# Termodynamik för ideala gaser ## Grundläggande begrepp ### Vad är en ideal gas? > [!abstract]- Definition: Ideal gas En **ideal gas** är en teoretisk modell där: > > 1. Molekylerna är punktformiga (ingen volym) > 2. Molekylerna interagerar inte med varandra (ingen potentiell energi) > 3. Kollisioner är perfekt elastiska > > **Ideala gaslagen:** $pV = nRT$ där: > > - $p$ = tryck (Pa) > - $V$ = volym (m³) > - $n$ = substansmängd (mol) > - $R = 8.314$ J/(mol·K) = gaskonstanten > - $T$ = absolut temperatur (K) ### Temperatur och molekylrörelse Temperaturen är ett mått på molekylernas **genomsnittliga kinetiska energi**: $K_{tr} = \frac{3}{2}k_BT$ där $k_B = 1.381 \times 10^{-23}$ J/K är Boltzmanns konstant. > [!important] Koppling till ideal gas $k_B = R/N_A$ där $N_A$ är Avogadros tal. > > Alltså: $K_{tr} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T$ --- ## 19.6 Inre energi för en ideal gas ### Definition Den **inre energin** $U$ är den totala energin som finns lagrad i gasen — summan av alla molekylers kinetiska och potentiella energi. ### Inre energi för ideal gas > [!info]- SATS: Inre energi beror endast på temperatur För en **ideal gas** gäller: $U = U(T) \text{ endast}$ > > Den inre energin är **oberoende av tryck och volym**. > > **Motivering:** > > 1. Temperaturen avgör molekylernas hastighet: $K_{tr} = \frac{3}{2}k_BT$ > 2. I en ideal gas finns ingen potentiell energi (molekylerna interagerar inte) > 3. Alltså beror all energi på hur fort molekylerna rör sig = temperaturen > [!example]- Konsekvens: Isoterm expansion Om en ideal gas expanderar vid **konstant temperatur** (isoterm process): > > - Molekylernas fart ändras inte > - Ingen potentiell energi finns att ändra > - **Slutsats:** $\Delta U = 0$ vid isoterm process för ideal gas --- ## 19.7 Värmekapacitet för ideal gas ### Värme och temperaturändring När vi tillför värme $Q$ till ett system ändras temperaturen: $Q = nC\Delta T$ där $C$ är den **molära värmekapaciteten** (J/(mol·K)). ### Två typer av värmekapacitet Beroende på **hur** vi tillför värmen får vi olika värmekapaciteter: |Process|Beteckning|Villkor| |:--|:-:|:--| |Konstant volym|$C_V$|Gasen kan inte expandera| |Konstant tryck|$C_p$|Gasen kan expandera fritt| ![[plot_cp_cv.png|700]] ### Varför är $C_p > C_V$? > [!tip]- Förklaring: Energifördelning **Vid konstant volym ($V$ = konst):** > > - Gasen kan inte utföra arbete ($W = 0$) > - All tillförd värme går till att öka inre energin > - $Q_V = \Delta U$ > > **Vid konstant tryck ($p$ = konst):** > > - Gasen expanderar och utför arbete $W = p\Delta V > 0$ > - Tillförd värme måste räcka till BÅDE inre energi OCH arbete > - $Q_p = \Delta U + W$ > > **Slutsats:** För samma $\Delta T$ krävs mer värme vid konstant tryck: $Q_p > Q_V \implies C_p > C_V$ ### Härledning av sambandet $C_p = C_V + R$ > [!success]- HÄRLEDNING: $C_p = C_V + R$ > > **Steg 1: Isokor process (V = konstant)** > > $dW = pdV = 0$ (ingen volymändring) > > Första huvudsatsen: $dQ = dU + dW$ $dQ_V = dU$ > > Med $dQ_V = nC_V dT$: $\boxed{dU = nC_V dT} \quad (\star)$ > > --- > > **Steg 2: Isobar process (p = konstant)** > > $dQ_p = nC_p dT$ > > Arbete: $dW = pdV$ > > Från ideala gaslagen $pV = nRT$ med $p$ = konstant: $pdV = nRdT \implies dW = nRdT$ > > --- > > **Steg 3: Kombinera med första huvudsatsen** > > $dQ_p = dU + dW$ > > Eftersom $dU$ endast beror på $T$ för ideal gas: $dU_p = dU_V = nC_V dT$ > > $nC_p dT = nC_V dT + nRdT$ > > Dividera med $ndT$: $\boxed{C_p = C_V + R} \quad (\star\star)$ > [!note] Viktigt Sambandet $C_p = C_V + R$ gäller exakt för ideala gaser och är en bra approximation även för verkliga gaser vid låga tryck. --- ## Värmekapacitetskvoten $\gamma$ ### Definition > [!abstract]- Definition: Adiabatindex **Värmekapacitetskvoten** (eller adiabatindex) definieras som: $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{c_p}{c_v}$ > > (Liten $c$ betecknar specifik värmekapacitet per massenhet) Eftersom $C_p > C_V$ för alla gaser gäller alltid: $\gamma > 1$ ### Värden för olika gastyper > [!info]- Tabell: Värmekapaciteter för ideala gaser > > |Gastyp|Frihetsgrader $f$|$C_V$|$C_p$|$\gamma$| > |:--|:-:|:-:|:-:|:-:| > |Monoatomär (He, Ne, Ar)|3|$\frac{3}{2}R$|$\frac{5}{2}R$|$\frac{5}{3} \approx 1.67$| > |Diatomär (N₂, O₂, H₂)|5|$\frac{5}{2}R$|$\frac{7}{2}R$|$\frac{7}{5} = 1.40$| > |Fleratomär (CO₂, H₂O)|6|$3R$|$4R$|$\frac{4}{3} \approx 1.33$| > > **Formel:** $C_V = \frac{f}{2}R$ där $f$ = antal frihetsgrader > [!example]- Räkneexempel: Monoatomär gas För en monoatomär ideal gas (t.ex. helium): > > $C_V = \frac{3}{2}R$ > > $C_p = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ > > $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ --- ## De fyra termodynamiska processerna ### Översikt ![[plot_pv_processer.png|700]] |Process|Villkor|Karakteristik| |:--|:-:|:--| |**Isoterm**|$T$ = konst|$pV$ = konst| |**Isobar**|$p$ = konst|$V/T$ = konst| |**Isokor**|$V$ = konst|$p/T$ = konst| |**Adiabatisk**|$Q = 0$|$pV^\gamma$ = konst| ### Sammanfattning: Arbete och värme > [!info]- Tabell: Formler för olika processer (ideal gas) > > |Process|Arbete $W$|Värme $Q$|Ändring i inre energi $\Delta U$| > |:--|:-:|:-:|:-:| > |Isoterm|$nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$|$nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$|$0$| > |Isobar|$p\Delta V = nR\Delta T$|$nC_p\Delta T$|$nC_V\Delta T$| > |Isokor|$0$|$nC_V\Delta T$|$nC_V\Delta T$| > |Adiabatisk|$-nC_V\Delta T$|$0$|$nC_V\Delta T$| --- ## 19.8 Adiabatiska processer för ideala gaser ### Definition > [!abstract]- Definition: Adiabatisk process En **adiabatisk process** är en process där **inget värme utbyts** med omgivningen: $Q = 0$ > > Detta kan ske genom: > > 1. Perfekt isolering > 2. Snabb process (värme hinner inte utbytas) ### Första huvudsatsen för adiabatisk process Med $Q = 0$: $Q = \Delta U + W = 0 \implies \boxed{\Delta U = -W} \quad (\star\star\star)$ > [!important] Tolkning > > - **Expansion** ($W > 0$): Gasen utför arbete → $\Delta U < 0$ → gasen **kyls** > - **Kompression** ($W < 0$): Arbete utförs på gasen → $\Delta U > 0$ → gasen **värms** ### Härledning av Poissons lag > [!success]- HÄRLEDNING: $TV^{\gamma-1} = \text{konstant}$ > > **Utgångspunkt:** Kombinera $(\star)$ och $(\star\star\star)$ > > $dU = nC_V dT \quad \text{och} \quad dU = -dW = -pdV$ > > $nC_V dT = -pdV$ > > **Använd ideala gaslagen:** $p = \frac{nRT}{V}$ > > $nC_V dT = -\frac{nRT}{V}dV$ > > **Dividera med $nT$:** $C_V \frac{dT}{T} = -R\frac{dV}{V}$ > > $\frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_V}\frac{dV}{V} \quad (\star\star\star\star)$ > > **Uttryck $R/C_V$ med hjälp av $\gamma$:** > > Från $C_p = C_V + R$: $R = C_p - C_V$ $\frac{R}{C_V} = \frac{C_p - C_V}{C_V} = \frac{C_p}{C_V} - 1 = \gamma - 1$ > > **Sätt in i $(\star\star\star\star)$:** $\frac{dT}{T} = -(\gamma - 1)\frac{dV}{V}$ > > **Integrera båda sidor:** $\ln T = -(\gamma-1)\ln V + \text{konst}$ $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{konst}$ $\ln(T \cdot V^{\gamma-1}) = \text{konst}$ > > $\boxed{TV^{\gamma-1} = \text{konstant}}$ ### Poissons lagar > [!tip]- Poissons lagar för adiabatiska processer > > **Form 1: Temperatur och volym** $TV^{\gamma-1} = \text{konst} \implies T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$ > > **Form 2: Tryck och volym** (härlett via ideala gaslagen $T = pV/nR$) $pV^\gamma = \text{konst} \implies p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$ > > **Form 3: Tryck och temperatur** $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{konst} \implies T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$ ### Jämförelse: Isoterm vs Adiabat ![[plot_isoterm_vs_adiabat.png|700]] > [!note] Varför är adiabaten brantare? > > - **Isoterm:** $pV = \text{konst}$ → $p \propto V^{-1}$ > - **Adiabat:** $pV^\gamma = \text{konst}$ → $p \propto V^{-\gamma}$ > > Eftersom $\gamma > 1$ avtar trycket **snabbare** vid adiabatisk expansion. > > **Fysikalisk förklaring:** Vid adiabatisk expansion kyls gasen (ingen värme tillförs), vilket ger lägre tryck än vid isoterm expansion där temperaturen hålls konstant. ### Arbete vid adiabatisk process > [!success]- HÄRLEDNING: Arbete > > Från första huvudsatsen med $Q = 0$: $W = -\Delta U = -nC_V\Delta T = -nC_V(T_2 - T_1) = nC_V(T_1 - T_2)$ > > **Alternativ form med tryck och volym:** > > Från ideala gaslagen: $T = \frac{pV}{nR}$ > > $W = nC_V\left(\frac{p_1V_1}{nR} - \frac{p_2V_2}{nR}\right) = \frac{C_V}{R}(p_1V_1 - p_2V_2)$ > > Eftersom $\frac{C_V}{R} = \frac{C_V}{C_p - C_V} = \frac{1}{\gamma - 1}$: > > $\boxed{W = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1} = \frac{1}{\gamma-1}(p_1V_1 - p_2V_2)}$ --- ## Arbete som area under kurvan ![[plot_arbete.png]] > [!important] Geometrisk tolkning Arbetet som utförs av gasen vid en process från tillstånd 1 till tillstånd 2 är **arean under kurvan** i ett pV-diagram: $W = \int_{V_1}^{V_2} p , dV$ --- ## Övning 19.32: Fullständig lösning > [!question] Uppgift En cylinder innehåller $n = 0.100$ mol av en ideal **monoatomär** gas. Initialt är gasen