> [!warning] Varning > Filen är dylik [[2025-09-12 Trigonometri - Regelöversikt|Trigonometri - Regelöversikt]] med följande förändringar av [Opus 4.5](https://platform.claude.com/docs/en/about-claude/models/whats-new-claude-4-5) > - Format anpassat för hemsidan ## Inledning Trigonometri handlar om relationer mellan vinklar och sidor i trianglar, samt de periodiska funktionerna sinus, cosinus och tangens. Dessa funktioner är fundamentala inom matematik, fysik, teknik och signalbehandling. > [!note]- Varför radianer? > > **Radianer** är det naturliga vinkelmåttet i matematik eftersom: > - Derivatorna blir enkla: $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ (gäller endast i radianer) > - Båglängden på enhetscirkeln = vinkeln i radianer > - Gränsvärdet $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (endast i radianer) > > **Omvandling:** > $\text{radianer} = \text{grader} \times \frac{\pi}{180°}$ > $\text{grader} = \text{radianer} \times \frac{180°}{\pi}$ > > | Grader | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° | > |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| > | Radianer | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | --- # Del I: Grundläggande begrepp ## Definitioner i rätvinklig triangel > [!info]- Definition: Trigonometriska funktioner > > För en vinkel $\theta$ i en **rätvinklig triangel**: > > $\sin \theta = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}$ > > $\cos \theta = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}$ > > $\tan \theta = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ > > *bild på rätvinklig triangel med markerade sidor* > > **Minnesregel (SOH-CAH-TOA):** > - **S**in = **O**pposite / **H**ypotenuse > - **C**os = **A**djacent / **H**ypotenuse > - **T**an = **O**pposite / **A**djacent > [!info]- Definition: Övriga trigonometriska funktioner > > De **reciproka funktionerna**: > > $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ > > $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ > > $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ > > **OBS:** Dessa används mindre i svenska kurser men är vanliga internationellt. --- ## Enhetscirkeln > [!info]- Definition: Enhetscirkeln > > **Enhetscirkeln** är cirkeln med radie 1 centrerad i origo. > > För en vinkel $\theta$ (mätt moturs från positiva x-axeln) gäller att punkten på enhetscirkeln har koordinaterna: > $(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$ > > Alltså: > - $\cos \theta$ = **x-koordinaten** > - $\sin \theta$ = **y-koordinaten** > - $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ > > *bild på enhetscirkeln med en vinkel θ markerad* > [!tip]- Receptbok: Avläsa värden från enhetscirkeln > > **Steg 1:** Identifiera vilken kvadrant vinkeln ligger i > > **Steg 2:** Bestäm referensvinkeln (vinkeln till närmaste x-axel) > > **Steg 3:** Använd kända värden för referensvinkeln > > **Steg 4:** Sätt rätt tecken baserat på kvadrant: > > | Kvadrant | x (cos) | y (sin) | tan | > |:---:|:---:|:---:|:---:| > | I (0° – 90°) | + | + | + | > | II (90° – 180°) | − | + | − | > | III (180° – 270°) | − | − | + | > | IV (270° – 360°) | + | − | − | > > **Minnesregel:** "**A**ll **S**tudents **T**ake **C**alculus" — i kvadrant I är Alla positiva, i II är Sin positiv, i III är Tan positiv, i IV är Cos positiv. > > > [!example]- Exempel: Bestäm $\sin(150°)$ > > > > **Steg 1:** $150°$ ligger i kvadrant II > > > > **Steg 2:** Referensvinkel = $180° - 150° = 30°$ > > > > **Steg 3:** $\sin(30°) = \frac{1}{2}$ > > > > **Steg 4:** I kvadrant II är sin positiv > > > > **Svar:** $\sin(150°) = \frac{1}{2}$ > > > [!example]- Exempel: Bestäm $\cos(225°)$ > > > > **Steg 1:** $225°$ ligger i kvadrant III > > > > **Steg 2:** Referensvinkel = $225° - 180° = 45°$ > > > > **Steg 3:** $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > > > > **Steg 4:** I kvadrant III är cos negativ > > > > **Svar:** $\cos(225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ > > > [!example]- Exempel: Bestäm $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ > > > > **Steg 1:** $\frac{5\pi}{3} = 300°$ ligger i kvadrant IV > > > > **Steg 2:** Referensvinkel = $360° - 300° = 60°$ > > > > **Steg 3:** $\tan(60°) = \sqrt{3}$ > > > > **Steg 4:** I kvadrant IV är tan negativ > > > > **Svar:** $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ --- ## Exakta värden för standardvinklar > [!info]- Tabell: Trigonometriska värden för standardvinklar > > **Första kvadranten (de viktigaste värdena att memorera):** > > | Vinkel | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | > |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| > | Radianer | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | > | $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | > | $\cos$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | > | $\tan$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | odef. | > > **Minnesregel för sinus:** Räkna $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ > > **Minnesregel för cosinus:** Samma som sinus men baklänges! > [!note]- Fullständig tabell (alla standardvinklar) > > | Vinkel | Rad | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | > |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| > | $0°$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | > | $30°$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | > | $45°$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | > | $60°$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | > | $90°$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | odef. | > | $120°$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ | > | $135°$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | > | $150°$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | > | $180°$ | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | > | $210°$ | $\frac{7\pi}{6}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | > | $225°$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | > | $240°$ | $\frac{4\pi}{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | > | $270°$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | odef. | > | $300°$ | $\frac{5\pi}{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ | > | $315°$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | > | $330°$ | $\frac{11\pi}{6}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | > | $360°$ | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | > [!success]- Härledning: Varför är $\sin(30°) = \frac{1}{2}$? > > Betrakta en **liksidig triangel** med sida 2. > > Dela den på mitten (höjden från en spets till motstående sida). Nu har vi en rätvinklig triangel med: > - Hypotenusa = 2 > - Ena kateten = 1 (halva basen) > - Andra kateten = $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ (Pythagoras) > - Vinklarna = 30°, 60°, 90° > > Alltså: > $\sin(30°) = \frac{\text{motstående}}{{\text{hypotenusa}}} = \frac{1}{2}$ > $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}$ > [!success]- Härledning: Varför är $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$? > > Betrakta en **likbent rätvinklig triangel** med kateter 1. > > - Hypotenusa = $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (Pythagoras) > - Vinklarna = 45°, 45°, 90° > > Alltså: > $\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ --- ## Periodicitet > [!info]- Definition: Period > > En funktion $f$ är **periodisk** med period $T$ om: > $f(x + T) = f(x) \quad \text{för alla } x$ > > **Standardperioder:** > > | Funktion | Period | > |:---:|:---:| > | $\sin x$ | $2\pi$ | > | $\cos x$ | $2\pi$ | > | $\tan x$ | $\pi$ | > | $\cot x$ | $\pi$ | > > **Periodicitetsregler:** > - $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ > - $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ > - $\tan(x + \pi) = \tan x$ > [!warning]- Vanligt misstag: Periodicitet > > Tangens har period $\pi$, **inte** $2\pi$! > > Det beror på att $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$ --- # Del II: Trigonometriska identiteter ## Pythagoreiska identiteter > [!info]- SATS: Pythagoreiska identiteter > > **Grundidentiteten:** > $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ > > **Härledda identiteter** (dividera med $\cos^2 x$ respektive $\sin^2 x$): > $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ > $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ > [!success]- Härledning: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ > > På enhetscirkeln är punkten $(\cos x, \sin x)$ på avståndet 1 från origo. > > Enligt Pythagoras sats: > $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1^2$ > $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ > [!tip]- Receptbok: Använd $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ > > Denna identitet används för att: > 1. **Skriva om uttryck:** $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ > 2. **Förenkla:** Ersätt $\sin^2 x + \cos^2 x$ med 1 > 3. **Lösa ekvationer:** Om du har både $\sin$ och $\cos$, skriv om allt i en funktion > > > [!example]- Exempel: Förenkla $\frac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ > > > > Använd $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$: > > > > $\frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1 + \cos x} = 1 - \cos x$ > > > [!example]- Exempel: Visa att $\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \sin^2 x$ > > > > **VL:** $\tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \sin^2 x \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)$ > > > > $= \sin^2 x \cdot \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x \cdot \tan^2 x$ = **HL** ✓ --- ## Symmetriegenskaper > [!info]- SATS: Jämna och udda funktioner > > **Udda funktioner** (symmetri kring origo): > - $\sin(-x) = -\sin x$ > - $\tan(-x) = -\tan x$ > - $\cot(-x) = -\cot x$ > - $\csc(-x) = -\csc x$ > > **Jämna funktioner** (symmetri kring y-axeln): > - $\cos(-x) = \cos x$ > - $\sec(-x) = \sec x$ > > **Minnesregel:** "co-funktioner" (cosinus, secans) är jämna. > [!success]- Härledning: Varför är sin udda och cos jämn? > > På enhetscirkeln motsvarar vinkeln $-x$ en reflektion i x-axeln. > > Om punkten för vinkel $x$ är $(\cos x, \sin x)$, > så är punkten för vinkel $-x$: $(\cos x, -\sin x)$ > > Alltså: $\cos(-x) = \cos x$ och $\sin(-x) = -\sin x$ > > *bild på enhetscirkel