## Multiplikation och division i polär form
Låt två komplexa tal vara givna på polär form: $z_1 = |z_1|(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ $z_2 = |z_2|(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$
### Multiplikation
$z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|\left(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\right)$
**Regel:** Absolutbeloppen multipliceras, argumenten adderas.
### Division
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}\left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right)$
**Regel:** Absolutbeloppen divideras, argumenten subtraheras.
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
% Axlar
\draw[->, thick] (-1,0) -- (4,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,3) node[above] {Im};
% z1
\draw[->, blue, very thick] (0,0) -- (1.5, 0.7);
\filldraw[blue] (1.5, 0.7) circle (1.5pt);
\node[blue] at (1.7, 0.5) {$z_1$};
\draw[blue] (0.5, 0) arc (0:25:0.5);
\node[blue] at (0.7, 0.15) {\small $\varphi_1$};
% z2
\draw[->, red, very thick] (0,0) -- (1.0, 1.2);
\filldraw[red] (1.0, 1.2) circle (1.5pt);
\node[red] at (0.75, 1.35) {$z_2$};
\draw[red] (0.35, 0) arc (0:50:0.35);
\node[red] at (0.3, 0.25) {\small $\varphi_2$};
% z1*z2
\draw[->, purple, very thick] (0,0) -- (0.6, 2.4);
\filldraw[purple] (0.6, 2.4) circle (1.5pt);
\node[purple] at (0.9, 2.5) {$z_1 z_2$};
\draw[purple] (0.6, 0) arc (0:76:0.6);
\node[purple] at (0.35, 0.55) {\small $\varphi_1 + \varphi_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
---
## Argument för potenser och inverser
Om $\arg(z) = \varphi$, vad är då argumentet för $z^2$ och $\frac{1}{z}$?
### Argument för $z^2$
Från multiplikationsregeln med $z_1 = z_2 = z$: $\arg(z^2) = \arg(z \cdot z) = \arg(z) + \arg(z) = 2\varphi$
### Argument för $\frac{1}{z}$
Från divisionsregeln med $z_1 = 1$ (som har $\arg(1) = 0$): $\arg\left(\frac{1}{z}\right) = \arg(1) - \arg(z) = 0 - \varphi = -\varphi$
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% Axlar
\draw[->, thick] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[above] {Im};
% Enhetscirkel
\draw[gray, thin] (0,0) circle (1);
% z
\draw[->, blue, very thick] (0,0) -- (0.866, 0.5);
\filldraw[blue] (0.866, 0.5) circle (2pt);
\node[blue] at (1.1, 0.6) {$z$};
\draw[blue] (0.3, 0) arc (0:30:0.3);
\node[blue] at (0.45, 0.1) {\small $\varphi$};
% z^2
\draw[->, red, very thick] (0,0) -- (0.5, 0.866);
\filldraw[red] (0.5, 0.866) circle (2pt);
\node[red] at (0.7, 1.0) {$z^2$};
\draw[red] (0.45, 0) arc (0:60:0.45);
\node[red] at (0.35, 0.35) {\small $2\varphi$};
% 1/z
\draw[->, green!60!black, very thick] (0,0) -- (0.866, -0.5);
\filldraw[green!60!black] (0.866, -0.5) circle (2pt);
\node[green!60!black] at (1.1, -0.6) {$\frac{1}{z}$};
\draw[green!60!black] (0.4, 0) arc (0:-30:0.4);
\node[green!60!black] at (0.5, -0.15) {\small $-\varphi$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
**Generellt:**
- $\arg(z^n) = n\varphi$
- $\arg\left(\frac{1}{z}\right) = -\varphi$
---
## De Moivres formel
### Sats (de Moivre)
För alla heltal $n$ gäller:
$\boxed{(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)}$
Med absolutbelopp: $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$
### Exempel: Beräkna $(\sqrt{3} + i)^{18}$
#### Metod 1: Direkt med de Moivre
**Steg 1:** Skriv på polär form.
Absolutbelopp: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
Argument (första kvadranten): $\varphi = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
Alltså: $\sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$
**Steg 2:** Använd de Moivres formel. $(\sqrt{3} + i)^{18} = 2^{18}\left(\cos\frac{18\pi}{6} + i\sin\frac{18\pi}{6}\right)$ $= 2^{18}(\cos 3\pi + i\sin 3\pi)$ $= 2^{18}(\cos\pi + i\sin\pi) = 2^{18}(-1 + 0) = \boxed{-2^{18} = -262144}$
#### Metod 2: Utan de Moivre (ineffektivt!)
Man skulle behöva multiplicera ut $(\sqrt{3} + i)^{18}$ med binomialutveckling — extremt jobbigt. De Moivre är mycket smidigare!
