## Definition En **rotationsyta** är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en rät linje (axel) i samma plan som kurvan. Detta skapar en tredimensionell yta. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] % Axlar \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % Kurvan f(x) \draw[blue, very thick, domain=0.5:3.5, samples=100] plot (\x, {0.3*(\x-2)^2 + 0.8}); \node[blue] at (3.8, 1.5) {$y = f(x)$}; % Rotationsaxel (x-axeln) \node at (4.2, -0.3) {rotationsaxel}; % Pil som visar rotation \draw[->, thick, red] (2, 1.2) arc (90:270:0.3 and 1.2); \node[red] at (1.3, 0) {rotation}; % Streckad linje till kurvan \draw[dashed, gray] (2, 0) -- (2, 1.1); \node at (2.3, 0.5) {$r$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Exempel på rotationsytor:** - En **cylinder** uppkommer om en rät linje roterar kring en parallell axel - En **sfär** uppkommer om en halvcirkel roterar kring sin diameter - En **kon** uppkommer om en rät linje roterar kring en axel den skär --- ## Formel för rotationsarea ### Rotation kring x-axeln Om kurvan $y = f(x)$ roterar kring x-axeln i intervallet $[a, b]$, ges rotationsarean av: $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ ### Rotation kring y-axeln Om kurvan $x = g(y)$ roterar kring y-axeln i intervallet $[c, d]$, ges rotationsarean av: $A = 2\pi \int_c^d |g(y)| \sqrt{1 + [g'(y)]^2} , dy$ ### Rotation kring godtycklig horisontell linje $y = c$ $A = 2\pi \int_a^b |f(x) - c| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ --- ## Härledning ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] % Axlar \draw[->, thick] (-0.3,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.3) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % Kurvan \draw[blue, very thick, domain=0.8:4, samples=100] plot (\x, {0.2*(\x-2.5)^2 + 1}); % Litet bågelement \draw[red, ultra thick] (2.3, 1.01) -- (2.7, 1.01); \node[red] at (2.5, 1.3) {$\Delta s$}; % Radie till rotationsaxeln \draw[<->, green!50!black] (2.5, 0) -- (2.5, 1.01); \node[green!50!black] at (2.8, 0.5) {$f(x)$}; % Markera punkter \filldraw (2.3, 1.01) circle (1pt); \filldraw (2.7, 1.01) circle (1pt); % Cylinder-illustration \draw[dashed, gray] (2.3, 0) -- (2.3, 1.01); \draw[dashed, gray] (2.7, 0) -- (2.7, 1.01); \end{tikzpicture} \end{document} ``` ### Steg-för-steg härledning: 1. **Dela upp kurvan** i små bågelement $\Delta s$ 2. **Varje bågelement** kan ses som en kort rak linje som vid rotation bildar en cylindermantel 3. **Mantelarean** av en cylinder med höjd $h$ och radie $r$ är: $A_{\text{mantel}} = 2\pi r h$ 4. **För vårt bågelement:** radien är $|f(x)|$ och höjden är $\Delta s$: $\Delta A = 2\pi |f(x)| \cdot \Delta s$ 5. **Bågelementets längd** ges av: $\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \cdot \Delta x$ 6. **I gränsvärdet** får vi: $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 7. **Summation (integration)** ger slutformeln: $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ --- ## Exempel ### Exempel 1: Sfärens yta Beräkna ytan av en sfär med radie $R$ genom att rotera halvcirkeln $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ kring x-axeln. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.3] % Axlar \draw[->, thick] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,2.2) node[above] {$y$}; % Halvcirkel \draw[blue, very thick, domain=-2:2, samples=100] plot (\x, {sqrt(4 - \x*\x)}); % Radie \draw[red, thick] (0,0) -- (1.41, 1.41); \node[red] at (0.9, 0.5) {$R$}; % Markera punkter \filldraw (-2, 0) circle (1.5pt) node[below] {$-R$}; \filldraw (2, 0) circle (1.5pt) node[below] {$R$}; % Etikett \node[blue] at (1.8, 1.5) {$y = \sqrt{R^2 - x^2}$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** Derivatan av $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$: $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ Beräkna $1 + [f'(x)]^2$: $1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2 - x^2 + x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$ Alltså: $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ Integralen blir: $A = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} , dx = 2\pi \int_{-R}^{R} R , dx = 2\pi R \cdot 2R = \boxed{4\pi R^2}$ --- ### Exempel 2: Rotation av $y = x^3$ Beräkna arean av rotationsytan då $y = x^3$ roterar kring x-axeln i intervallet $[0, 1]$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=2] % Axlar \draw[->, thick] (-0.2,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.2) -- (0,1.3) node[above] {$y$}; % Kurvan y = x^3 \draw[blue, very thick, domain=0:1.1, samples=100] plot (\x, {\x*\x*\x}); % Markera intervall \filldraw (0, 0) circle (1pt) node[below left] {$0$}; \filldraw (1, 1) circle (1pt); \node at (1, -0.15) {$1$}; \node at (-0.15, 1) {$1$}; % Etikett \node[blue] at (0.5, 0.7) {$y = x^3$}; % Streckade linjer \draw[dashed, gray] (1, 0) -- (1, 1); \draw[dashed, gray] (0, 1) -- (1, 1); \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** Vi har $f(x) = x^3$, så $f'(x) = 3x^2$. $A = 2\pi \int_0^1 x^3 \sqrt{1 + 9x^4} , dx$ Substitution: $u = 1 + 9x^4 \Rightarrow du = 36x^3 , dx$ När $x = 0$: $u = 1$, när $x = 1$: $u = 10$ $A = 2\pi \cdot \frac{1}{36} \int_1^{10} \sqrt{u} , du = \frac{\pi}{18} \left[\frac{2}{3} u^{3/2}\right]_1^{10} = \frac{\pi}{27} \left(10^{3/2} - 1\right)$ $A = \boxed{\frac{\pi}{27}\left(10\sqrt{10} - 1\right)}$ --- ## Pappos-Guldins regel Ett alternativt sätt att beräkna rotationsarean är via **Pappos-Guldins regel**: > Om en kurva $\Gamma$ med båglängd $s$ roterar ett varv kring en linje $L$, ges rotationsarean av: $A = 2\pi \bar{r} \cdot s$ där $\bar{r}$ är avståndet från kurvans tyngdpunkt till rotationsaxeln. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] % Rotationsaxel \draw[thick] (0, -1.5) -- (0, 2.5); \node at (0.3, 2.3) {$L$}; % Kurvan \draw[blue, very thick] (2, 0.5) arc (0:180:0.8 and 0.5); \draw[blue, very thick] (0.4, 0.5) -- (0.4, 1.5); \draw[blue, very thick] (2, 0.5) -- (2, 1.5); \draw[blue, very thick] (0.4, 1.5) arc (180:360:0.8 and 0.5); % Tyngdpunkt \filldraw[red] (1.2, 1) circle (2pt); \node[red] at (1.5, 1.2) {tyngdpunkt}; % Avstånd till axeln \draw[<->, green!50!black] (0, 1) -- (1.2, 1); \node[green!50!black] at (0.6, 0.7) {$\bar{r}$}; % Rotationspil \draw[->, thick, orange] (1.2, -0.5) arc (-90:180:0.3 and 0.5); \end{tikzpicture} \end{document} ``` --- ## Sammanfattning |Rotation kring|Formel| |---|---| |x-axeln|$A = 2\pi \int_a^b \|f(x)\| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$| |y-axeln|$A = 2\pi \int_c^d \|g(y)\| \sqrt{1 + [g'(y)]^2} , dy$| |Linje $y = c$|$A = 2\pi \int_a^b \|f(x) - c\| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$| |Pappos-Guldin|$A = 2\pi \bar{r} \cdot s$| --- ## Se även - [[Rotationsvolym tikz]] - [[Båglängd tikz]] - [[Pappos-Guldins regel]]