta funktioner som "klämer" $f$ från båda hållen.
>
> **Vanlig situation:** $f(x) = (\text{begränsad funktion}) \cdot (\text{något som går mot 0})$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
> >
> > Vi vet att $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$ för alla $x \neq 0$.
> >
> > Multiplicera med $x^2$ (positivt): $-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$
> >
> > Eftersom $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ och $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$:
> >
> > $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$
> >
> > Vi vet att $-1 \leq \sin x \leq 1$.
> >
> > Dela med $x > 0$: $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
> >
> > Eftersom $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$:
> >
> > $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$
---
# Del III: Standardgränsvärden
## Trigonometriska gränsvärden
> [!info]- SATS: Fundamentala trigonometriska gränsvärden
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
>
> **OBS:** Dessa gäller endast när $x$ är i **radianer**!
> [!success]- Härledning: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (geometrisk)
>
> Betrakta enhetscirkeln med en vinkel $x$ (i radianer) där $0 < x < \frac{\pi}{2}$.
>
> **Tre områden att jämföra:**
>
> 1. Triangel med bas 1, höjd $\sin x$: Area $= \frac{1}{2}\sin x$
> 2. Cirkelsektor med vinkel $x$: Area $= \frac{x}{2}$
> 3. Triangel med bas 1, höjd $\tan x$: Area $= \frac{1}{2}\tan x$
>
> **Areorelation:** $\frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x$
>
> Dela med $\frac{1}{2}\sin x > 0$: $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$
>
> Ta reciproka värden (vänder olikheterna): $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
>
> Eftersom $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$, ger instängningssatsen: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$
>
> Eftersom $\frac{\sin x}{x}$ är en jämn funktion gäller detta även för $x \to 0^-$.
> [!success]- Härledning: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
>
> Multiplicera med konjugatet: $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)}$
>
> $= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x}$
>
> När $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
> [!tip]- Receptbok: Trigonometriska gränsvärden
>
> **Huvudstrategi:** Skriv om uttrycket så att $\frac{\sin(\square)}{\square}$ uppstår.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$
> >
> > Multiplicera och dividera med 5: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$
> >
> > Sätt $u = 5x$. När $x \to 0$ gäller $u \to 0$: $= 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 5 \cdot 1 = 5$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 7x}$
> >
> > $= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x} \cdot \frac{3x}{7x}$ $= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
> >
> > $\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$
> >
> > $= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$
> >
> > När $x \to 0$: $= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
---
## Exponential- och logaritmgränsvärden
> [!info]- SATS: Fundamentala exponentialgränsvärden
>
> **Definition av $e$:** $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$
>
> **Viktiga gränsvärden:** $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
>
> $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$
>
> $\lim_{x \to 0} (1 + ax)^{1/x} = e^a$
> [!success]- Härledning: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
>
> Låt $u = e^x - 1$, så $e^x = 1 + u$ och $x = \ln(1 + u)$.
>
> När $x \to 0$ gäller $u \to 0$.
>
> $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\ln(1 + u)} = \lim_{u \to 0} \frac{1}{\frac{\ln(1+u)}{u}}$
>
> Vi behöver visa att $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$.
>
> Från definitionen $(1 + u)^{1/u} \to e$ får vi: $\frac{\ln(1+u)}{u} = \ln\left((1+u)^{1/u}\right) \to \ln(e) = 1$
> [!tip]- Receptbok: Exponentialgränsvärden
>
> **Strategi 1:** Skriv om så att $\frac{e^{\square} - 1}{\square}$ uppstår.
>
> **Strategi 2:** För $(1 + \text{något})^{\text{stor potens}}$, skriv på formen $(1 + \frac{a}{x})^x$.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$
> >
> > $= \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$
> >
> > Skriv om: $\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}\right]^3$
> >
> > Sätt $u = \frac{x}{2}$, så $\frac{2}{x} = \frac{1}{u}$ och $x = 2u$: $\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2u} = \left[\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right]^2 \to e^2$
> >
> > Alltså: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = (e^2)^3 = e^6$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}$
> >
> > $\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} = \ln 2$
> >
> > (Direkt från standardgränsvärdet med $a = 2$)
---
## Gränsvärden vid oändligheten
> [!info]- SATS: Tillväxthierarki
>
> När $x \to \infty$ gäller följande ordning (snabbast växande först):
>
> $e^x \gg x^n \gg \ln x \gg 1$
>
> för alla $n > 0$.