---
## Hur man bildar polär form
Givet $z = a + bi$, gör så här:
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
% Axlar
\draw[->, thick] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {Im};
% Punkten z
\coordinate (z) at (2.5, 1.5);
\filldraw[blue] (z) circle (2pt) node[above right] {$z = a + bi$};
% Projektion
\draw[dashed, gray] (z) -- (2.5, 0) node[below] {$a$};
\draw[dashed, gray] (z) -- (0, 1.5) node[left] {$b$};
% r och phi
\draw[red, very thick, ->] (0,0) -- (z);
\node[red] at (1.0, 1.1) {$r = |z|$};
\draw[orange, thick] (0.6, 0) arc (0:31:0.6);
\node[orange] at (0.85, 0.2) {$\varphi$};
% Rätvinklig markör
\draw[gray] (2.3, 0) -- (2.3, 0.2) -- (2.5, 0.2);
% Formlerna
\node at (5.5, 2.0) {$r = \sqrt{a^2 + b^2}$};
\node at (5.5, 1.2) {$\varphi = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$};
\node at (5.5, 0.3) {\small (justera för kvadrant)};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
**Steg 1:** Beräkna absolutbeloppet $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
**Steg 2:** Bestäm argumentet $\varphi$ beroende på kvadrant:
|Kvadrant|Tecken $(a, b)$|Argument $\varphi$|
|---|---|---|
|I|$(+, +)$|$\arctan(b/a)$|
|II|$(-, +)$|$\pi - \arctan(b/|
|III|$(-, -)$|$-\pi + \arctan(|
|IV|$(+, -)$|$-\arctan(|
**Steg 3:** Skriv $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$
---
## Trigonometriska identiteter via de Moivre
### Pascals triangel för binomialutveckling
$
\begin{array}{c}
1 \\
1 \quad 1 \\
1 \quad 2 \quad 1 \\
1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
\vdots
\end{array}$
### Exempel: Uttryck $\sin(3\varphi)$ som polynom i $\sin\varphi$
Använd de Moivres formel: $\cos(3\varphi) + i\sin(3\varphi) = (\cos\varphi + i\sin\varphi)^3$
Utveckla högerledet med binomialsatsen (koefficienter från Pascals triangel: 1, 3, 3, 1): $(\cos\varphi + i\sin\varphi)^3 = \cos^3\varphi + 3\cos^2\varphi(i\sin\varphi) + 3\cos\varphi(i\sin\varphi)^2 + (i\sin\varphi)^3$
Förenkla med $i^2 = -1$ och $i^3 = -i$: $= \cos^3\varphi + 3i\cos^2\varphi\sin\varphi - 3\cos\varphi\sin^2\varphi - i\sin^3\varphi$
Gruppera real- och imaginärdel: $= (\cos^3\varphi - 3\cos\varphi\sin^2\varphi) + i(3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi)$
Identifiera imaginärdelen: $\sin(3\varphi) = 3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi$
Använd $\cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi$: $\sin(3\varphi) = 3(1 - \sin^2\varphi)\sin\varphi - \sin^3\varphi$ $= 3\sin\varphi - 3\sin^3\varphi - \sin^3\varphi$
$\boxed{\sin(3\varphi) = 3\sin\varphi - 4\sin^3\varphi}$
---
## Komplexvärda funktioner
### Definition
En **komplexvärd funktion** av en reell variabel är en funktion som tar ett reellt värde och ger ett komplext: $h: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$
### Funktionen $E(t)$
Definiera: $E(t) = \cos t + i\sin t$
Detta är en funktion $E: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$.
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
% Axlar
\draw[->, thick] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {Im};
% Enhetscirkel
\draw[gray] (0,0) circle (1);
% Punkter för olika t
\filldraw[blue] (1, 0) circle (2pt);
\node[blue] at (1.2, -0.2) {\small $E(0)$};
\filldraw[red] (0.707, 0.707) circle (2pt);
\node[red] at (0.95, 0.85) {\small $E(\pi/4)$};
\filldraw[green!60!black] (0, 1) circle (2pt);
\node[green!60!black] at (0.25, 1.15) {\small $E(\pi/2)$};
\filldraw[orange] (-1, 0) circle (2pt);
\node[orange] at (-1.25, 0.15) {\small $E(\pi)$};
% Rotationspil
\draw[->, purple, thick] (0.9, 0.3) arc (20:70:0.95);
\node[purple] at (0.4, 0.9) {\small $t$ ökar};
% Förklaring
\node at (0, -1.8) {$E(t)$ rör sig på enhetscirkeln};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
### Multiplikationsegenskap
$E(t_1) \cdot E(t_2) = (\cos t_1 + i\sin t_1)(\cos t_2 + i\sin t_2)$
Med multiplikationsregeln för polär form: $= \cos(t_1 + t_2) + i\sin(t_1 + t_2) = E(t_1 + t_2)$
**Alltså:** $\boxed{E(t_1) \cdot E(t_2) = E(t_1 + t_2)}$
Detta är samma regel som för exponentialfunktionen: $e^{a} \cdot e^{b} = e^{a+b}$!
