## Vad är en rotationsvolym? När ett område i planet **roterar** kring en axel skapas en tredimensionell kropp. Volymen av denna kropp kallas **rotationsvolym**. ![[rotvolym_intro.png|600]] --- ## De två metoderna ### Skivmetoden Tänk dig att kroppen byggs upp av tunna cirkulära **skivor** (som en hög med mynt). ![[rotvolym_skivmetoden.png|550]] > [!abstract] Skivmetodens formel $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$ > > **Motivering:** Varje skiva har: > > - Radie $r = f(x)$ > - Area $A = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2$ > - Tjocklek $dx$ > - Volym $dV = \pi [f(x)]^2 , dx$ > > Totala volymen fås genom att summera (integrera) alla skivor. --- ### Skalmetoden Tänk dig cylindriska **skal** (rör) som sitter inuti varandra, som ryska dockor. ![[rotvolym_skalmetoden.png|500]] > [!abstract] Skalmetodens formel $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) , dx$ > > **Motivering:** Varje cylindriskt skal har: > > - Radie $x$ (avstånd till rotationsaxeln) > - Höjd $f(x)$ > - Tjocklek $dx$ > - Omkrets $2\pi x$ > - Volym $dV = 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$ (uppvikt till rektangel) > > Totala volymen fås genom att summera alla skal. --- ## Snabbguide — Metodval |Situation|Metod|Formel| |:--|:--|:--| |Rotation kring **x-axeln**|Skivmetoden|$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$| |Rotation kring **y-axeln**|Skalmetoden|$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) , dx$| |**Mellan två kurvor**|Skivmetoden|$V = \pi \int_a^b ([f]^2 - [g]^2) , dx$| > [!tip] Tumregel > > - **Skivmetoden:** Integrerar vinkelrätt mot rotationsaxeln > - **Skalmetoden:** Integrerar parallellt med rotationsaxeln --- ## Klassiska exempel ### 1. Sfären Rotera halvcirkeln $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ kring x-axeln. ![[rotvolym_sfar.png|400]] > [!example]- Beräkning > > $V = \pi \int_{-R}^{R} (\sqrt{R^2 - x^2})^2 , dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) , dx$ > > $= \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R}$ > > $= \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right]$ > > $= \pi \left[\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right] = \boxed{\frac{4\pi R^3}{3}}$ --- ### 2. Konen Rotera linjen $y = \frac{r}{h}x$ kring x-axeln, för $0 \leq x \leq h$. ![[rotvolym_kon.png|500]] > [!example]- Beräkning > > $V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \int_0^h x^2 , dx$ > > $= \frac{\pi r^2}{h^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \boxed{\frac{\pi r^2 h}{3}}$ > > **Observation:** Konens volym är exakt $\frac{1}{3}$ av cylinderns volym med samma bas och höjd! --- ### 3. Torusen (munkringen) Rotera en cirkel med radie $r$ kring en axel på avstånd $R$ (där $R > r$). ![[rotvolym_torus.png|600]] > [!example]- Beräkning (med Pappus sats) > > Cirkelns area: $A = \pi r^2$ > > Avstånd från cirkelns centrum till rotationsaxeln: $R$ > > Enligt **Pappus sats**: $V = A \cdot 2\pi R = \pi r^2 \cdot 2\pi R = \boxed{2\pi^2 R r^2}$ --- ## Inspirerande exempel ### 4. Vinglaset Rotera kurvan $y = x^2$ för $0 \leq x \leq 2$ kring y-axeln. ![[rotvolym_vinglas.png|400]] > [!example]- Beräkning med skalmetoden > > Vi roterar kring y-axeln, så vi använder **skalmetoden**: > > $V = 2\pi \int_0^2 x \cdot f(x) , dx = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 , dx$ > > $= 2\pi \int_0^2 x^3 , dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = \boxed{8\pi}$ --- ### 5. Gabriels horn — Det omöjliga hornet > [!quote] Paradoxen _"Kan fyllas med färg men aldrig målas!"_ > > Gabriels horn har **ändlig volym** men **oändlig yta**. Rotera $y = \frac{1}{x}$ för $x \geq 1$ kring x-axeln. ![[rotvolym_gabriel.png|550]] > [!example]- Beräkning > > **Volymen:** $V = \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx = \pi \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} = \pi(0 - (-1)) = \boxed{\pi}$ > > **Ytan (rotationsyta):** $A = 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} , dx > 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} , dx = \infty$ > > **Paradoxen:** Du kan fylla hornet med $\pi$ kubikenheter färg, men du kan aldrig måla hela insidan — den har oändlig area! --- ### 6. Sinusvågen Rotera $y = \sin(x) + 1.5$ för $0 \leq x \leq 2\pi$ kring x-axeln. ![[rotvolym_sinus.png|550]] > [!example]- Beräkning (skiss) > > $V = \pi \int_0^{2\pi} (\sin x + 1.5)^2 , dx$ > > Expandera: $(\sin x + 1.5)^2 = \sin^2 x + 3\sin x + 2.25$ > > Använd $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: > > $V = \pi \int_0^{2\pi} \left(\frac{1 - \cos 2x}{2} + 3\sin x + 2.25\right) dx$ > > Efter integration: $V = \pi \cdot 2\pi \cdot 2.75 = 5.5\pi^2$ --- ## Område mellan två kurvor När området **mellan** två funktioner $f(x)$ och $g(x)$ (där $f(x) > g(x)$) roterar kring x-axeln, får vi en kropp med ett hål i mitten. ![[rotvolym_mellan_kurvor.png|500]] > [!abstract] Formel för ring-tvärsnitt $V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$ > > **Tolkning:** Vi subtraherar den inre volymen från den yttre. > [!example]- Exempel: Rotera området mellan $y = x$ och $y = x^2$ kring x-axeln > > Skärningspunkter: $x = x^2 \Rightarrow x = 0$ och $x = 1$ > > För $0 < x < 1$ gäller $x > x^2$, så $f(x) = x$ och $g(x) = x^2$. > > $V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) , dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$ --- ## Sammanfattning ![[rotvolym_sammanfattning.png|600]] > [!tip] Minnestips > > - **Skivmetoden:** Tänk "pizza" — cirkulära skivor staplade på varandra > - **Skalmetoden:** Tänk "lök" — cylindriska skal inuti varandra > [!quote] _"Integralen summerar oändligt många infinitesimala volymelement till en exakt volym"_ --- ## Viktiga formler |Kropp|Formel| |:--|:-:| |Sfär|$V = \frac{4\pi R^3}{3}$| |Kon|$V = \frac{\pi r^2 h}{3}$| |Cylinder|$V = \pi r^2 h$| |Torus|$V = 2\pi^2 R r^2$| --- ## Se även - [[Rotationsyta]] - [[Båglängd]] - [[Analysens fundamentalsats]] - [[Integraler]]