## Inledning **Integralen** är ett av analysens mest centrala begrepp och kan tolkas på flera sätt: - Som **area** under en kurva - Som **antiderivata** (primitiv funktion) - Som en **gräns av summor** (Riemannsummor) Integraler används för att beräkna areor, volymer, båglängder, arbete, och mycket mer. --- ## Definition av bestämd integral Låt $f(x)$ vara en funktion definierad på $[a,b]$. Den **bestämda integralen** definieras som: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \Delta x$ där $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ och $x_k^*$ är en punkt i det $k$:te delintervallet. **Geometrisk tolkning:** Arean mellan kurvan $y = f(x)$ och x-axeln på intervallet $[a,b]$, där area under x-axeln räknas som negativ. --- ## Primitiv funktion En funktion $F(x)$ kallas **primitiv funktion** (eller antiderivata) till $f(x)$ om: $F'(x) = f(x)$ **Notation:** $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ där $C \in \mathbb{R}$ är en godtycklig konstant (integrationskonstanten). --- ## Analysens fundamentalsats > [!info]- SATS: Analysens fundamentalsats (del 1) > Låt $f$ vara kontinuerlig på $[a,b]$ och definiera: > $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ > > Då är $F$ deriverbar på $(a,b)$ och: > $F'(x) = f(x)$ > > *Med andra ord: derivatan av integralen ger tillbaka ursprungsfunktionen.* > [!info]- SATS: Analysens fundamentalsats (del 2) > Låt $f$ vara kontinuerlig på $[a,b]$ och låt $F$ vara en primitiv funktion till $f$. Då gäller: > $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$ > > *Detta kopplar samman bestämd integration med primitiva funktioner.* --- ## Räkneregler för integraler ### Grundläggande räkneregler > [!note]- Räkneregel: Konstant faktor > $\int k \cdot f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx, \quad k \in \mathbb{R}$ > [!note]- Räkneregel: Summa och differens > $\int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$ > [!note]- Räkneregel: Uppdelning av integrationsgränser > $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ > [!note]- Räkneregel: Omkastning av gränser > $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ > [!note]- Räkneregel: Samma gränser > $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ --- ## Standardprimitiver ### Tabell över vanliga primitiva funktioner | $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ | Villkor | | | | ------------------------------ | ------------------------- | ------------------------ | ----- | ---------- | | $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | | | | $\frac{1}{x}$ | $\ln$ | $x$ | $+ C$ | $x \neq 0$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | | | | | $e^{kx}$ | $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ | $k \neq 0$ | | | | $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | $a > 0, a \neq 1$ | | | | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | | | | | $\cos x$ | $\sin x + C$ | | | | | $\tan x$ | $-\ln$ | $\cos x$ | $+ C$ | | | $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ | | | | | $\frac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ | | | | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | | $x$ | lt; 1$ | | $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | | | | | $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ | $\ln$ | $x + \sqrt{x^2 \pm a^2}$ | $+ C$ | | --- ## Integrationsmetoder ### Variabelsubstitution > [!info]- SATS: Substitutionsregeln > Om $g$ är deriverbar och $f$ är kontinuerlig, då gäller: > $\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ > > där $u = g(x)$ och $du = g'(x)\,dx$. > > **För bestämda integraler:** > $\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ > [!example]- Exempel: Substitution > Beräkna $\int x \cdot e^{x^2}\,dx$ > > Sätt $u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \frac{1}{2}du$ > > $\int x \cdot e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$ --- ### Partiell integration > [!info]- SATS: Partiell integration > Om $u$ och $v$ är deriverbara funktioner gäller: > $\int u \cdot v'\,dx = u \cdot v - \int u' \cdot v\,dx$ > > Eller med differentialnotation: > $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ > > **Minnesregel:** Välj $u$ som den funktion som blir enklare vid derivering. > > **LIATE-regeln** (prioritetsordning