## Definition **Båglängd** är längden av en kurva mellan två punkter. Detta är avståndet man skulle mäta om man lade en tråd längs kurvan och sedan rätade ut den. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] % Axlar \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,3) node[above] {$y$}; % Kurvan f(x) \draw[blue, very thick, domain=0.5:3.8, samples=100] plot (\x, {0.3*sin(\x*80)+1.5}); % Markera start och slut \filldraw[red] (0.5, {0.3*sin(0.5*80)+1.5}) circle (2pt) node[below left] {$A$}; \filldraw[red] (3.8, {0.3*sin(3.8*80)+1.5}) circle (2pt) node[above right] {$B$}; % Båglängd-pil \draw[->, thick, orange, decorate, decoration={snake, amplitude=0.5mm}] (0.5, {0.3*sin(0.5*80)+1.5}) -- (3.8, {0.3*sin(3.8*80)+1.5}); \node[orange] at (2.2, 2.3) {båglängd $s$}; % Rät sträcka för jämförelse \draw[dashed, gray, thick] (0.5, {0.3*sin(0.5*80)+1.5}) -- (3.8, {0.3*sin(3.8*80)+1.5}); \node[gray] at (2.2, 1.1) {\small rät sträcka}; % Funktionsetikett \node[blue] at (3.5, 2.5) {$y = f(x)$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` För en kurva är båglängden **alltid längre än eller lika med** det räta avståndet mellan ändpunkterna. --- ## Formel för båglängd ### För funktioner y = f(x) Om kurvan ges av $y = f(x)$ i intervallet $[a, b]$, beräknas båglängden som: $s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ ### För parametriserade kurvor Om kurvan ges parametriskt som $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ för $t \in [t_1, t_2]$: $s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} , dt = \int_{t_1}^{t_2} |\mathbf{r}'(t)| , dt$ ### För polära koordinater Om kurvan ges i polära koordinater som $r = r(\theta)$ för $\theta \in [\alpha, \beta]$: $s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} , d\theta$ --- ## Härledning ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] % Axlar \draw[->, thick] (-0.3,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.3) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % Kurvan \draw[blue, very thick, domain=0.8:4, samples=100] plot (\x, {0.2*(\x-2.5)^2 + 1}); % Litet bågelement \draw[red, ultra thick] (2.3, 1.01) -- (2.7, 1.01); % Visa dx och dy \draw[dashed, green!50!black] (2.3, 1.01) -- (2.7, 1.01); \draw[dashed, purple] (2.7, 1.01) -- (2.7, 1.05); % Rätvinklig triangel \draw[<->, green!50!black, thick] (2.3, 0.85) -- (2.7, 0.85); \node[green!50!black] at (2.5, 0.65) {$\Delta x$}; \draw[<->, purple, thick] (2.85, 1.01) -- (2.85, 1.05); \node[purple] at (3.15, 1.03) {$\Delta y$}; % Bågelementet \draw[<->, red, thick] (2.25, 1.15) -- (2.62, 1.15); \node[red] at (2.45, 1.35) {$\Delta s$}; % Markera punkter \filldraw (2.3, 1.01) circle (1pt); \filldraw (2.7, 1.05) circle (1pt); \end{tikzpicture} \end{document} ``` ### Steg-för-steg härledning: 1. **Dela upp kurvan** i små bågelement mellan $(x, y)$ och $(x + \Delta x, y + \Delta y)$ 2. **Pythagoras sats** ger bågelementets längd: $\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 3. **Faktorisera ut** $\Delta x$: $\Delta s = \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \cdot \Delta x$ 4. **I gränsvärdet** när $\Delta x \to 0$ får vi: $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx} = f'(x)$ 5. **Differentialen** blir: $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 6. **Integration** ger total båglängd: $s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ **Intuition:** Vi summerar oändligt många infinitesimala raka sträckor som tillsammans approximerar kurvan perfekt. --- ## Exempel ### Exempel 1: Cirkelbåge Beräkna längden av en kvartscirkel med radie $R$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] % Axlar \draw[->, thick] (-0.3,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.3) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % Kvartscirkeln \draw[blue, very thick, domain=0:2, samples=100] plot (\x, {sqrt(4 - \x*\x)}); % Radie \draw[red, thick] (0,0) -- (1.41, 1.41); \node[red] at (0.8, 0.5) {$R$}; % Markera punkter \filldraw[red] (0, 2) circle (1.5pt) node[left] {$(0, R)$}; \filldraw[red] (2, 0) circle (1.5pt) node[below] {$(R, 0)$}; % Båglängd \node[blue] at (1.3, 2.2) {$y = \sqrt{R^2 - x^2}$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** Kurvan är $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ för $x \in [0, R]$. Derivatan: $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ Beräkna uttrycket under roten: $1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$ Alltså: $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ Integralen: $s = \int_0^R \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} , dx = R \cdot \arcsin\left(\frac{x}{R}\right) \Bigg|_0^R = R \cdot \frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{\pi R}{2}}$ Detta stämmer med formeln för en kvartscirkels omkrets! --- ### Exempel 2: Parabelbåge Beräkna båglängden av $y = x^2$ från $x = 0$ till $x = 1$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=2.5] % Axlar \draw[->, thick] (-0.2,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.2) -- (0,1.3) node[above] {$y$}; % Parabeln \draw[blue, very thick, domain=0:1.1, samples=100] plot (\x, {\x*\x}); % Markera