## Multiplikation och division i polär form Låt två komplexa tal vara givna på polär form: $z_1 = |z_1|(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ $z_2 = |z_2|(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$ ### Multiplikation $z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|\left(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\right)$ **Regel:** Absolutbeloppen multipliceras, argumenten adderas. ### Division $\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}\left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right)$ **Regel:** Absolutbeloppen divideras, argumenten subtraheras. --- ## Argument för potenser och inverser Om $\arg(z) = \varphi$, vad är då argumentet för $z^2$ och $\frac{1}{z}$? ### Argument för $z^2$ Från multiplikationsregeln med $z_1 = z_2 = z$: $\arg(z^2) = \arg(z \cdot z) = \arg(z) + \arg(z) = 2\varphi$ ### Argument för $\frac{1}{z}$ Från divisionsregeln med $z_1 = 1$ (som har $\arg(1) = 0$): $\arg\left(\frac{1}{z}\right) = \arg(1) - \arg(z) = 0 - \varphi = -\varphi$ **Generellt:** - $\arg(z^n) = n\varphi$ - $\arg\left(\frac{1}{z}\right) = -\varphi$ --- ## De Moivres formel ### Sats (de Moivre) För alla heltal $n$ gäller: $\boxed{(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)}$ Med absolutbelopp: $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ ### Exempel: Beräkna $(\sqrt{3} + i)^{18}$ #### Metod 1: Direkt med de Moivre **Steg 1:** Skriv på polär form. Absolutbelopp: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ Argument (första kvadranten): $\varphi = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ Alltså: $\sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ **Steg 2:** Använd de Moivres formel. $(\sqrt{3} + i)^{18} = 2^{18}\left(\cos\frac{18\pi}{6} + i\sin\frac{18\pi}{6}\right)$ $= 2^{18}(\cos 3\pi + i\sin 3\pi)$ $= 2^{18}(\cos\pi + i\sin\pi) = 2^{18}(-1 + 0) = \boxed{-2^{18} = -262144}$ #### Metod 2: Utan de Moivre (ineffektivt!) Man skulle behöva multiplicera ut $(\sqrt{3} + i)^{18}$ med binomialutveckling — extremt jobbigt. De Moivre är mycket smidigare! --- ## Hur man bildar polär form Givet $z = a + bi$, gör så här: **Steg 1:** Beräkna absolutbeloppet $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ **Steg 2:** Bestäm argumentet $\varphi$ beroende på kvadrant: |Kvadrant|Tecken $(a, b)$|Argument $\varphi$| |---|---|---| |I|$(+, +)$|$\arctan(b/a)$| |II|$(-, +)$|$\pi - \arctan(b/|a|)$ eller $\arctan(b/a) + \pi$| |III|$(-, -)$|$-\pi + \arctan(b/a)$ eller $\arctan(b/a) - \pi$| |IV|$(+, -)$|$-\arctan(|b|/a)$ eller $\arctan(b/a)$| **Steg 3:** Skriv $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ --- ## Trigonometriska identiteter via de Moivre ### Pascals triangel för binomialutveckling $\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \vdots \end{array}$ ### Exempel: Uttryck $\sin(3\varphi)$ som polynom i $\sin\varphi$ Använd de Moivres formel: $\cos(3\varphi) + i\sin(3\varphi) = (\cos\varphi + i\sin\varphi)^3$ Utveckla högerledet med binomialsatsen (koefficienter från Pascals triangel: 1, 3, 3, 1): $(\cos\varphi + i\sin\varphi)^3 = \cos^3\varphi + 3\cos^2\varphi(i\sin\varphi) + 3\cos\varphi(i\sin\varphi)^2 + (i\sin\varphi)^3$ Förenkla med $i^2 = -1$ och $i^3 = -i$: $= \cos^3\varphi + 3i\cos^2\varphi\sin\varphi - 3\cos\varphi\sin^2\varphi - i\sin^3\varphi$ Gruppera real- och imaginärdel: $= (\cos^3\varphi - 3\cos\varphi\sin^2\varphi) + i(3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi)$ Identifiera imaginärdelen: $\sin(3\varphi) = 3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi$ Använd $\cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi$: $\sin(3\varphi) = 3(1 - \sin^2\varphi)\sin\varphi - \sin^3\varphi$ $= 3\sin\varphi - 3\sin^3\varphi - \sin^3\varphi$ $\boxed{\sin(3\varphi) = 3\sin\varphi - 4\sin^3\varphi}$ --- ## Komplexvärda funktioner ### Definition En **komplexvärd funktion** av en reell variabel är en funktion som tar ett reellt värde och ger ett komplext: $h: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ ### Funktionen $E(t)$ Definiera: $E(t) = \cos t + i\sin t$ Detta är en funktion $E: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$. $E(t)$ rör sig på enhetscirkeln när $t$ ökar. ### Multiplikationsegenskap $E(t_1) \cdot E(t_2) = (\cos t_1 + i\sin t_1)(\cos t_2 + i\sin t_2)$ Med multiplikationsregeln för polär form: $= \cos(t_1 + t_2) + i\sin(t_1 + t_2) = E(t_1 + t_2)$ **Alltså:** $\boxed{E(t_1) \cdot E(t_2) = E(t_1 + t_2)}$ Detta är samma regel som för exponentialfunktionen: $e^{a} \cdot e^{b} = e^{a+b}$! ### Derivatan av $E(t)$ $\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t + i\sin t) = -\sin t + i\cos t$ Observera att: $i \cdot E(t) = i(\cos t + i\sin t) = i\cos t + i^2\sin t = -\sin t + i\cos t$ **Alltså:** $\boxed{E'(t) = i \cdot E(t)}$ Detta påminner om $\frac{d}{dt}e^{kt} = k \cdot e^{kt}$ med $k = i$. --- ## Eulers formel ### Taylorutveckling Taylorutvecklingarna kring $x = 0$: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$ $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots$ $\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots$ ### Härledning av Eulers formel Sätt in $x = it$ i Taylorutvecklingen för $e^x$: $e^{it} = 1 + (it) + \frac{(it)^2}{2!