för val av $u$): > - **L**ogaritmer > - **I**nversa trigonometriska funktioner > - **A**lgebraiska funktioner (polynom) > - **T**rigonometriska funktioner > - **E**xponentialfunktioner > [!example]- Exempel: Partiell integration > Beräkna $\int x \cdot e^x\,dx$ > > Välj: $u = x \Rightarrow u' = 1$ och $v' = e^x \Rightarrow v = e^x$ > > $\int x \cdot e^x\,dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = x \cdot e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$ --- ### Partialbråksuppdelning > [!note]- Metod: Partialbråksuppdelning > En rationell funktion $\frac{P(x)}{Q(x)}$ där $\deg P < \deg Q$ kan skrivas som en summa av enklare bråk. > > **Grundtyper:** > > 1. **Enkla reella rötter:** $\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$ > > 2. **Upprepade rötter:** $\frac{1}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$ > > 3. **Irreducibla kvadratiska faktorer:** $\frac{1}{x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+1}$ > [!example]- Exempel: Partialbråk > Beräkna $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$ > > Faktorisera: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ > > Ansätt: $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ > > Multiplicera med $(x-1)(x+1)$: $1 = A(x+1) + B(x-1)$ > > $x = 1$: $1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$ > > $x = -1$: $1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$ > > $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\,dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$ --- ## Generaliserade integraler (oegentliga integraler) ### Oändliga integrationsgränser > [!note]- Definition: Oegentlig integral typ I > Om $f$ är kontinuerlig på $[a, \infty)$ definieras: > $\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$ > > Om gränsvärdet existerar och är ändligt sägs integralen **konvergera**, annars **divergerar** den. > [!info]- SATS: p-integralen > $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{konvergerar} & \text{om } p > 1 \\ \text{divergerar} & \text{om } p \leq 1 \end{cases}$ > > För konvergerande fall: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx = \frac{1}{p-1}$ --- ### Obegränsad integrand > [!note]- Definition: Oegentlig integral typ II > Om $f$ har en singularitet vid $x = a$ och är kontinuerlig på $(a, b]$ definieras: > $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$ --- ## Tillämpningar av integraler ### Area mellan kurvor > [!note]- Formel: Area mellan två kurvor > Om $f(x) \geq g(x)$ på $[a,b]$ är arean mellan kurvorna: > $A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ --- ### Rotationsvolym > [!note]- Formel: Skivmetoden (rotation kring x-axeln) > $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$ > [!note]- Formel: Skalmetoden (rotation kring y-axeln) > $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$ --- ### Båglängd > [!note]- Formel: Båglängd > Längden av kurvan $y = f(x)$ på $[a,b]$: > $L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ --- ### Rotationsarea > [!note]- Formel: Rotationsarea > Arean av ytan som bildas när $y = f(x)$ roterar kring x-axeln: > $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ --- ## Viktiga satser > [!info]- SATS: Integralkalkylens medelvärdessats > Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ finns det ett $c \in (a,b)$ sådant att: > $\int_a^b f(x)\,dx = f(c) \cdot (b-a)$ > > **Tolkning:** Det finns ett värde $f(c)$ som är "medelvärdet" av funktionen på intervallet. > [!info]- SATS: Jämförelsesatsen för integraler > Om $f(x) \leq g(x)$ för alla $x \in [a,b]$, då gäller: > $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$ > [!info]- SATS: Symmetriegenskaper > **Jämn funktion:** Om $f(-x) = f(x)$: > $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ > > **Udda funktion:** Om $f(-x) = -f(x)$: > $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$ --- ## Snabbreferens | Metod | När den används | |-------|-----------------| | Direkt integration | Standardprimitiver | | Substitution | Sammansatta funktioner, $f(g(x)) \cdot g'(x)$ | | Partiell integration | Produkter, speciellt med $\ln$, $\arctan$ | | Partialbråk | Rationella funktioner | --- ## Se även - [[Analysens fundamentalsats]] - [[Rotationsvolym tikz]] - [[Rotationsyta tikz]] - [[Differentialekvationer]]