med x och -x markerade* --- ## Komplement- och supplementvinklar > [!info]- SATS: Komplementvinklar (summa = 90°) > > Två vinklar är **komplementära** om de summerar till $90°$ (eller $\frac{\pi}{2}$). > > $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ > $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ > $\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x$ > > **Minnesregel:** "co-" i cosinus står för "complement" — cosinus av en vinkel = sinus av komplementet. > [!info]- SATS: Supplementvinklar (summa = 180°) > > Två vinklar är **supplementära** om de summerar till $180°$ (eller $\pi$). > > $\sin(\pi - x) = \sin x$ > $\cos(\pi - x) = -\cos x$ > $\tan(\pi - x) = -\tan x$ > [!info]- SATS: Förskjutning med $\pi$ > > $\sin(x + \pi) = -\sin x$ > $\cos(x + \pi) = -\cos x$ > $\tan(x + \pi) = \tan x$ > [!info]- SATS: Förskjutning med $\frac{\pi}{2}$ > > $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$ > $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$ > [!tip]- Receptbok: Reducera till första kvadranten > > Varje vinkel kan reduceras till en **referensvinkel** i första kvadranten ($0$ till $\frac{\pi}{2}$): > > | Vinkel i... | Referensvinkel | sin | cos | tan | > |:---|:---:|:---:|:---:|:---:| > | Kv. I: $\theta$ | $\theta$ | $+\sin\theta$ | $+\cos\theta$ | $+\tan\theta$ | > | Kv. II: $\pi - \theta$ | $\theta$ | $+\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | > | Kv. III: $\pi + \theta$ | $\theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $+\tan\theta$ | > | Kv. IV: $2\pi - \theta$ | $\theta$ | $-\sin\theta$ | $+\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ > > > > $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ (kvadrant III) > > > > Referensvinkel: $\frac{\pi}{6}$ > > > > I kvadrant III är cos negativ: > > $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ --- # Del III: Additions- och transformationsformler ## Additionsformler > [!info]- SATS: Additionsformler > > **Sinus:** > $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ > $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ > > **Cosinus:** > $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ > $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ > > **Tangens:** > $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ > $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ > > **Minnesregel för tecken:** > - Sinus: "samma tecken" (+ + eller − −) > - Cosinus: "motsatt tecken" (+ blir −, − blir +) > [!success]- Härledning: $\cos(A - B)$ > > Betrakta två punkter på enhetscirkeln: > - $P = (\cos A, \sin A)$ för vinkel $A$ > - $Q = (\cos B, \sin B)$ för vinkel $B$ > > Avståndet mellan $P$ och $Q$ kan beräknas på två sätt: > > **Metod 1:** Avståndformeln > $|PQ|^2 = (\cos A - \cos B)^2 + (\sin A - \sin B)^2$ > $= \cos^2 A - 2\cos A\cos B + \cos^2 B + \sin^2 A - 2\sin A\sin B + \sin^2 B$ > $= 2 - 2(\cos A\cos B + \sin A\sin B)$ > > **Metod 2:** Samma avstånd, men rotera så att $Q$ hamnar på x-axeln > > Vinkeln mellan $P$ och $Q$ är $A - B$. Efter rotation: > - $Q' = (1, 0)$ > - $P' = (\cos(A-B), \sin(A-B))$ > > $|P'Q'|^2 = (\cos(A-B) - 1)^2 + \sin^2(A-B) = 2 - 2\cos(A-B)$ > > **Likställ:** > $2 - 2\cos(A-B) = 2 - 2(\cos A\cos B + \sin A\sin B)$ > $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$ > [!tip]- Receptbok: Additionsformler > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\sin(75°)$ exakt > > > > $75° = 45° + 30°$ > > > > $\sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$ > > $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\cos(15°)$ exakt > > > > $15° = 45° - 30°$ > > > > $\cos(15°) = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°$ > > $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ > > > [!example]- Exempel: Förenkla $\sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sin(x - \frac{\pi}{6})$ > > > > Använd additionsformlerna: > > > > $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$ > > > > $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x$ > > > > **Summa:** $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \sqrt{3}\sin x$ --- ## Dubbla vinkeln > [!info]- SATS: Formler för dubbla vinkeln > > **Sinus:** > $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ > > **Cosinus** (tre ekvivalenta former): > $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ > $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ > $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ > > **Tangens:** > $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$ > [!success]- Härledning: Dubbla vinkeln från additionsformler > > Sätt $A = B = x$ i additionsformlerna: > > **Sinus:** > $\sin 2x = \sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$ > > **Cosinus:** > $\cos 2x = \cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$ > > De alternativa formerna fås genom att använda $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: > - $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1$ > - $\cos^2 x - \sin^2 x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$ > [!tip]- Receptbok: Dubbla vinkeln > > **Användning:** > 1. Förenkla uttryck med $2x$ till uttryck med $x$ > 2. Skriv om $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ > 3. Lösa trigonometriska ekvationer > > > [!example]- Exempel: Förenkla $\sin x \cos x$ > > > > Från $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: > > $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ > > > [!example]- Exempel: Skriv $\cos^2 x$ utan kvadrat > > > > Från $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: > > $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ > > > [!example]- Exempel: Skriv $\sin^2 x$ utan kvadrat > > > > Från $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: > > $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ --- ## Halva vinkeln > [!info]- SATS: Formler för halva vinkeln > > $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$ > > $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ > > $\tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ > > **Med tecken:** > $\sin \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$ > $\cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$ > $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ > [!success]- Härledning: Halva vinkeln > > Från dubbla vinkelns formel $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$: > > Låt $2\theta = x$, alltså $\theta = \frac{x}{2}$: > $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$ > $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$ > > Analogt från $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$: > $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ > [!example]- Exempel: Beräkna $\sin(22.5°)$ exakt > > $22.5° = \frac{45°}{2}$ > > $\sin^2(22.5°) = \frac{1 - \cos 45°}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ > > $\sin(22.5°) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ > > (Positivt eftersom $22.5°$ är i första kvadranten) --- ## Trippelvinkeln > [!info]- SATS: Formler för trippla vinkeln > > $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ > $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ > $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ > [!success]- Härledning: $\sin 3x$ > > $\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$ > $= 2\sin x \cos x \cdot \cos x + (1 - 2\sin^2 x) \cdot \sin x$ > $= 2\sin x \cos^2 x + \sin x - 2\sin^3 x$ > $= 2\sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2\sin^3 x$ > $= 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x$ > $= 3\sin x - 4\sin^3 x$ --- ## Summa och produkt > [!info]- SATS: Summa till produkt > > $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ > $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ > $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ > $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ > [!info]- SATS: Produkt till summa > > $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ > $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ > $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ > $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ > [!tip]- Receptbok: Summa ↔ Produkt > > **Summa till produkt** används för att: > - Förenkla $\sin A + \sin B$ till en produkt > - Lösa ekvationer som $\sin 5x + \sin 3x = 0$ > > **Produkt till summa** används för att: > - Integrera produkter av trigonometriska funktioner > - Förenkla produkter till summor > > > [!example]- Exempel: Förenkla $\sin 5x + \sin 3x$ > > > > Använd summa till produkt med $A = 5x$, $B = 3x$: > > > > $\sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x + 3x}{2}\cos\frac{5x - 3x}{2} = 2\sin 4x \cos x$ > > > [!example]- Exempel: Skriv $\sin 3x \cos x$ som summa > > > > $\sin 3x \cos x = \frac{1}{2}[\sin(3x + x) + \sin(3x - x)] = \frac{1}{2}[\sin 4x + \sin 2x]$ > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\int \sin 5x \cos 3x \, dx$ > > > > Först: $\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin 8x + \sin 2x]$ > > > > Sedan: > > $\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2}\int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx$ > > $= \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 8x}{8} - \frac{\cos 2x}{2}\right) + C$ > > $= -\frac{\cos 8x}{16} - \frac{\cos 2x}{4} + C$ --- # Del IV: Trigonometriska funktioner och grafer ## Allmän form > [!info]- Definition: Allmän sinusfunktion > > Den allmänna formen för en sinusfunktion är: > $y = a\sin(bx + c) + d$ > > **Parametrar:** > > | Parameter | Betydelse | Formel | > |:---|:---|:---| > | $\|a\|$ | **Amplitud** | Avstånd från medelvärde till max/min | > | $\frac{2\pi}{\|b\|}$ | **Period** | Längden av en hel svängning | > | $-\frac{c}{b}$ | **Fasförskjutning** | Horisontell förskjutning | > | $d$ | **Vertikal förskjutning** | Medelvärdet av funktionen | > > *bild på sinuskurva med alla parametrar markerade* > [!tip]- Receptbok: Avläs parametrar från graf > > **Steg 1:** Hitta **amplituden** $|a|$ > $|a| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ > > **Steg 2:** Hitta **vertikal förskjutning** $d$ > $d = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ > > **Steg 3:** Hitta **perioden** $T$ och beräkna $|b|$ > $|b| = \frac{2\pi}{T}$ > > **Steg 4:** Hitta **fasförskjutningen** genom att se var