>
> **Mer precist:** $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \quad \text{(exponentiell slår polynom)}$
>
> $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad \text{för alla } a > 0 \quad \text{(polynom slår logaritm)}$
>
> $\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{x} = 0 \quad \text{(även logaritm upphöjt till något)}$
> [!tip]- Receptbok: Gränsvärden för rationella funktioner då $x \to \infty$
>
> För $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots + a_0}{b_m x^m + \ldots + b_0}$:
>
> **Bryt ut högsta potensen i täljare och nämnare:**
>
> |Relation|Gränsvärde|
> |:-:|:-:|
> |$n > m$|$\pm\infty$ (samma tecken som $\frac{a_n}{b_m}$)|
> |$n = m$|$\frac{a_n}{b_m}$|
> |$n < m$|$0$|
>
> **Minnesregel:** "Högsta graden vinner."
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + 4}$
> >
> > Högsta graden är 2 i båda. Dela allt med $x^2$: $= \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$
> >
> > Täljaren har grad 3, nämnaren grad 2. Dela med $x^2$: $= \lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\infty}{1} = \infty$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x^2 + 1}$
> >
> > Täljaren har grad 1, nämnaren grad 2: $= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + x^2}{e^x - x}$
>
> Exponentiell dominerar. Bryt ut $e^x$ från både täljare och nämnare: $= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x(1 + x^2 e^{-x})}{e^x(1 - xe^{-x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + x^2 e^{-x}}{1 - xe^{-x}}$
>
> Eftersom $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$ för alla $n$: $= \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$
---
# Del IV: Obestämda former och tekniker
## Obestämda former
> [!info]- Definition: Obestämda former
>
> En **obestämd form** uppstår när direkt substitution ger ett uttryck vars värde inte kan bestämmas utan vidare analys.
>
> **De sju obestämda formerna:**
>
> |Form|Exempel|
> |:-:|:-:|
> |$\frac{0}{0}$|$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$|
> |$\frac{\infty}{\infty}$|$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$|
> |$0 \cdot \infty$|$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$|
> |$\infty - \infty$|$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2+1})$|
> |$0^0$|$\lim_{x \to 0^+} x^x$|
> |$1^\infty$|$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$|
> |$\infty^0$|$\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$|
> [!warning]- Vanligt misstag: Ej obestämda former
>
> Följande är **INTE** obestämda:
>
> |Form|Värde|
> |:-:|:-:|
> |$\frac{a}{0}$ där $a \neq 0$|$\pm\infty$ (eller existerar ej)|
> |$\frac{0}{a}$ där $a \neq 0$|$0$|
> |$\frac{a}{\infty}$|$0$|
> |$0^\infty$|$0$|
> |$\infty^\infty$|$\infty$|
> |$\infty + \infty$|$\infty$|
---
## L'Hôpitals regel
> [!info]- SATS: L'Hôpitals regel
>
> Om $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ ger formen $\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$, och $g'(x) \neq 0$ nära $a$, då:
>
> $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
>
> **förutsatt att** högerledet existerar (eller är $\pm\infty$).
>
> Regeln gäller även för $x \to a^+$, $x \to a^-$, $x \to \infty$, $x \to -\infty$.
> [!warning]- Varningar om L'Hôpital
>
> 1. **Kontrollera formen först!** Regeln gäller ENDAST för $\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$
>
> 2. **Derivera täljare och nämnare separat** — använd INTE kvotregeln!
