# Ordinära Differentialekvationer (ODE) ## Inledning Det finns **ordinära differentialekvationer** (ODE) och **partiella differentialekvationer** (PDE). I kursen M0066M behandlas endast ODE eftersom partiella har fler variabler, och detta är en envariabelkurs. En ODE är en ekvation som innehåller en okänd funktion och derivator av denna funktion. Ett exempel från boken: $xy'''(x) - 3\sqrt{xy'''}(x) + y'(x) + (\ln x)y(x) = 5e^{2x}$ --- ## Lösningsmetod Lösningsmetoden för ODE är helt enkelt att man integrerar båda leden. Samma metod tillämpas på separerbara differentialekvationer. > [!note]- Definition: Separabel differentialekvation > > En differentialekvation av typen $g(y) \cdot y' = f(x)$ kallas **separabel**. > [!info]- SATS: Lösning av separerbara differentialekvationer > > Antag att $g(y)$ och $f(x)$ är kontinuerliga med primitiva funktioner $G(y)$ respektive $F(x)$ i intervall $I_g$ respektive $I_f$. > > Lösningarna till differentialekvationen $g(y)y' = f(x)$, $x \in I \subset I_f$, är de på $I$ deriverbara lösningarna till: $G(y) = F(x) + C$ > > **OBS:** $G(y) = F(x) + C$ ger lösningen på implicit form. Om det går ska man lösa ut $y$ och svara på explicit form $y = h(x)$. > [!info]- SATS: Omformning till separabel > > En differentialekvation av typen $y' = f\left(\frac{ax + by + c}{px + qy + r}\right)$ där $a, b, c, p, q, r$ är givna konstanter, kan omformas till en separabel differentialekvation. --- ## Linjära första ordningens differentialekvationer ### Allmän form En linjär differentialekvation av första ordningen har formen: $y' + g(x)y = f(x)$ där $g(x)$ är koefficienten framför $y$ och $f(x)$ är högerledet. ### Lösningsmetod med integrerande faktor **Steg 1:** Skriv ekvationen på standardform $y' + g(x)y = f(x)$ **Steg 2:** Beräkna primitiv funktion $G(x) = \int g(x),dx$ **Steg 3:** Bestäm integrerande faktor $\mu(x) = e^{G(x)}$ **Steg 4:** Multiplicera ekvationen med $\mu(x)$, då får vi $\frac{d}{dx}[y \cdot \mu(x)] = f(x) \cdot \mu(x)$ **Steg 5:** Integrera båda sidor: $y \cdot \mu(x) = \int f(x) \cdot \mu(x),dx$ **Steg 6:** Lös ut $y = \frac{1}{\mu(x)} \int f(x) \cdot \mu(x),dx$ > [!example]- Exempel 1 $xy' - y = x^2\cos x$, $x > 0$ > > Dela med $x$: $y' - \frac{1}{x}y = x\cos x$ > > $g(x) = -\frac{1}{x}$, $f(x) = x\cos x$ > > $G(x) = \int -\frac{1}{x},dx = -\ln x$ > > $\mu(x) = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ > > Multiplicera: $\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \cos x$ ⟹ $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cos x$ > > Integrera: $\frac{y}{x} = \sin x + C$ > > **Svar:** $y = x\sin x + Cx$ > [!example]- Exempel 2 $y' + 3 + \frac{2}{x}y = \frac{y}{x^2}$, $x > 0$ > > Samla $y$-termer: $y' + \frac{2}{x}y - \frac{1}{x^2}y = -3$ > > $y' + \frac{2x-1}{x^2}y = -3$ > > $g(x) = \frac{2x-1}{x^2}$, $f(x) = -3$ > > $G(x) = \int \frac{2x-1}{x^2},dx = 2\ln x + \frac{1}{x}$ > > $\mu(x) = e^{2\ln x + 1/x} = x^2 e^{1/x}$ > > $\frac{d}{dx}[y \cdot x^2 e^{1/x}] = -3x^2 e^{1/x}$ > > **Svar:** $y = \frac{1}{x^2 e^{1/x}} \int -3x^2 e^{1/x},dx$ (kräver substitution) > [!example]- Exempel 3: Reduktion av ordning $xy'' + y' = 3x^2$, $x > 0$ > > Detta är andra ordningens ekvation. Använd substitution $v = y'$, då $v' = y''$ > > $xv' + v = 3x^2$ ⟹ $v' + \frac{1}{x}v = 3x$ > > $g(x) = \frac{1}{x}$, $f(x) = 3x$ > > $G(x) = \ln x$, $\mu(x) = x$ > > $\frac{d}{dx}(xv) = 3x^2$ > > $xv = x^3 + C_1$ ⟹ $v = x^2 + \frac{C_1}{x}$ > > Eftersom $v = y'$: $y = \int \left(x^2 + \frac{C_1}{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \ln x + C_2$ --- ## Riktningsfält Ett **riktningsfält** (eller lutningsfält) är en grafisk representation av en första ordningens ODE $y' = f(x, y)$. I varje punkt $(x, y)$ i planet ritar man ett kort linjesegment med lutning $f(x, y)$. Detta ger en visuell bild av hur lösningskurvorna beter sig utan att man behöver lösa ekvationen analytiskt. Riktningsfältet visar: - Hur lösningar "flyter" genom planet - Jämviktslösningar (där $y' = 0$) - Asymptotiskt beteende --- ## Eulers metod **Eulers metod** är en numerisk metod för att approximera lösningar till begynnelsevärdesproblem: $y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$ ### Algoritm Välj en steglängd $h > 0$. Då approximeras lösningen genom: $x_{n+1} = x_n + h$ $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ Geometriskt följer man tangentlinjen från $(x_n, y_n)$ ett steg $h$ framåt. ### Fel Eulers metod har ett **lokalt trunkeringsfel** av ordning $O(h^2)$ och ett **globalt fel** av ordning $O(h)$. Mindre steglängd ger bättre approximation men kräver fler beräkningar. --- ## Linjära differentialekvationer av n:te ordningen ### Allmän form En **linjär ODE av ordning $n$** kan skrivas på formen: $g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = f(x)$ eller mer kompakt: $\sum_{k=0}^{n} g_k(x) y^{(k)} = f(x)$ där $g_0(x), g_1(x), \ldots, g_n(x)$ och $f(x)$ är givna funktioner av $x$. --- ## Vad är en linjär ODE? En differentialekvation är **linjär** om den okända funktionen $y$ och alla dess derivator endast förekommer i första potensen och inte multipliceras med varandra. **Formellt:** En ODE är linjär om den kan skrivas på formen: $g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = f(x)$ **Exempel på linjära ODE:** - $y' + 2y = e^x$ - $y'' - 3y' + 2y = \sin x$ - $x^2 y''' + xy' - y = 0$ **Exempel på icke-linjära ODE:** - $y' = y^2$ (kvadratisk i $y$) - $yy' = x$ (produkt av $y$ och $y'$) - $y'' + \sin(y) = 0$ (icke-linjär funktion av $y$) --- ## Vad är en homogen ODE? En linjär ODE är **homogen** om högerledet $f(x) = 0$: $g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = 0$ Om $f(x) \neq 0$ kallas ekvationen **inhomogen** (eller icke-homogen). **Exempel:** - $y'' + 4y = 0$ är homogen - $y'' + 4y = \cos x$ är inhomogen **Viktig observation:** $y = 0$ är alltid en lösning till en homogen linjär ODE (den triviala lösningen). --- ## Linjärisering av icke-linjära ODE En första ordningens ODE som är av **andra graden** i $y'$ kan ibland linjäriseras genom lämpligt variabelbyte. ### Exempel: Bernoullis ekvation Betrakta Bernoullis ekvation: $y' + P(x)y = Q(x)y^n, \quad n \neq 0, 1$ Detta är icke-linjärt i $y$. Men med variabelbytet: $v = y^{1-n}$ får vi $v' = (1-n)y^{-n}y'$, vilket ger: $\frac{v'}{1-n} + P(x) \cdot v^{1/(1-n)} = Q(x) \cdot v^{n/(1-n)}$ Efter förenkling erhålls den linjära ekvationen: $v' + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$ > [!info]- SATS: Linjärisering genom variabelbyte > > En första ordningens ODE som är icke-linjär i $y$ kan ibland transformeras till en linjär ODE genom ett lämpligt variabelbyte $v = \phi(y)$. > > Om den resulterande ekvationen i $v$ är linjär, sägs den ursprungliga ekvationen vara **linjäriserbar**. --- ## Superpositionsprincipen > [!info]- SATS: Superpositionsprincipen för homogena linjära ODE > > Låt $g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = 0$ vara en homogen linjär ODE. Om $y_1$ och $y_2$ är två lösningar till denna ekvation, då gäller: > > **(a)** $y_1 + y_2$ är också en lösning > > **(b)** $Cy_1$ är också en lösning för varje konstant $C \in \mathbb{R}$ > > > [!tip] Korollarium Som en direkt följd av (a) och (b) gäller att om $y_1$ och $y_2$ är lösningar till den homogena linjära ODE:n, så är även $c_1 y_1 + c_2 y_2$ en lösning för alla konstanter $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. > > > > Detta kallas en **linjärkombination** av lösningarna. --- ## Linjärt oberoende och linjärt beroende ### Definition: Linjärt beroende Funktionerna $y_1, y_2, \ldots, y_n$ sägs vara **linjärt beroende** på ett intervall $I$ om det existerar konstanter $c_1, c_2, \ldots, c_n$, som inte alla är noll, sådana att: $c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n = 0 \quad \text{för alla } x \in I$ ### Definition: Linjärt oberoende Funktionerna $y_1, y_2, \ldots, y_n$ sägs vara **linjärt oberoende** på ett intervall $I$ om de _inte_ är linjärt beroende. Det vill säga, om: $c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n = 0 \quad \text{för alla } x \in I$ endast kan uppfyllas då $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$. ### Intuition - **Linjärt beroende:** En av funktionerna kan skrivas som en linjärkombination av de övriga - **Linjärt oberoende:** Ingen av funktionerna kan "byggas" av de andra ### Wronskianen _Ej del av M0066M men intressant att veta_ För att testa linjärt oberoende kan man använda **Wronskianen**: $W(y_1, y_2, \ldots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$ Om $W \neq 0$ för något $x \in I$, är funktionerna linjärt oberoende. > [!note]- SATS: Beroende och oberoende funktioner (förenklad) > > $\frac{y_{2}}{y_{1}}=\text{konstant} \implies \text{linjärt beroende}$ > > $\frac{y_{2}}{y_{1}}\ne \text{konstant} \implies \text{linjärt oberoende}$ --- ## Antal linjärt oberoende lösningar > [!info]- SATS: Dimension av lösningsrummet > > Varje linjär homogen ODE av ordning $n$: $g_n(x)y^{(n)} + g_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + g_1(x)y' + g_0(x)y = 0$ (där $g_n(x) \neq 0$) har exakt $n$ stycken linjärt oberoende lösningar $y_1, y_2, y_3, \ldots, y_n$. > > Den **allmänna lösningen** ges av: $y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + \cdots + c_n y_n$ där $c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ är godtyckliga konstanter. > > Mängden ${y_1, y_2, \ldots, y_n}$ kallas en **fundamental lösningmängd** (eller bas för lösningsrummet). > [!warning]- Kom ihåg: > > lösningsmetod till 1:a ordningens linjär homogen ODE $y'+ay=0\implies y(x)=Ce^{-ax}$ --- # 2:a ordningens linjära homogena ODE med konstanta koefficienter ## Problemformulering Vi ska lösa ODE:n: $y''+ay'+by=0, \quad a,b\in\mathbb{R}$ Enligt satsen om lösningsrummets dimension behöver vi **två linjärt oberoende lösningar** $y_{1},y_{2}$. Allmänna lösningen blir då (enligt superpositionsprincipen): $y=Cy_{1}+Dy_{2} \quad (C,D\in\mathbb{R})$ --- ## Vad är diskriminanten? > [!abstract]- Bakgrund: Diskriminanten > > **Diskriminanten** är ett tal som avgör hur många och vilken typ av rötter en andragradsekvation har. > > För den allmänna andragradsekvationen: $ax^2 + bx + c = 0$ > > är diskriminanten definerad som: $D = b^2 - 4ac$ > > Lösningarna ges av: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ > > **Tolkning av diskriminanten:** > > |Värde|Betydelse|Rötter| > |:-:|:--|:--| > |$D > 0$|$\sqrt{D}$ är ett positivt reellt tal|Två olika reella rötter| > |$D = 0$|$\sqrt{D} = 0$|En dubbelrot (samma rot två gånger)| > |$D < 0$|$\sqrt{D}$ är imaginär|Två komplexa konjugerade rötter| > > **Exempel:** > > - $x^2 - 5x + 6 = 0$: $D = 25 - 24 = 1 > 0$ → rötter $x = 2$ och $x = 3$ > - $x^2 - 4x + 4 = 0$: $D = 16 - 16 = 0$ → dubbelrot $x = 2$ > - $x^2 + 1 = 0$: $D = 0 - 4 = -4 < 0$ → komplexa rötter $x = \pm i$ --- ## Ansats och karakteristisk ekvation > [!tip]- Exponentialansats > > Vi ansätter $y = e^{rx}$ där $r$ är en konstant vi ska bestämma. > > **Motivation:** Vi vet att $y' + ay = 0$ har lösningen $y = Ce^{-ax}$. Exponentialfunktioner är "egenfunktioner" för derivering — de behåller sin form när de deriveras. > > **Derivering:** > > - $y' = re^{rx}$ > - $y'' = r^2 e^{rx}$ > > **Insättning i ODE:n $y'' + ay' + by = 0$:** $r^2 e^{rx} + ar \cdot e^{rx} + b \cdot e^{rx} = 0$ $e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$ > > Eftersom $e^{rx} \neq 0$ för alla $x$, måste: $\boxed{r^2 + ar + b = 0}$ > > Detta kallas den **karakteristiska ekvationen**. ### Lösa den karakteristiska ekvationen Använd abc-formeln (eller pq-formeln) för att lösa $r^2 + ar + b = 0$: $r = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ **Diskriminanten är:** $D = a^2 - 4b$ Beroende på värdet av $D$ får vi tre olika fall: --- ## Fall 1: $D > 0$ — Två olika reella rötter > [!success]- HÄRLEDNING: $r_1 \neq r_2 \implies y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$ > > När $D > 0$ får vi två olika reella rötter: $r_1 = \frac{-a + \sqrt{D}}{2}, \quad r_2 = \frac{-a - \sqrt{D}}{2}$ > > **Två partikulärlösningar:** > > - $y_1 = e^{r_1 x}$ > - $y_2 = e^{r_2 x}$ > > **Kontroll av linjärt oberoende:** $\frac{y_2}{y_1} = \frac{e^{r_2 x}}{e^{r_1 x}} = e^{(r_2 - r_1)x}$ > > Eftersom $r_1 \neq r_2$ är $(r_2 - r_1) \neq 0$, så kvoten är **inte konstant**. > > $\implies y_1$ och $y_2$ är **linjärt oberoende** ✓ > > **Allmän lösning:** $\boxed{y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}}$ --- ## Fall 2: $D < 0$ — Komplexa konjugerade rötter > [!success]- HÄRLEDNING: $r = \alpha \pm i\beta \implies y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$ > > När $D < 0$ blir $\sqrt{D} = i\sqrt{|D|}$ imaginär. > > **Rötterna blir:** $r_1 = \alpha + i\beta, \quad r_2 = \alpha - i\beta$ > > där: > > - $\alpha = -\frac{a}{2}$ (realdelen) > - $\beta = \frac{\sqrt{|D|}}{2} = \frac{\sqrt{4b - a^2}}{2}$ (imaginärdelen, alltid positiv) > > **Formella lösningar:** > > - $y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x} \cdot e^{i\beta x}$ > - $y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x} = e^{\alpha x} \cdot e^{-i\beta x}$ > > **Använd Eulers formel:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ > > $e^{i\beta x} = \cos(\beta x) + i\sin(\beta x)$ $e^{-i\beta x} = \cos(\beta x) - i\sin(\beta x)$ > > **Bilda reella lösningar genom linjärkombinationer:** > > $\tilde{y}_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ > > $\tilde{y}_2 = \frac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x} \sin(\beta x)$ > > **Kontroll av linjärt oberoende:** $\frac{\tilde{y}_2}{\tilde{y}_1} = \frac{\sin(\beta x)}{\cos(\beta x)} = \tan(\beta x) \neq \text{konst}$ > > $\implies \tilde{y}_1$ och $\tilde{y}_2$ är **linjärt oberoende** ✓ > > **Allmän lösning:** $\boxed{y = e^{\alpha x}\left(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\right)}$ > [!note]- Fysikalisk tolkning > > - Om $\alpha < 0$: **Dämpade svängningar** — amplituden avtar exponentiellt > - Om $\alpha = 0$: **Harmoniska svängningar** — ren oscillation utan dämpning > - Om $\alpha > 0$: **Växande svängningar** — amplituden ökar exponentiellt (instabilt system) --- ## Fall 3: $D = 0$ — Dubbelrot > [!success]- HÄRLEDNING: $r_1 = r_2 = r \implies y = (A + Bx)e^{rx}$ > > När $D = 0$ får vi en dubbelrot: $r = r_1 = r_2 = -\frac{a}{2}$ > > **Problem:** Vi får bara _en_ lösning $y_1 = e^{rx}$, men vi behöver _två_ linjärt oberoende! > > **Ansats för andra lösningen:** Prova $y_2 = x \cdot e^{rx}$ > > **Verifiering genom insättning:** > > Med $y_2 = xe^{rx}$: > > - $y_2' = e^{rx} + rxe^{rx} = e^{rx}(1 + rx)$ > - $y_2'' = re^{rx}(1 + rx) + re^{rx} = e^{rx}(2r + r^2x)$ > > Insättning i $y'' + ay' + by = 0$: $e^{rx}(2r + r^2x) + a \cdot e^{rx}(1 + rx) + b \cdot xe^{rx} = 0$ $e^{rx}\left[(2r + a) + x(r^2 + ar + b)\right] = 0$ > > **Eftersom $r$ är rot till karakteristiska ekvationen:** $r^2 + ar + b = 0$ ✓ > > **Eftersom $D = 0$:** $r = -\frac{a}{2} \implies 2r + a = 0$ ✓ > > Alltså blir hela uttrycket $= 0$ och $y_2 = xe^{rx}$ är verkligen en