funktionen börjar sin cykel > > > [!example]- Exempel: Bestäm funktionen från graf > > > > En sinuskurva har max = 5, min = 1, period = $\pi$, och passerar genom $(0, 3)$ på väg uppåt. > > > > **Amplitud:** $|a| = \frac{5-1}{2} = 2$ > > > > **Vertikal förskjutning:** $d = \frac{5+1}{2} = 3$ > > > > **Period:** $|b| = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ > > > > **Fasförskjutning:** Vid $x = 0$ är $y = d = 3$ (medelvärdet) och funktionen ökar. För $\sin$-funktionen sker detta vid $x = 0$ om det inte finns någon fasförskjutning. > > > > **Svar:** $y = 2\sin(2x) + 3$ > [!example]- Exempel: Analysera $y = 3\sin(2x - \frac{\pi}{4}) + 1$ > > Skriv om på standardform: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{8}\right)\right) + 1$ > > **Amplitud:** $|a| = 3$ > > **Period:** $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ > > **Fasförskjutning:** $\frac{\pi}{8}$ åt höger > > **Vertikal förskjutning:** $d = 1$ > > **Maxvärde:** $1 + 3 = 4$ > > **Minvärde:** $1 - 3 = -2$ --- ## Grafer och transformationer > [!note]- Grundgrafer > > **Sinus:** $y = \sin x$ > - Period: $2\pi$ > - Passerar genom origo > - Max vid $x = \frac{\pi}{2}$, min vid $x = \frac{3\pi}{2}$ > > **Cosinus:** $y = \cos x$ > - Period: $2\pi$ > - Max vid $x = 0$ > - Kan skrivas som $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ > > **Tangens:** $y = \tan x$ > - Period: $\pi$ > - Vertikala asymptoter vid $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$ > - Passerar genom origo > > *bild på alla tre grundgrafer* > [!info]- Samband mellan sin och cos > > $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ > $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ > > Cosinus är en "fasförskjuten sinus" — samma kurva, men förskjuten $\frac{\pi}{2}$ åt vänster. --- # Del V: Trigonometriska ekvationer ## Grundläggande ekvationer > [!info]- SATS: Allmänna lösningar > > **För $\sin x = a$** (där $|a| \leq 1$): > $x = \arcsin a + 2\pi k \quad \text{eller} \quad x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$ > > där $k \in \mathbb{Z}$ (heltal). > > **För $\cos x = a$** (där $|a| \leq 1$): > $x = \pm\arccos a + 2\pi k$ > > **För $\tan x = a$** (för alla $a \in \mathbb{R}$): > $x = \arctan a + \pi k$ > [!tip]- Receptbok: Lös trigonometriska ekvationer > > **Steg 1:** Isolera den trigonometriska funktionen > > **Steg 2:** Hitta **en** lösning (baslösning) med arcus-funktion > > **Steg 3:** Hitta **alla** lösningar i en period > > **Steg 4:** Lägg till periodicitet ($+ 2\pi k$ eller $+ \pi k$) > > **Steg 5:** Om intervall ges, sätt in värden på $k$ för att hitta alla lösningar > > > [!example]- Exempel: Lös $\sin x = \frac{1}{2}$ > > > > **Steg 2:** Baslösning: $x = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ > > > > **Steg 3:** Andra lösningen i $[0, 2\pi]$: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ > > > > **Steg 4:** Allmän lösning: > > $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ > > > [!example]- Exempel: Lös $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ > > > > **Steg 2:** $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$ > > > > **Steg 4:** Allmän lösning: > > $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \begin{cases} \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \\ \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \end{cases}$ > > > [!example]- Exempel: Lös $\tan x = 1$ > > > > **Steg 2:** $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ > > > > **Steg 4:** Allmän lösning (tangens har period $\pi$): > > $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ > > > [!example]- Exempel: Lös $\sin x = \frac{1}{2}$ för $x \in [0, 2\pi]$ > > > > Från tidigare: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ eller $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ > > > > **För $k = 0$:** $x = \frac{\pi}{6}$ och $x = \frac{5\pi}{6}$ — båda i $[0, 2\pi]$ ✓ > > > > **För $k = 1$:** $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi > 2\pi$ — utanför ✗ > > > > **Svar:** $x = \frac{\pi}{6}$ och $x = \frac{5\pi}{6}$ --- ## Ekvationer med sammansatt argument > [!tip]- Receptbok: Ekvationer av typen $\sin(ax + b) = c$ > > **Steg 1:** Sätt $u = ax + b$ > > **Steg 2:** Lös $\sin u = c$ för att få $u = \ldots$ > > **Steg 3:** Lös för $x$: $ax + b = u \implies x = \frac{u - b}{a}$ > > > [!example]- Exempel: Lös $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ för $x \in [0, \pi]$ > > > > **Steg 1:** Sätt $u = 2x - \frac{\pi}{3}$ > > > > **Steg 2:** $\sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ > > $u = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ > > > > **Steg 3:** $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ > > > > $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ > > > > **I intervallet $[0, \pi]$:** > > - $x = \frac{\pi}{3}$ ($k = 0$) ✓ > > - $x = \frac{\pi}{2}$ ($k = 0$) ✓ > > > > **Svar:** $x = \frac{\pi}{3}$ och $x = \frac{\pi}{2}$ --- ## Ekvationer med flera termer > [!tip]- Receptbok: Andragradsekvationer i trig > > Ekvationer som $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$: > > **Steg 1:** Substituera $t = \sin x$ > > **Steg 