intervall \filldraw[red] (0, 0) circle (0.7pt) node[below left] {$(0,0)$}; \filldraw[red] (1, 1) circle (0.7pt) node[above right] {$(1,1)$}; % Streckade linjer \draw[dashed, gray] (1, 0) -- (1, 1); \draw[dashed, gray] (0, 1) -- (1, 1); \node at (1, -0.15) {$1$}; \node at (-0.15, 1) {$1$}; % Etikett \node[blue] at (0.5, 0.65) {$y = x^2$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** Vi har $f(x) = x^2$, så $f'(x) = 2x$. $s = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} , dx$ Substitution: $x = \frac{1}{2}\tan u \Rightarrow dx = \frac{1}{2}\sec^2 u , du$ När $x = 0$: $u = 0$, när $x = 1$: $u = \arctan(2)$ $1 + 4x^2 = 1 + \tan^2 u = \sec^2 u$ $s = \int_0^{\arctan 2} \sec u \cdot \frac{1}{2}\sec^2 u , du = \frac{1}{2}\int_0^{\arctan 2} \sec^3 u , du$ Efter integration (med partiell integration eller tabell): $s = \boxed{\frac{1}{2}\left(\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})\right)} \approx 1.478$ --- ### Exempel 3: Parametriserad kurva Beräkna längden av cirkeln $\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)$ för $t \in [0, 2\pi]$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.3] % Axlar \draw[->, thick] (-2.3,0) -- (2.3,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-2.3) -- (0,2.3) node[above] {$y$}; % Cirkeln \draw[blue, very thick] (0,0) circle (2); % Radie \draw[red, thick, ->] (0,0) -- (1.41, 1.41); \node[red] at (0.9, 0.5) {$R$}; % Parametrisering \draw[->, green!50!black, very thick] (2, 0) arc (0:45:2); \node[green!50!black] at (1.8, 0.8) {$t$}; % Punkt på cirkeln \filldraw[red] (1.41, 1.41) circle (2pt); \node[red] at (2, 1.7) {$(R\cos t, R\sin t)$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** Derivera positionsvektorn: $\mathbf{r}'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ Beräkna längden av derivatan: $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t} = \sqrt{R^2} = R$ Integralen blir mycket enkel: $s = \int_0^{2\pi} R , dt = R \cdot 2\pi = \boxed{2\pi R}$ Detta är naturligtvis omkretsen av en cirkel! --- ### Exempel 4: Polära koordinater - Archimedisk spiral Beräkna båglängden av spiralen $r = \theta$ från $\theta = 0$ till $\theta = 2\pi$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] % Axlar \draw[->, thick] (-1,0) -- (7.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-7) -- (0,7.5) node[above] {$y$}; % Spiralen \draw[blue, very thick, domain=0:720, samples=200] plot ({\x}:{0.01*\x}); % Några radiella linjer \foreach \angle in {0, 90, 180, 270} { \draw[gray, dashed] (0,0) -- (\angle:6.3); } % Etikett \node[blue] at (4, 5) {$r = \theta$}; % Markera slutpunkt \filldraw[red] (360:6.28) circle (3pt); \node[red] at (5, -4) {$\theta = 2\pi$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` **Lösning:** För $r = \theta$ är $\frac{dr}{d\theta} = 1$. $s = \int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} , d\theta$ Substitution: $\theta = \sinh u \Rightarrow d\theta = \cosh u , du$ $s = \int_0^{\text{arcsinh}(2\pi)} \cosh^2 u , du$ Efter beräkning (eller med CAS): $s = \boxed{\frac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{4\pi^2+1} + \ln(2\pi + \sqrt{4\pi^2+1})\right)} \approx 21.26$ --- ## Speciella formler ### Rät linje Mellan $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$: $s = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ ### Cirkel med radie R Full omkrets: $s = 2\pi R$ ### Ellips Med halvaxlar $a$ och $b$, omkretsen är **inte elementär**! Approximation: $s \approx \pi\left(3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right)$ Exakt värde kräver elliptiska integraler. --- ## Koppling till rotationsyta Observera att formeln för rotationsyta innehåller båglängden: $A_{\text{rotation}} = 2\pi \int_a^b |f(x)| \underbrace{\sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx}_{= , ds}$ Man kan skriva detta som: $A = 2\pi \int |f(x)| , ds$ Detta visar att **rotationsarean är summan av cirkelomkretsar** längs kurvan! ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.1] % Båglängdselement på kurvan \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.3) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; % Kurvan \draw[blue, very thick, domain=0.8:3.5, samples=100] plot (\x, {0.3*(\x-2)^2 + 1}); % Litet bågelement \draw[red, ultra thick] (2.3, 1.03) -- (2.5, 1.01); \node[red] at (2.4, 1.3) {$ds$}; % Radie till x-axeln \draw[green!50!black, thick] (2.4, 0) -- (2.4, 1.02); \node[green!50!black] at (2.7, 0.5) {$f(x)$}; % Cirkelomkrets vid rotation \draw[orange, thick, ->] (2.4, 1.02) arc (90:270:0.2 and 1.02); \node[orange] at (1.6, 1) {$2\pi f(x)$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` --- ## Sammanfattning |Typ av kurva|Formel| |---|---| |Funktion $y = f(x)$|$s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$| |Parametriserad $\mathbf{r}(t)$|$s = \int_{t_1}^{t_2} \|\mathbf{r}'(t)\| , dt$| |Polära koordinater $r(\theta)$|$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (r')^2} , d\theta$| **Grundprincip:** $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ --- ## Se även - [[Rotationsyta tikz]] - [[Rotationsvolym tikz]] - [[Parametriserade kurvor]] - [[Polära koordinater]]