lösning! > > **Kontroll av linjärt oberoende:** $\frac{y_2}{y_1} = \frac{xe^{rx}}{e^{rx}} = x \neq \text{konst}$ > > $\implies y_1$ och $y_2$ är **linjärt oberoende** ✓ > > **Allmän lösning:** $\boxed{y = (A + Bx)e^{rx}}$ --- ## Sammanfattning: De tre fallen |Diskriminant|Rötter|Allmän lösning| |:-:|:-:|:-:| |$D > 0$|$r_1 \neq r_2 \in \mathbb{R}$|$y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$| |$D < 0$|$r = \alpha \pm i\beta$|$y = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$| |$D = 0$|$r_1 = r_2 = r$|$y = (A + Bx)e^{rx}$| > [!tip]- Minnesregel > > 1. **Skriv upp karakteristiska ekvationen** $r^2 + ar + b = 0$ > 2. **Beräkna diskriminanten** $D = a^2 - 4b$ > 3. **Lös för $r$** och identifiera vilket fall > 4. **Skriv upp allmänna lösningen** enligt tabellen ovan --- # Räkneexempel: Finn allmän lösning ## Exempel a) $y'' - y' - 2y = 0$ > [!example]- Lösning > > **Steg 1:** Karakteristisk ekvation $r^2 - r - 2 = 0$ > > **Steg 2:** Beräkna diskriminanten $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$ > > **Steg 3:** Lös för $r$ > > Faktorisera: $(r - 2)(r + 1) = 0$ $r_1 = 2, \quad r_2 = -1$ > > **Steg 4:** Allmänna lösningen (Fall 1: $D > 0$) $\boxed{y = Ae^{2x} + Be^{-x}}$ **Graf:** ![[plot_a.png|400]] _Figur: Två olika reella rötter ger exponentiella lösningar. Med $r_1 = 2 > 0$ växer $e^{2x}$ snabbt, medan $e^{-x}$ avtar._ --- ## Exempel b) $y'' + 4y' + 5y = 0$ > [!example]- Lösning > > **Steg 1:** Karakteristisk ekvation $r^2 + 4r + 5 = 0$ > > **Steg 2:** Beräkna diskriminanten $D = 4^2 - 4 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$ > > **Steg 3:** Lös för $r$ $r = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$ > > Alltså: $\alpha = -2$, $\beta = 1$ > > **Steg 4:** Allmänna lösningen (Fall 2: $D < 0$) $\boxed{y = e^{-2x}(A\cos x + B\sin x)}$ > > **Tolkning:** Dämpade svängningar. Faktorn $e^{-2x}$ gör att amplituden avtar exponentiellt. **Graf:** ![[plot_b.png|400]] _Figur: Komplexa rötter ger oscillerande lösningar. Faktorn $e^{-2x}$ fungerar som en "kuvertfunktion" som dämpar svängningarna._ --- ## Exempel c) $y'' + 6y' + 5y = 0$ > [!example]- Lösning > > **Steg 1:** Karakteristisk ekvation $r^2 + 6r + 5 = 0$ > > **Steg 2:** Beräkna diskriminanten $D = 6^2 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0$ > > **Steg 3:** Lös för $r$ > > Faktorisera: $(r + 5)(r + 1) = 0$ $r_1 = -5, \quad r_2 = -1$ > > **Steg 4:** Allmänna lösningen (Fall 1: $D > 0$) $\boxed{y = Ae^{-5x} + Be^{-x}}$ > > **Tolkning:** Båda rötterna är negativa, så alla lösningar avtar mot noll när $x \to \infty$. **Graf:** ![[plot_c.png|400]] _Figur: Två negativa reella rötter ger lösningar som avtar mot noll. $e^{-5x}$ avtar snabbare än $e^{-x}$._ --- ## Exempel d) $y'' + 4y = 0$ > [!example]- Lösning > > **Steg 1:** Karakteristisk ekvation $r^2 + 4 = 0$ > > (Notera: $a = 0$ i denna ekvation) > > **Steg 2:** Beräkna diskriminanten $D = 0^2 - 4 \cdot 4 = -16 < 0$ > > **Steg 3:** Lös för $r$ $r^2 = -4 \implies r = \pm 2i$ > > Alltså: $\alpha = 0$, $\beta = 2$ > > **Steg 4:** Allmänna lösningen (Fall 2: $D < 0$, med $\alpha = 0$) $y = e^{0 \cdot x}(A\cos 2x + B\sin 2x)$ $\boxed{y = A\cos 2x + B\sin 2x}$ > > **Tolkning:** Harmonisk svängning utan dämpning ($\alpha = 0$ ger $e^0 = 1$). Periodtiden är $T = \frac{2\pi}{\beta} = \pi$. **Graf:** ![[plot_d.png|400]] _Figur: Rent imaginära rötter ($\alpha = 0$) ger oändliga, odämpade svängningar. Detta motsvarar en ideal harmonisk oscillator utan friktion._ --- # Exempel med begynnelsevillkor Ett **begynnelsevärdesproblem (IVP)** ger oss extra information som $y(x_0) = y_0$ och $y'(x_0) = v_0$. Detta låter oss bestämma de godtyckliga konstanterna $A$ och $B$. ## Exempel e) $y'' + 6y' + 9y = 0$, $y(0) = -1$, $y'(0) = 1$ > [!example]- Fullständig lösning > > **Steg 1:** Karakteristisk ekvation $r^2 + 6r + 9 = 0$ > > **Steg 2:** Beräkna diskriminanten $D = 6^2 - 4 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ > > **Steg 3:** Dubbelrot $(r + 3)^2 = 0 \implies r = -3$ > > **Steg 4:** Allmänna lösningen (Fall 3: $D = 0$) $y = (A + Bx)e^{-3x}$ > > **Steg 5:** Använd $y(0) = -1$ $y(0) = (A + B \cdot 0)e^{0} = A = -1$ $\boxed{A = -1}$ > > **Steg 6:** Derivera $y$ för att använda $y'(0) = 1$ $y' = Be^{-3x} + (A + Bx) \cdot (-3)e^{-3x} = e^{-3x}(B - 3A - 3Bx)$ > > $y'(0) = e^{0}(B - 3A - 0) = B - 3 \cdot (-1) = B + 3 = 1$ $\boxed{B = -2}$ > > **Partikulär lösning:** $\boxed{y = (-1 - 2x)e^{-3x}}$ **Graf:** ![[plot_e.png|400]] _Figur: Lösningen startar i punkten $(0, -1)$ och avtar mot noll på grund av faktorn $e^{-3x}$._ --- ## Exempel f) $y'' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -2$ > [!example]- Fullständig lösning > > **Steg 1-4:** Från exempel d) vet vi redan att $\alpha = 0$, $\beta = 2$ och $y = A\cos(2x) + B\sin(2x)$ > > **Steg 5:** Använd $y(0) = 1$ $y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A = 1$ $\boxed{A = 1}$ > > **Steg 6:** Derivera och använd $y'(0) = -2$ $y' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x)$ $y'(0) = -2A\sin(0) + 2B\cos(0) = 0 + 2B = 2B = -2$ $\boxed{B = -1}$ > > **Partikulär lösning:** $\boxed{y = \cos(2x) - \sin(2x)}$ > > **Alternativ form:** Kan skrivas som $y = \sqrt{2}\cos(2x + \frac{\pi}{4})$ **Graf:** ![[plot_f.png|400]] _Figur: Harmonisk svängning som startar i $(0, 1)$ med negativ begynnelsehastighet (kurvan lutar nedåt vid $x = 0$)._ --- ## Checklista för lösning Kom >[!check]- Steg-för-steg metod > > 1. ☐ Skriv ODE:n på formen $y'' + ay' + by = 0$ > 2. ☐ Ställ upp karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$ > 3. ☐ Beräkna diskriminanten $D = a^2 - 4b$ > 4. ☐ Lös för $r$ och identifiera fallet: > - $D > 0$: två olika reella rötter $r_1, r_2$ > - $D < 0$: komplexa rötter $\alpha \pm i\beta$ > - $D = 0$: dubbelrot $r$ > 5. ☐ Skriv upp allmänna lösningen enligt tabellen > 6. ☐ Om begynnelsevillkor ges: > - Använd $y(x_0) = y_0$ för att hitta första konstanten > - Derivera $y$ och använd $y'(x_0) = v_0$ för andra konstanten Kolla r är imaginärt är