>
> 3. **Om högerledet inte existerar**, säger L'Hôpital ingenting om ursprungliga gränsvärdet
>
> 4. **Kan behöva upprepas** flera gånger
>
> [!tip]- Receptbok: L'Hôpitals regel
>
> **Steg 1:** Verifiera att formen är $\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$
>
> **Steg 2:** Derivera täljaren: $f'(x)$
>
> **Steg 3:** Derivera nämnaren: $g'(x)$
>
> **Steg 4:** Beräkna $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
>
> **Steg 5:** Om fortfarande obestämd form, upprepa
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (verifiering)
> >
> > **Form:** $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
> >
> > **Form:** $\frac{e^0 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital (1):** $= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$
> >
> > **Form:** Fortfarande $\frac{0}{0}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital (2):** $= \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$
> >
> > **Form:** $\frac{\infty}{\infty}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital (1):** $= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$
> >
> > **Form:** Fortfarande $\frac{\infty}{\infty}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital (2):** $= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$
> >
> > **Form:** $\frac{\infty}{\infty}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital:** $= \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
---
## Omskrivning av obestämda former
> [!tip]- Receptbok: Hantera $0 \cdot \infty$
>
> Skriv om till kvotform: $f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} = \frac{g(x)}{1/f(x)}$
>
> Välj den form som ger $\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
> >
> > **Form:** $0 \cdot (-\infty)$
> >
> > **Skriv om:** $x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$
> >
> > **Form:** $\frac{-\infty}{\infty}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital:** $= \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-x} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$
> [!tip]- Receptbok: Hantera $\infty - \infty$
>
> **Metod 1:** Förläng till gemensam nämnare
>
> **Metod 2:** Multiplicera med konjugat (för rotuttryck)
>
> **Metod 3:** Faktorisera
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$
> >
> > **Form:** $\infty - \infty$
> >
> > **Konjugatmetoden:** $= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$
> >
> > Dela med $x$: $= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)$
> >
> > **Form:** $\infty - \infty$
> >
> > **Gemensam nämnare:** $= \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$
> >
> > **Form:** $\frac{0}{0}$ ✓
> >
> > **L'Hôpital (1):** $= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x\cos x}$
> >
> > **Form:** Fortfarande $\frac{0}{0}$
> >
> > **L'Hôpital (2):** $= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x\sin x} = \frac{0}{2} = 0$
> [!tip]- Receptbok: Hantera $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$
>
> **Metod:** Ta logaritm, beräkna gränsvärdet, exponera tillbaka.
>
> Om $L = \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$, beräkna först: $\ln L = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)$
>
> Sedan: $L = e^{\ln L}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0^+} x^x$ (formen $0^0$)
> >
> > Låt $L = \lim_{x \to 0^+} x^x$
> >
> > $\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (beräknat tidigare)
> >
> > **Svar:** $L = e^0 = 1$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ (formen $\infty^0$)
> >
> > Låt $L = \lim_{x \to \infty} x^{1/x}$
> >
> > $\ln L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln x = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
> >
> > **Svar:** $L = e^0 = 1$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0^+} (1 + x)^{1/x}$ (formen $1^\infty$)
> >
> > Låt $L = \lim_{x \to 0^+} (1 + x)^{1/x}$
> >
> > $\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ (standardgränsvärde)
> >
> > **Svar:** $L = e^1 = e$
---
## Algebraiska tekniker
> [!tip]- Receptbok: Faktorisering för $\frac{0}{0}$
>
> Om $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, har både $f$ och $g$ faktorn $(x - a)$.
>
> **Metod:** Faktorisera och förkorta $(x - a)$.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
> >
> > **Form:** $\frac{0}{0}$
> >
> > **Faktorisera:** $= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$
> >
> > **Form:** $\frac{0}{0}$
> >
> > **Faktorisera:** $= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3$
> [!tip]- Receptbok: Konjugatmetoden
>
> För uttryck med rottecken, multiplicera med konjugatet.