} + \frac{(it)^3}{3!} + \frac{(it)^4}{4!} + \frac{(it)^5}{5!} + \cdots$ Använd $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$, ...: $= 1 + it - \frac{t^2}{2!} - i\frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + i\frac{t^5}{5!} - \cdots$ Gruppera reella och imaginära termer: $= \left(1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots\right)$ $= \cos t + i\sin t$ ### Eulers formel $\boxed{e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi}$ --- ## Exempel med $e^{i\varphi}$ ### a) $e^{2\pi i}$ $e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0 = \boxed{1}$ ### b) $e^{i\pi}$ — Eulers identitet $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = \boxed{-1}$ Detta ger den berömda **Eulers identitet:** $e^{i\pi} + 1 = 0$ ### c) $e^{i\pi/2}$ $e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = \boxed{i}$ ### d) $i^i$ — En flervärd funktion Skriv $i$ på exponentiell form. Eftersom $i = e^{i\pi/2}$: $i^i = \left(e^{i\pi/2}\right)^i = e^{i \cdot i\pi/2} = e^{-\pi/2} \approx \boxed{0.2079}$ **Men!** Argumentet för $i$ är flertydigt: $\arg(i) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ för alla $k \in \mathbb{Z}$. Därför är $i^i$ en **flervärd funktion:** $i^i = e^{i(\pi/2 + 2\pi k) \cdot i} = e^{-\pi/2 - 2\pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}$ Samma punkt $i$ i det komplexa talplanet kan representeras med olika argument (vinklar), vilket ger olika värden av $i^i$. De första värdena av $i^i$: - $k = 0$: $e^{-\pi/2} \approx 0.208$ - $k = 1$: $e^{-\pi/2 - 2\pi} \approx 0.00039$ - $k = -1$: $e^{-\pi/2 + 2\pi} \approx 111.3$ Alla värden är **reella** (vilket är förvånande!). --- ## Konjugat och $e^{\pm i\varphi}$ ### Sambandet mellan $e^{i\varphi}$ och $e^{-i\varphi}$ $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ $e^{-i\varphi} = \cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi) = \cos\varphi - i\sin\varphi$ **Observera:** $e^{-i\varphi} = \overline{e^{i\varphi}}$ De två talen är varandras konjugat och speglas i den reella axeln. ### Formler för cos och sin Från $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ och $e^{-i\varphi} = \cos\varphi - i\sin\varphi$: **Addition:** $e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} = 2\cos\varphi \implies \boxed{\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}}$ **Subtraktion:** $e^{i\varphi} - e^{-i\varphi} = 2i\sin\varphi \implies \boxed{\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}}$ --- ## Detaljerat räkneexempel Beräkna: $\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3})}{3i(\sqrt{12}-2i)}$ ### Steg 1: Skriv varje faktor på polär form #### $z_1 = 2 + 2i$ $|z_1| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $\arg(z_1) = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ $z_1 = 2\sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$ #### $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$ $|z_2| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ $\arg(z_2) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$ $z_2 = 2e^{i\pi/3}$ #### $z_3 = 3i$ $|z_3| = 3, \quad \arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$ $z_3 = 3e^{i\pi/2}$ #### $z_4 = \sqrt{12} - 2i = 2\sqrt{3} - 2i$ $|z_4| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$ $\arg(z_4) = -\arctan\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}\right) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$ $z_4 = 4e^{-i\pi/6}$ ### Steg 2: Kombinera **Täljaren:** $z_1 \cdot z_2 = 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot e^{i(\pi/4 + \pi/3)} = 4\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 7\pi/12}$ **Nämnaren:** $z_3 \cdot z_4 = 3 \cdot 4 \cdot e^{i(\pi/2 - \pi/6)} = 12 \cdot e^{i\pi/3}$ ### Steg 3: Dividera $\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4} = \frac{4\sqrt{2}}{12} \cdot e^{i(7\pi/12 - \pi/3)} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot e^{i(7\pi/12 - 4\pi/12)}$ $= \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot e^{i\pi/4}$ ### Steg 4: Skriv på rektangulär form $= \frac{\sqrt{2}}{3}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $= \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) = \frac{2}{6}(1 + i) = \boxed{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i}$ --- ## Sammanfattning |Begrepp|Formel| |---|---| |Polär form|$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$| |Multiplikation|$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$| |Division|$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$| |Argument för $z^n$|$\arg(z^n) = n\arg(z)$| |Argument för $1/z$|$\arg(1/z) = -\arg(z)$| |De Moivres formel|$(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)$| |Eulers formel|$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$| |Konjugatsamband|$e^{-i\varphi} = \overline{e^{i\varphi}}$| |Cosinus|$\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}$| |Sinus|$\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}$| --- ## Se även - [[komplexa talplanet tikz]] - [[Binomiska ekvationer]] - [[Taylorutveckling]]