2:** Lös andragradsekvationen $at^2 + bt + c = 0$ > > **Steg 3:** För varje rot $t_i$ med $|t_i| \leq 1$, lös $\sin x = t_i$ > > > [!example]- Exempel: Lös $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ > > > > **Steg 1:** Sätt $t = \sin x$ > > > > **Steg 2:** $2t^2 - 3t + 1 = 0$ > > > > $(2t - 1)(t - 1) = 0 \implies t = \frac{1}{2}$ eller $t = 1$ > > > > **Steg 3:** > > - $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ eller $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ > > - $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ > [!tip]- Receptbok: Ekvationer med sin och cos > > **Metod 1:** Använd $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ för att skriva allt i en funktion > > **Metod 2:** Dela med $\cos x$ (eller $\cos^2 x$) för att få tangens > > **Metod 3:** Skriv på formen $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \phi)$ > > > [!example]- Exempel: Lös $\sin x + \cos x = 1$ > > > > **Metod 3:** Skriv $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ > > > > (Ty: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin x + \cos x$) > > > > Ekvationen blir: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ > > > > $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ > > > > $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ eller $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ > > > > **Svar:** $x = 2\pi k$ eller $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ > [!info]- SATS: Skriv $a\sin x + b\cos x$ på sinusform > > $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \phi)$ > > där: > $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ > $\tan \phi = \frac{b}{a}$ > > Alternativt på cosinusform: > $a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \psi)$ > > där $\tan \psi = \frac{a}{b}$ > [!example]- Exempel: Skriv $3\sin x + 4\cos x$ på sinusform > > $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ > > $\tan \phi = \frac{4}{3} \implies \phi = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13°$ > > **Svar:** $3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \arctan\frac{4}{3})$ --- # Del VI: Inversa trigonometriska funktioner ## Definitioner och egenskaper > [!info]- Definition: Arcussinus > > $y = \arcsin x \iff x = \sin y, \quad y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ > > **Definitionsmängd:** $D_{\arcsin} = [-1, 1]$ > > **Värdemängd:** $V_{\arcsin} = \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ > > **Kancelleringslagar:** > - $\sin(\arcsin x) = x$ för $x \in [-1, 1]$ > - $\arcsin(\sin x) = x$ för $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ > > *bild på graf av arcsin* > [!info]- Definition: Arcuscosinus > > $y = \arccos x \iff x = \cos y, \quad y \in [0, \pi]$ > > **Definitionsmängd:** $D_{\arccos} = [-1, 1]$ > > **Värdemängd:** $V_{\arccos} = [0, \pi]$ > > **Kancelleringslagar:** > - $\cos(\arccos x) = x$ för $x \in [-1, 1]$ > - $\arccos(\cos x) = x$ för $x \in [0, \pi]$ > > *bild på graf av arccos* > [!info]- Definition: Arcustangens > > $y = \arctan x \iff x = \tan y, \quad y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ > > **Definitionsmängd:** $D_{\arctan} = \mathbb{R}$ > > **Värdemängd:** $V_{\arctan} = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ > > **Kancelleringslagar:** > - $\tan(\arctan x) = x$ för alla $x \in \mathbb{R}$ > - $\arctan(\tan x) = x$ för $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ > > **Horisontella asymptoter:** > - $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$ > - $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$ > > *bild på graf av arctan* --- ## Viktiga samband > [!info]- SATS: Samband mellan arcusfunktioner > > **Komplementsamband:** > $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]$ > > **Negativa argument:** > - $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (udda funktion) > - $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ > - $\arctan(-x) = -\arctan x$ (udda funktion) > > **Samband med tangens:** > $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & x > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x < 0 \end{cases}$ > [!tip]- Receptbok: Beräkna sammansatta uttryck > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\sin(\arccos \frac{3}{5})$ > > > > Låt $\theta = \arccos \frac{3}{5}$. Då är $\cos \theta = \frac{3}{5}$ och $\theta \in [0, \pi]$. > > > > Använd $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: > > $\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ > > $\sin \theta = \frac{4}{5}$ > > (positivt eftersom $\theta \in [0, \pi]$) > > > [!example]- Exempel: Beräkna $\cos(\arctan 2)$ > > > > Låt $\theta = \arctan 2$. Då är $\tan \theta = 2$ och $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. > > > > Rita en rätvinklig triangel med motstående katet 2 och närliggande katet 1. > > > > Hypotenusa: $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ > > > > $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ > > > [!example]- Exempel: Förenkla $\tan(\arcsin x)$ för $|x| < 1$ > > > > Låt $\theta = \arcsin x$. Då är $\sin \theta = x$. > > > > $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ (positivt ty $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) > > > > $\tan(\arcsin x) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ --- # Del VII: Triangelsatser ## Sinussatsen > [!info]- SATS: Sinussatsen > > I en triangel med sidor $a, b, c$ motstående vinklarna $A, B, C$: > $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ > > där $R$ är radien av den omskrivna cirkeln. > > *bild på triangel med sidor och vinklar markerade* > [!tip]- Receptbok: Sinussatsen > > **Användning:** > - Givet två vinklar och en sida → hitta övriga sidor > - Givet två sidor och en motstående vinkel → hitta den andra motstående vinkeln > > > [!warning] OBS: Tvetydigt fall (SSA) > > Om du har två sidor och en vinkel som INTE ligger mellan dem, kan det finnas 0, 1 eller 2 lösningar! > > > [!example]- Exempel: Givet $A = 30°$, $B = 45°$, $a = 10$. Hitta $b$. > > > > $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ > > $\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$ > > $\frac{10}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ > > $b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ --- ## Cosinussatsen > [!info]- SATS: Cosinussatsen > > I en triangel med sidor $a, b, c$ motstående vinklarna $A, B, C$: > $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ > $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ > $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ > > **OBS:** Om $A = 90°$ blir detta Pythagoras sats! > [!success]- Härledning: Cosinussatsen > > Placera triangeln i ett koordinatsystem med $C$ i origo och $B$ på positiva x-axeln. > > - $C = (0, 0)$ > - $B = (a, 0)$ > - $A = (b\cos C, b\sin C)$ > > Avståndet från $A$ till $B$ är sidan $c$: > $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$ > $= b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ > $= b^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + a^2 - 2ab\cos C$ > $= a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ > [!tip]- Receptbok: Cosinussatsen > > **Användning:** > - Givet tre sidor → hitta en vinkel > - Givet två sidor och vinkeln mellan dem → hitta tredje sidan > > > [!example]- Exempel: Givet $a = 7$, $b = 5$, $C = 60°$. Hitta $c$. > > > > $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ > > $= 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60°$ > > $= 74 - 70 \cdot 0.5 = 74 - 35 = 39$ > > $c = \sqrt{39} \approx 6.24$ > > > [!example]- Exempel: Givet $a = 8$, $b = 6$, $c = 10$. Hitta $C$. > > > > $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ > > $100 = 64 + 36 - 96\cos C$ > > $100 = 100 - 96\cos C$ > > $\cos C = 0 \implies C = 90°$ > > > > (Det är en rätvinklig triangel!) --- ## Areasatser > [!info]- SATS: Arean av en triangel > > **Med två sidor och mellanliggande vinkel:** > $A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$ > > **Herons formel** (med tre sidor): > $s = \frac{a + b + c}{2}$ (halva omkretsen) > $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ > [!success]- Härledning: $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ > > Arean av en triangel är $\frac{1}{2} \times \text{bas} \times \text{höjd}$. > > Med bas $= a$ och höjd $h$ från $A$ ner till sidan $a$: > $h = b\sin C$ > > Alltså: > $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\sin C$ > [!example]- Exempel: Beräkna arean med Herons formel > > Triangel med sidor $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$. > > $s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ > > $A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14.7$ --- # Del VIII: Derivator och integraler ## Derivator av trigonometriska funktioner > [!info]- SATS: Derivator > > **Grundfunktioner:** > > | $f(x)$ | $f'(x)$ | > |:---:|:---:| > | $\sin x$ | $\cos x$ | > | $\cos x$ | $-\sin x$ | > | $\tan x$ | $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ | > | $\cot x$ | $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ | > | $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | > | $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | > > **Minnesregel:** Derivatan av "co-funktioner" har minustecken. > [!success]- Härledning: $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ > > Använd definitionen av derivata: > $\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ > > Använd additionsformeln: $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ > $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$ > $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$ > $= \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$ > > Med standardgränsvärden $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ och $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$: > $= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$ > [!success]- Härledning: $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$ > > Använd kvotregeln med $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: > $\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$ > $= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ --- ## Derivator av inversa trigonometriska funktioner > [!info]- SATS: Derivator av arcusfunktioner > > | $f(x)$ | $f'(x)$ | Villkor | > |:---:|:---:|:---:| > | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\|x\| < 1$ | > | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\|x\| < 1$ | > | $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | $x \in \mathbb{R}$ | > [!success]- Härledning: $\frac{d}{dx}\arcsin x$ > > Låt $y = \arcsin x$, dvs. $\sin y = x$ och $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. > > Implicit derivering: $\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$ > > $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$ > > Men $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ (positivt eftersom $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) > > $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ > [!tip]- Receptbok: Derivator med sammansatta argument > > **Kedjeregeln:** > $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'$ > $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{u'}{1 + u^2}$ > > > [!example]- Exempel: Derivera $\sin(3x^2)$ > > > > $\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$ > > > [!example]- Exempel: Derivera $\arctan(e^x)$ > > > > $\frac{d}{dx}\arctan(e^x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ --- ## Integraler av trigonometriska funktioner > [!info]- SATS: Grundläggande integraler > > | Integral | Resultat | > |:---:|:---:| > | $\int \sin x \, dx$ | $-\cos x + C$ | > | $\int \cos x \, dx$ | $\sin x + C$ | > | $\int \tan x \, dx$ | $-\ln\|\cos x\| + C$ | > | $\int \cot x \, dx$ | $\ln\|\sin x\| + C$ | > | $\int \sec^2 x \, dx$ | $\tan x + C$ | > | $\int \csc^2 x \, dx$ | $-\cot x + C$ | > | $\int \sec x \tan x \, dx$ | $\sec x + C$ | > | $\int \csc x \cot x \, dx$ | $-\csc x + C$ | > [!info]- SATS: Speciella integraler (ger arcusfunktioner) > > $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$ > > $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$ > > **Generaliserat:** > $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ > > $\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$ > [!tip]- Receptbok: Integraler av $\sin^n x$ och $\cos^n x$ > > **För udda potenser:** Bryt ut en faktor och använd $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ > > **För jämna potenser:** Använd halvvinkelformler: > $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ > > > [!example]- Exempel: $\int \sin^3 x \, dx$ > > > > $\int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$ > > > > Substituera $u = \cos x$, $du = -\sin x \, dx$: > > $= -\int (1 - u^2) \, du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ > > > [!example]- Exempel: $\int \cos^2 x \, dx$ > > > > $\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$ > > $= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$ > > > [!example]- Exempel: $\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$ > > > > Udda potens på cos, så bryt ut $\cos x$: > > $= \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx$ > > > > Substituera $u = \sin x$, $du = \cos x \, dx$: > > $= \int u^2 (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C$ > > $= \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$ > [!tip]- Receptbok: Trigonometrisk substitution > > | Uttryck | Substitution | Identitet | > |:---:|:---:|:---:| > | $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ | > | $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | > | $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ | > > > [!example]- Exempel: $\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$ > > > > Substituera $x = 2\sin\theta$, $dx = 2\cos\theta \, d\theta$ > > > > $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ > > > > $\int \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} \, d\theta = \int d\theta = \theta + C = \arcsin\frac{x}{2} + C$ > > > [!example]- Exempel: $\int \frac{x^2}{\sqrt{9+x^2}} \, dx$ > > > > Substituera $x = 3\tan\theta$, $dx = 3\sec^2\theta \, d\theta$ > > > > $\sqrt{9 + x^2} = \sqrt{9 + 9\tan^2\theta} = 3\sec\theta$ > > > > $\int \frac{9\tan^2\theta \cdot 3\sec^2\theta}{3\sec\theta} \, d\theta = 9\int \tan^2\theta \sec\theta \, d\theta$ > > > > $= 9\int (\sec^2\theta - 1)\sec\theta \, d\theta = 9\int (\sec^3\theta - \sec\theta) \, d\theta$ > > > > (Fortsättning kräver integralen av $\sec^3\theta$...) --- ## Sammanfattning: Viktiga formler > [!warning]- Formler att memorera > > **Pythagoreiska:** > - $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ > > **Dubbla vinkeln:** > - $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ > - $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ > > **Addition:** > - $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ > - $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ > > **Derivator:** > - $(\sin x)' = \cos x$ > - $(\cos x)' = -\sin x$ > - $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ > - $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ > - $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$ > > **Triangelsatser:** > - $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ > - $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ > - $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C$