>
> **Konjugat till $\sqrt{a} - \sqrt{b}$** är $\sqrt{a} + \sqrt{b}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$
> >
> > **Form:** $\frac{0}{0}$
> >
> > **Multiplicera med konjugat:** $= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{1 + x - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}$
> [!tip]- Receptbok: Variabelsubstitution
>
> Ibland förenklar en substitution beräkningen.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$
> >
> > **Substitution:** Låt $u = \sqrt[3]{x}$, så $x = u^3$ och $x \to 1 \Rightarrow u \to 1$
> >
> > $= \lim_{u \to 1} \frac{u - 1}{u^3 - 1} = \lim_{u \to 1} \frac{u - 1}{(u-1)(u^2 + u + 1)}$ $= \lim_{u \to 1} \frac{1}{u^2 + u + 1} = \frac{1}{3}$
---
# Del V: Kontinuitet
## Definition och egenskaper
> [!info]- Definition: Kontinuitet i en punkt
>
> En funktion $f$ är **kontinuerlig i punkten $a$** om:
>
> 1. $f(a)$ är definierad
> 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existerar
> 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
>
> **Kortform:** $f$ är kontinuerlig i $a$ om $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
> [!info]- Definition: Kontinuitet på ett intervall
>
> $f$ är **kontinuerlig på $[a, b]$** om:
>
> - $f$ är kontinuerlig i varje punkt i $(a, b)$
> - $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (högerkontinuerlig i $a$)
> - $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (vänsterkontinuerlig i $b$)
> [!info]- SATS: Kontinuerliga funktioner
>
> Följande funktioner är kontinuerliga på sina definitionsmängder:
>
> - Polynom
> - Rationella funktioner
> - Rotfunktioner
> - Trigonometriska funktioner
> - Exponentialfunktioner
> - Logaritmfunktioner
> - Inversa trigonometriska funktioner
> [!info]- SATS: Aritmetik för kontinuerliga funktioner
>
> Om $f$ och $g$ är kontinuerliga i $a$, så är även:
>
> - $f + g$ kontinuerlig i $a$
> - $f - g$ kontinuerlig i $a$
> - $f \cdot g$ kontinuerlig i $a$
> - $\frac{f}{g}$ kontinuerlig i $a$ (om $g(a) \neq 0$)
> - $f \circ g$ kontinuerlig i $a$ (om $g$ kontinuerlig i $a$ och $f$ kontinuerlig i $g(a)$)
---
## Diskontinuiteter
> [!info]- Definition: Typer av diskontinuiteter
>
> **Hävbar diskontinuitet (removable):**
>
> - $\lim_{x \to a} f(x)$ existerar
> - Men $f(a)$ är antingen odefinierad eller $\neq \lim_{x \to a} f(x)$
> - Kan "lagas" genom att omdefiniera $f(a)$
>
> **Hoppdiskontinuitet (jump):**
>
> - Båda ensidiga gränsvärdena existerar
> - Men $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$
>
> **Oändlig diskontinuitet (infinite):**
>
> - Minst ett av gränsvärdena är $\pm\infty$
>
> **Väsentlig diskontinuitet (essential):**
>
> - Gränsvärdet existerar inte av annan orsak (t.ex. oscillation)
> [!example]- Exempel: Hävbar diskontinuitet
>
> $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
>
> - Odefinierad för $x = 1$
> - Men $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$
>
> Om vi definierar $f(1) = 2$ blir funktionen kontinuerlig.
> [!example]- Exempel: Hoppdiskontinuitet
>
> $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \ x^2 & x \geq 0 \end{cases}$
>
> - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$
> - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
>
> Hoppdiskontinuitet i $x = 0$ (kan inte "lagas").
---
## Viktiga satser
> [!info]- SATS: Mellanvärdessatsen (IVT)
>
> Om $f$ är kontinuerlig på $[a, b]$ och $N$ är ett tal mellan $f(a)$ och $f(b)$, då finns minst ett $c \in (a, b)$ sådant att $f(c) = N$.
>
> **Speciellt:** Om $f(a)$ och $f(b)$ har olika tecken, finns minst ett nollställe i $(a, b)$.