### Derivatan av $E(t)$
$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t + i\sin t) = -\sin t + i\cos t$
Observera att: $i \cdot E(t) = i(\cos t + i\sin t) = i\cos t + i^2\sin t = -\sin t + i\cos t$
**Alltså:** $\boxed{E'(t) = i \cdot E(t)}$
Detta påminner om $\frac{d}{dt}e^{kt} = k \cdot e^{kt}$ med $k = i$.
---
## Eulers formel
### Taylorutveckling
Taylorutvecklingarna kring $x = 0$: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$
$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots$
$\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots$
### Härledning av Eulers formel
Sätt in $x = it$ i Taylorutvecklingen för $e^x$: $e^{it} = 1 + (it) + \frac{(it)^2}{2!} + \frac{(it)^3}{3!} + \frac{(it)^4}{4!} + \frac{(it)^5}{5!} + \cdots$
Använd $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$, ...: $= 1 + it - \frac{t^2}{2!} - i\frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + i\frac{t^5}{5!} - \cdots$
Gruppera reella och imaginära termer: $= \left(1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots\right)$
$= \cos t + i\sin t$
### Eulers formel
$\boxed{e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi}$
---
## Exempel med $e^{i\varphi}$
### a) $e^{2\pi i}$
$e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0 = \boxed{1}$
### b) $e^{i\pi}$ — Eulers identitet
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = \boxed{-1}$
Detta ger den berömda **Eulers identitet:** $e^{i\pi} + 1 = 0$
### c) $e^{i\pi/2}$
$e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = \boxed{i}$
### d) $i^i$ — En flervärd funktion
Skriv $i$ på exponentiell form. Eftersom $i = e^{i\pi/2}$: $i^i = \left(e^{i\pi/2}\right)^i = e^{i \cdot i\pi/2} = e^{-\pi/2} \approx \boxed{0.2079}$
**Men!** Argumentet för $i$ är flertydigt: $\arg(i) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ för alla $k \in \mathbb{Z}$.
Därför är $i^i$ en **flervärd funktion:** $i^i = e^{i(\pi/2 + 2\pi k) \cdot i} = e^{-\pi/2 - 2\pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}$
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
% Axlar
\draw[->, thick] (-2,0) -- (2,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-2) -- (0,2) node[above] {Im};
% Enhetscirkel
\draw[gray] (0,0) circle (1);
% i och dess ekvivalenta vinklar
\filldraw[blue] (0, 1) circle (2.5pt);
\node[blue] at (0.3, 1.2) {$i$};
% Vinklar
\draw[->, red, thick] (0.4, 0) arc (0:90:0.4);
\node[red] at (0.55, 0.55) {\small $\frac{\pi}{2}$};
\draw[->, orange, thick] (0.6, 0) arc (0:450:0.6);
\node[orange] at (-0.9, 0.3) {\small $\frac{\pi}{2} + 2\pi$};
% Förklaring
\node[align=left] at (4, 1) {$i = e^{i\pi/2}$};
\node[align=left] at (4, 0.3) {$i = e^{i({\pi/2 + 2\pi})}$};
\node[align=left] at (4, -0.4) {$i = e^{i({\pi/2 + 4\pi})}$};
\node[align=left] at (4, -1.1) {$\vdots$};
\node at (0, -2.5) {Samma punkt, olika argument!};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
De första värdena av $i^i$:
- $k = 0$: $e^{-\pi/2} \approx 0.208$
- $k = 1$: $e^{-\pi/2 - 2\pi} \approx 0.00039$
- $k = -1$: $e^{-\pi/2 + 2\pi} \approx 111.3$
Alla värden är **reella** (vilket är förvånande!).
