# Rotationsyta ## Definition En **rotationsyta** är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en rät linje (axel) i samma plan som kurvan. **Exempel på rotationsytor:** - En **sfär** uppkommer om en halvcirkel roterar kring sin diameter - En **cylinder** uppkommer om en rät linje roterar kring en parallell axel - En **kon** uppkommer om en rät linje roterar kring en axel den skär - En **torus** (munkring) uppkommer om en cirkel roterar kring en axel utanför cirkeln --- ## Formel för rotationsarea ### Rotation kring x-axeln Om kurvan $y = f(x)$ roterar kring x-axeln i intervallet $[a, b]$: $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ ### Rotation kring y-axeln Om kurvan $x = g(y)$ roterar kring y-axeln i intervallet $[c, d]$: $A = 2\pi \int_c^d |g(y)| \sqrt{1 + [g'(y)]^2} , dy$ ### Rotation kring godtycklig linje $y = c$ $A = 2\pi \int_a^b |f(x) - c| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ > [!info] Formelns struktur $A = 2\pi \int (\text{radie}) \times (\text{bågelement}) = 2\pi \int r , ds$ > > - **Radie** $r = |f(x)|$ — avståndet från kurvan till rotationsaxeln > - **Bågelement** $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ — kurvans längdelement --- ## Härledning 1. **Dela upp kurvan** i små bågelement med längd $\Delta s$ 2. **Varje bågelement** bildar vid rotation en tunn cylindermantel 3. **Mantelarean** av en cylinder är $A = 2\pi r h$ (omkrets × höjd) 4. **För ett bågelement:** radien är $|f(x)|$ och "höjden" är $\Delta s$: $\Delta A = 2\pi |f(x)| \cdot \Delta s$ 5. **Bågelementets längd** (från Pythagoras sats): $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 6. **Integration** ger totala arean: $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ --- ## Exempel ### Exempel 1: Sfärens yta Beräkna ytan av en sfär med radie $R$ genom att rotera halvcirkeln $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ kring x-axeln. > [!example]- Lösning > > **Derivatan:** $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ > > **Beräkna** $1 + [f'(x)]^2$: $1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2 - x^2 + x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$ > > **Rotfaktorn:** $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ > > **Integralen:** $A = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} , dx = 2\pi \int_{-R}^{R} R , dx$ > > $= 2\pi R \cdot 2R = \boxed{4\pi R^2}$ --- ### Exempel 2: Rotation av $y = x^3$ Beräkna rotationsytan då $y = x^3$ roterar kring x-axeln för $x \in [0, 1]$. > [!example]- Lösning > > Vi har $f(x) = x^3$, så $f'(x) = 3x^2$. > > $A = 2\pi \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + 9x^4} , dx$ > > **Substitution:** $u = 1 + 9x^4 \Rightarrow du = 36x^3 , dx$ > > Gränser: $x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = 1 \Rightarrow u = 10$ > > $A = 2\pi \cdot \frac{1}{36} \int_1^{10} \sqrt{u} , du = \frac{\pi}{18} \left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^{10}$ > > $= \frac{\pi}{27} \left(10\sqrt{10} - 1\right) \approx 3.56$ --- ### Exempel 3: Konens mantelarea Rotera linjen $y = \frac{r}{h}x$ kring x-axeln för $x \in [0, h]$. > [!example]- Lösning > > **Derivatan:** $f'(x) = \frac{r}{h}$ (konstant) > > $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \sqrt{1 + \frac{r^2}{h^2}} = \frac{\sqrt{h^2 + r^2}}{h} = \frac{s}{h}$ > > där $s = \sqrt{h^2 + r^2}$ är konens **sidhöjd**. > > $A = 2\pi \int_0^h \frac{r}{h}x \cdot \frac{s}{h} , dx = \frac{2\pi rs}{h^2} \cdot \frac{h^2}{2} = \boxed{\pi r s}$ --- ## Pappos-Guldins regel > [!abstract] Pappos-Guldins regel för area > Om en kurva med båglängd $s$ roterar kring en axel, ges rotationsarean av: $A = 2\pi \bar{r} \cdot s$ där $\bar{r}$ är avståndet från kurvans **tyngdpunkt** till rotationsaxeln. > [!example]- Exempel: Torusens yta > > En cirkel med radie $a$ roterar kring en axel på avstånd $R$ från cirkelns centrum. > > - Båglängd: $s = 2\pi a$ > - Tyngdpunktens avstånd: $\bar{r} = R$ > > $A = 2\pi R \cdot 2\pi a = 4\pi^2 R a$ --- ## Sammanfattning |Rotation kring|Formel| |:--|:--| |x-axeln|$A = 2\pi \int_a^b \|f(x)\| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$| |y-axeln|$A = 2\pi \int_c^d \|g(y)\| \sqrt{1 + [g'(y)]^2} , dy$| |Pappos-Guldin|$A = 2\pi \bar{r} \cdot s$| --- ## Viktiga ytor |Kropp|Mantelarea| |:--|:-:| |Sfär|$4\pi R^2$| |Cylinder|$2\pi r h$| |Kon|$\pi r \sqrt{r^2 + h^2}$| |Torus|$4\pi^2 R r$| --- ## Se även - [[Rotationsvolym]] - [[Båglängd]]