>
> _bild på IVT_
> [!tip]- Receptbok: Visa existens av rot med IVT
>
> **Steg 1:** Identifiera funktionen $f$ vars nollställe söks
>
> **Steg 2:** Hitta $a$ och $b$ så att $f(a)$ och $f(b)$ har olika tecken
>
> **Steg 3:** Verifiera att $f$ är kontinuerlig på $[a, b]$
>
> **Steg 4:** Tillämpa IVT
>
> > [!example]- Exempel: Visa att $x^3 + x - 1 = 0$ har en rot i $(0, 1)$
> >
> > Låt $f(x) = x^3 + x - 1$
> >
> > - $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$
> > - $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$
> >
> > $f$ är ett polynom, alltså kontinuerlig.
> >
> > Enligt IVT finns $c \in (0, 1)$ med $f(c) = 0$.
> [!info]- SATS: Extremvärdessatsen
>
> Om $f$ är kontinuerlig på det slutna intervallet $[a, b]$, då antar $f$ ett största och ett minsta värde på $[a, b]$.
>
> Dvs. det finns $c, d \in [a, b]$ så att $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ för alla $x \in [a, b]$.
---
# Del VI: Följder och serier
## Gränsvärden för följder
> [!info]- Definition: Gränsvärde för följd
>
> En följd $(a_n)$ har gränsvärdet $L$ om: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$
>
> betyder att $a_n$ kan göras godtyckligt nära $L$ för tillräckligt stora $n$.
>
> **Formellt:** $\forall \varepsilon > 0 ; \exists N : n > N \implies |a_n - L| < \varepsilon$
>
> Om gränsvärdet existerar sägs följden vara **konvergent**, annars **divergent**.
> [!info]- SATS: Räkneregler för följder
>
> Om $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ och $\lim_{n \to \infty} b_n = M$:
>
> - $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = L + M$
> - $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$
> - $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$ (om $M \neq 0$)
> - $\lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = c \cdot L$
> [!info]- SATS: Standardgränsvärden för följder
>
> $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)$
>
> $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
>
> $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0)$
>
> $\lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)$
>
> $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
>
> $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$
> [!tip]- Receptbok: Gränsvärden för följder
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n + 2}{n^2 + 5}$
> >
> > Dela med $n^2$: $= \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} = \frac{3}{1} = 3$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n$
> >
> > $= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$
> >
> > Fakulteten växer snabbare än exponentialen:
> >
> > För $n \geq 4$: $\frac{2^n}{n!} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots} \leq \frac{16}{24} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-4} \to 0$
> >
> > **Svar:** $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0$
---
## Monotona och begränsade följder
> [!info]- Definition: Monoton följd
>
> En följd $(a_n)$ är:
>
> - **Växande** om $a_{n+1} \geq a_n$ för alla $n$
> - **Strängt växande** om $a_{n+1} > a_n$ för alla $n$
> - **Avtagande** om $a_{n+1} \leq a_n$ för alla $n$
> - **Strängt avtagande** om $a_{n+1} < a_n$ för alla $n$
> - **Monoton** om den är växande eller avtagande
> [!info]- Definition: Begränsad följd
>
> En följd $(a_n)$ är:
>
> - **Uppåt begränsad** om det finns $M$ med $a_n \leq M$ för alla $n$
> - **Nedåt begränsad** om det finns $m$ med $a_n \geq m$ för alla $n$
> - **Begränsad** om den är både uppåt och nedåt begränsad
> [!info]- SATS: Monotona konvergenssatsen
>
> En monoton och begränsad följd är konvergent.
>
> **Speciellt:**
>
> - Växande och uppåt begränsad $\Rightarrow$ konvergent mot supremum
> - Avtagande och nedåt begränsad $\Rightarrow$ konvergent mot infimum
> [!example]- Exempel: Visa att $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ konvergerar
>
> Man kan visa (med binomialutveckling) att:
>
> 1. Följden är strängt växande
> 2. Följden är uppåt begränsad av 3
>
> Alltså konvergerar den, och gränsvärdet är $e \approx 2.718$.
---
# Del VII: Asymptotisk analys (överkurs)
## Ordo-notation
> [!info]- Definition: Stora O
>
> $f(x) = O(g(x))$ när $x \to a$ om det finns $M > 0$ och $\delta > 0$ så att: $|f(x)| \leq M|g(x)| \quad \text{för } 0 < |x - a| < \delta$
>
> **Intuition:** $f$ växer högst lika snabbt som $g$.