---
## Konjugat och $e^{\pm i\varphi}$
### Sambandet mellan $e^{i\varphi}$ och $e^{-i\varphi}$
$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ $e^{-i\varphi} = \cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi) = \cos\varphi - i\sin\varphi$
**Observera:** $e^{-i\varphi} = \overline{e^{i\varphi}}$
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]
% Axlar
\draw[->, thick] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {Im};
% Enhetscirkel
\draw[gray] (0,0) circle (1);
% e^(i*phi)
\draw[->, blue, very thick] (0,0) -- (0.707, 0.707);
\filldraw[blue] (0.707, 0.707) circle (2pt);
\node[blue] at (1.0, 0.9) {$e^{i\varphi}$};
\draw[blue] (0.3, 0) arc (0:45:0.3);
\node[blue] at (0.45, 0.15) {\small $\varphi$};
% e^(-i*phi)
\draw[->, red, very thick] (0,0) -- (0.707, -0.707);
\filldraw[red] (0.707, -0.707) circle (2pt);
\node[red] at (1.0, -0.9) {$e^{-i\varphi}$};
\draw[red] (0.35, 0) arc (0:-45:0.35);
\node[red] at (0.5, -0.15) {\small $-\varphi$};
% Speglingslinje
\draw[gray, dashed, thick] (-1.2, 0) -- (1.2, 0);
\node[gray] at (1.4, -0.15) {\small Re-axeln};
% Speglingspilar
\draw[<->, purple, dashed] (0.707, 0.6) -- (0.707, -0.6);
\node[purple] at (1.1, 0) {\small konjugat};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
### Formler för cos och sin
Från $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ och $e^{-i\varphi} = \cos\varphi - i\sin\varphi$:
**Addition:** $e^{i\varphi} + e^{-i\varphi} = 2\cos\varphi \implies \boxed{\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}}$
**Subtraktion:** $e^{i\varphi} - e^{-i\varphi} = 2i\sin\varphi \implies \boxed{\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}}$
---
## Detaljerat räkneexempel
Beräkna: $\frac{(2+2i)(1+i\sqrt{3})}{3i(\sqrt{12}-2i)}$
### Steg 1: Skriv varje faktor på polär form
#### $z_1 = 2 + 2i$
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
% Axlar
\draw[->, thick] (-0.5,0) -- (3,0) node[right] {Re};
\draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,3) node[above] {Im};
% Punkten
\filldraw[blue] (2, 2) circle (2pt) node[above right] {$2 + 2i$};
\draw[dashed, gray] (2, 0) -- (2, 2);
\draw[dashed, gray] (0, 2) -- (2, 2);
% r och phi
\draw[red, thick, ->] (0,0) -- (2, 2);
\node[red] at (0.7, 1.3) {$r$};
\draw[orange] (0.5, 0) arc (0:45:0.5);
\node[orange] at (0.7, 0.25) {\small $\frac{\pi}{4}$};
\node at (1, -0.3) {$2$};
\node at (-0.3, 2) {$2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
$|z_1| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ $\arg(z_1) = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ $z_1 = 2\sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$
#### $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$
$|z_2| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ $\arg(z_2) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$ $z_2 = 2e^{i\pi/3}$
#### $z_3 = 3i$
$|z_3| = 3, \quad \arg(z_3) = \frac{\pi}{2}$ $z_3 = 3e^{i\pi/2}$
#### $z_4 = \sqrt{12} - 2i = 2\sqrt{3} - 2i$
$|z_4| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$ $\arg(z_4) = -\arctan\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}\right) = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$ $z_4 = 4e^{-i\pi/6}$
### Steg 2: Kombinera
**Täljaren:** $z_1 \cdot z_2 = 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot e^{i(\pi/4 + \pi/3)} = 4\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 7\pi/12}$
**Nämnaren:** $z_3 \cdot z_4 = 3 \cdot 4 \cdot e^{i(\pi/2 - \pi/6)} = 12 \cdot e^{i\pi/3}$
### Steg 3: Dividera
$\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4} = \frac{4\sqrt{2}}{12} \cdot e^{i(7\pi/12 - \pi/3)} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot e^{i(7\pi/12 - 4\pi/12)}$ $= \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot e^{i\pi/4}$
### Steg 4: Skriv på rektangulär form
$= \frac{\sqrt{2}}{3}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $= \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) = \frac{2}{6}(1 + i) = \boxed{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i}$
---
## Sammanfattning
|Begrepp|Formel|
|---|---|
|Polär form|$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}$|
|Multiplikation|$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$|
|Division|$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$|
|Argument för $z^n$|$\arg(z^n) = n\arg(z)$|
|Argument för $1/z$|$\arg(1/z) = -\arg(z)$|
|De Moivres formel|$(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)$|
|Eulers formel|$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$|
|Konjugatsamband|$e^{-i\varphi} = \overline{e^{i\varphi}}$|
|Cosinus|$\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}$|
|Sinus|$\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}$|
---
## Se även
- [[komplexa talplanet tikz]]
- [[Binomiska ekvationer]]
- [[Taylorutveckling]]