## Definition **Båglängd** är längden av en kurva mellan två punkter. Detta är avståndet man skulle mäta om man lade en tråd längs kurvan och sedan rätade ut den. ![[baglangd_definition.png|400]] För en kurva är båglängden **alltid längre än eller lika med** det räta avståndet mellan ändpunkterna. --- ## Formel för båglängd ### För funktioner y = f(x) Om kurvan ges av $y = f(x)$ i intervallet $[a, b]$, beräknas båglängden som: $s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ ### För parametriserade kurvor Om kurvan ges parametriskt som $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ för $t \in [t_1, t_2]$: $s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} , dt = \int_{t_1}^{t_2} |\mathbf{r}'(t)| , dt$ ### För polära koordinater Om kurvan ges i polära koordinater som $r = r(\theta)$ för $\theta \in [\alpha, \beta]$: $s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} , d\theta$ --- ## Härledning ![[baglangd_harledning.png|400]] ### Steg-för-steg härledning: 1. **Dela upp kurvan** i små bågelement mellan $(x, y)$ och $(x + \Delta x, y + \Delta y)$ 2. **Pythagoras sats** ger bågelementets längd: $\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 3. **Faktorisera ut** $\Delta x$: $\Delta s = \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \cdot \Delta x$ 4. **I gränsvärdet** när $\Delta x \to 0$ får vi: $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx} = f'(x)$ 5. **Differentialen** blir: $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 6. **Integration** ger total båglängd: $s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ > [!tip] Intuition Vi summerar oändligt många infinitesimala raka sträckor som tillsammans approximerar kurvan perfekt. --- ## Exempel ### Exempel 1: Cirkelbåge Beräkna längden av en kvartscirkel med radie $R$. ![[baglangd_kvartscirkel.png|400]] > [!example]- Lösning > > Kurvan är $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ för $x \in [0, R]$. > > **Derivatan:** $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ > > **Beräkna uttrycket under roten:** $1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2 - x^2 + x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$ > > **Alltså:** $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ > > **Integralen:** $s = \int_0^R \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} , dx = R \cdot \arcsin\left(\frac{x}{R}\right) \Bigg|_0^R = R \cdot \frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{\pi R}{2}}$ > > **Kontroll:** Detta stämmer med formeln för en kvartscirkels omkrets! --- ### Exempel 2: Parabelbåge Beräkna båglängden av $y = x^2$ från $x = 0$ till $x = 1$. ![[baglangd_parabel.png|400]] > [!example]- Lösning > > Vi har $f(x) = x^2$, så $f'(x) = 2x$. > > $s = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} , dx$ > > **Substitution:** $x = \frac{1}{2}\tan u \Rightarrow dx = \frac{1}{2}\sec^2 u , du$ > > När $x = 0$: $u = 0$ När $x = 1$: $u = \arctan(2)$ > > $1 + 4x^2 = 1 + \tan^2 u = \sec^2 u$ > > $s = \int_0^{\arctan 2} \sec u \cdot \frac{1}{2}\sec^2 u , du = \frac{1}{2}\int_0^{\arctan 2} \sec^3 u , du$ > > **Efter integration** (med partiell integration eller tabell): > > $s = \boxed{\frac{1}{2}\left(\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})\right)} \approx 1.478$ --- ### Exempel 3: Parametriserad kurva Beräkna längden av cirkeln $\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)$ för $t \in [0, 2\pi]$. ![[baglangd_cirkel_param.png|400]] > [!example]- Lösning > > **Derivera positionsvektorn:** $\mathbf{r}'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ > > **Beräkna längden av derivatan:** $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t} = \sqrt{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \sqrt{R^2} = R$ > > **Integralen blir mycket enkel:** $s = \int_0^{2\pi} R , dt = R \cdot t \Big|_0^{2\pi} = R \cdot 2\pi = \boxed{2\pi R}$ > > Detta är naturligtvis omkretsen av en cirkel! --- ### Exempel 4: Polära koordinater — Archimedisk spiral Beräkna båglängden av spiralen $r = \theta$ från $\theta = 0$ till $\theta = 2\pi$. ![[baglangd_spiral.png|400]] > [!example]- Lösning > > För $r = \theta$ är $\frac{dr}{d\theta} = 1$. > > $s = \int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} , d\theta$ > > **Substitution:** $\theta = \sinh u \Rightarrow d\theta = \cosh u , du$ > > Då blir $\sqrt{\theta^2 + 1} = \sqrt{\sinh^2 u + 1} = \cosh u$ > > $s = \int_0^{\text{arcsinh}(2\pi)} \cosh^2 u , du$ > > **Efter beräkning** (eller med CAS): > > $s = \boxed{\frac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{4\pi^2+1} + \ln(2\pi + \sqrt{4\pi^2+1})\right)} \approx 21.26$ --- ## Speciella formler ### Rät linje Mellan $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$: $s = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ ### Cirkel med radie R Full omkrets: $s = 2\pi R$ ### Ellips Med halvaxlar $a$ och $b$, omkretsen är **inte elementär**! **Approximation (Ramanujans formel):** $s \approx \pi\left(3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right)$ > [!warning] Observera Exakt värde kräver elliptiska integraler. --- ## Koppling till rotationsyta Observera att formeln för rotationsyta innehåller båglängden: $A_{\text{rotation}} = 2\pi \int_a^b |f(x)| \underbrace{\sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx}_{= , ds}$ Man kan skriva detta som: $A = 2\pi \int |f(x)| , ds$ > [!info] Geometrisk tolkning **Rotationsarean är summan av cirkelomkretsar** längs kurvan! > > Varje infinitesimalt bågelement $ds$ sveper ut en cirkel med omkrets $2\pi f(x)$ när det roteras kring x-axeln. --- ## Sammanfattning |Typ av kurva|Formel| |:--|:--| |Funktion $y = f(x)$|$s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$| |Parametriserad $\mathbf{r}(t)$|$s = \int_{t_1}^{t_2} \|\mathbf{r}'(t)\| , dt$| |Polära koordinater $r(\theta)$|$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (r')^2} , d\theta$| > [!abstract] Grundprincip $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ --- ## Se även - [[Rotationsyta]] - [[Rotationsvolym]] - [[Parametriserade kurvor]] - [[Polära koordinater]]