> [!info]- Definition: Lilla o
>
> $f(x) = o(g(x))$ när $x \to a$ om: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
>
> **Intuition:** $f$ växer strikt långsammare än $g$.
>
> **Notation:** Man skriver ibland $f \ll g$ eller $f(x) \sim 0$ relativt $g$.
> [!info]- Definition: Asymptotisk likhet
>
> $f(x) \sim g(x)$ när $x \to a$ om: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$
>
> **Intuition:** $f$ och $g$ beter sig likadant för $x$ nära $a$.
> [!example]- Exempel på ordo-notation
>
> När $x \to 0$:
>
> - $\sin x = x + o(x)$ (ty $\frac{\sin x - x}{x} \to 0$)
> - $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
> - $\sin x \sim x$ (ty $\frac{\sin x}{x} \to 1$)
> - $1 - \cos x = O(x^2)$ (ty $\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$)
---
## Taylor-approximation för gränsvärden
> [!info]- SATS: Vanliga Taylor-utvecklingar vid $x = 0$
>
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
>
> $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
>
> $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
>
> $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$
>
> $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$
> [!tip]- Receptbok: Taylor för gränsvärden
>
> **Idé:** Ersätt funktioner med deras Taylor-utvecklingar och förenkla.
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
> >
> > Taylor: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$
> >
> > $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots = \frac{x^2}{2}(1 + \frac{x}{3} + \cdots)$
> >
> > $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}(1 + \frac{x}{3} + \cdots) \to \frac{1}{2}$
>
> > [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5}$
> >
> > Taylor: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$
> >
> > $\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \frac{x^5}{120} - \cdots$
> >
> > $\frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} = \frac{1}{120} + o(1) \to \frac{1}{120}$
---
# Del VIII: Sammanfattning
## Strategiguide
> [!tip]- Receptbok: Strategi för gränsvärdesberäkning
>
> **Steg 1: Prova direkt substitution**
>
> - Om du får ett definierat värde → klart!
> - Om du får obestämd form → fortsätt
>
> **Steg 2: Identifiera den obestämda formen**
>
> - $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$
>
> **Steg 3: Välj lämplig teknik**
>
> |Form|Tekniker|
> |:--|:--|
> |$\frac{0}{0}$|Faktorisering, konjugat, L'Hôpital, Taylor|
> |$\frac{\infty}{\infty}$|Bryt ut dominerande term, L'Hôpital|
> |$0 \cdot \infty$|Skriv om till kvot|
> |$\infty - \infty$|Gemensam nämnare, konjugat|
> |$0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$|Ta logaritm|
>
> **Steg 4: Kontrollera svaret**
>
> - Är det rimligt?
> - Stämmer det med en graf?
---
## Formelsamling
> [!warning]- Viktiga gränsvärden att memorera
>
> **Trigonometriska:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
>
> **Exponentiella:** $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$
>
> **Tillväxthierarki** (när $x \to \infty$): $\ln x \ll x^a \ll a^x \ll x! \ll x^x$ för $a > 1$
>
> **Gränsvärdeslagar:**
>
> - Summa, differens, produkt, kvot av gränsvärden
> - Sammansatta funktioner: $\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$
> - Instängningssatsen
> [!warning]- Vanliga misstag att undvika
>
> 1. **Använda L'Hôpital utan att kontrollera formen**
>
> 2. **Glömma att gränsvärdet inte beror på funktionsvärdet**
>
> - $\lim_{x \to a} f(x)$ handlar om beteendet _nära_ $a$, inte _i_ $a$
> 3. **Felaktig aritmetik med $\infty$**
>
> - $\infty - \infty \neq 0$ (obestämd!)
> - $\frac{\infty}{\infty} \neq 1$ (obestämd!)
> 4. **Glömma ensidiga gränsvärden**
>
> - $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ existerar inte (olika från vänster och höger)
> 5. **Blanda ihop $\lim$ och $=$**
>
> - Skriv $\lim$ tills du faktiskt beräknat gränsvärdet