vid $p_1 = 1.00 \times 10^5$ Pa och upptar volymen $V_1 = 2.50 \times 10^{-3}$ m³. > > **(a)** Bestäm gasens initiala temperatur i Kelvin. > > **(b)** Om gasen tillåts expandera till dubbla volymen ($V_2 = 2V_1$), bestäm sluttemperatur och sluttryck om expansionen är: > > - (i) Isoterm > - (ii) Isobar > - (iii) Adiabatisk ### Lösning > [!example]- (a) Initial temperatur > > **Använd ideala gaslagen:** $pV = nRT$ > > $T_1 = \frac{p_1 V_1}{nR} = \frac{(1.00 \times 10^5)(2.50 \times 10^{-3})}{(0.100)(8.314)}$ > > $T_1 = \frac{250}{0.8314} = \boxed{300.7 \text{ K}}$ > [!example]- (b-i) Isoterm expansion > > **Villkor:** $T = \text{konstant} \implies T_2 = T_1$ > > $\boxed{T_2 = 300.7 \text{ K}}$ > > **Tryck:** Från $p_1V_1 = p_2V_2$ (isoterm) > > $p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = p_1 \cdot \frac{V_1}{2V_1} = \frac{p_1}{2}$ > > $p_2 = \frac{1.00 \times 10^5}{2} = \boxed{5.00 \times 10^4 \text{ Pa} = 50.0 \text{ kPa}}$ > [!example]- (b-ii) Isobar expansion > > **Villkor:** $p = \text{konstant} \implies p_2 = p_1$ > > $\boxed{p_2 = 1.00 \times 10^5 \text{ Pa} = 100 \text{ kPa}}$ > > **Temperatur:** Från $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ (isobar) > > $T_2 = T_1 \cdot \frac{V_2}{V_1} = T_1 \cdot \frac{2V_1}{V_1} = 2T_1$ > > $T_2 = 2 \times 300.7 = \boxed{601.4 \text{ K}}$ > [!example]- (b-iii) Adiabatisk expansion > > **För monoatomär gas:** $\gamma = \frac{5}{3}$ > > **Tryck:** Från Poissons lag $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$ > > $p_2 = p_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = p_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{5/3}$ > > $p_2 = (1.00 \times 10^5) \cdot 2^{-5/3} = (1.00 \times 10^5) \cdot 0.315$ > > $\boxed{p_2 = 3.15 \times 10^4 \text{ Pa} = 31.5 \text{ kPa}}$ > > **Temperatur:** Från $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$ > > $T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = T_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}$ > > $T_2 = 300.7 \cdot 2^{-2/3} = 300.7 \cdot 0.630$ > > $\boxed{T_2 = 189.5 \text{ K}}$ ### pV-diagram för övningen ![[plot_ovn1932.png|700]] ### Sammanfattning av resultat |Process|$T_2$ (K)|$p_2$ (kPa)|Kommentar| |:--|:-:|:-:|:--| |**(i) Isoterm**|300.7|50.0|$T$ oförändrad| |**(ii) Isobar**|601.4|100|$p$ oförändrad, $T$ fördubblas| |**(iii) Adiabat**|189.5|31.5|Gasen kyls vid expansion| > [!note] Observation Vid samma volymökning: > > - **Isobar:** Högst sluttemperatur (värme tillförs) > - **Isoterm:** Oförändrad temperatur (värme tillförs för att kompensera arbete) > - **Adiabat:** Lägst sluttemperatur (ingen värme tillförs, gasen kyls) --- ## Checklista: Lösa termodynamik-problem > [!check]- Steg-för-steg > > 1. ☐ Identifiera **vilken process** det handlar om: > > - $T$ = konst → Isoterm > - $p$ = konst → Isobar > - $V$ = konst → Isokor > - $Q$ = 0 → Adiabatisk > 2. ☐ Skriv upp **rätt samband** för processen: > > - Isoterm: $p_1V_1 = p_2V_2$ > - Isobar: $V_1/T_1 = V_2/T_2$ > - Isokor: $p_1/T_1 = p_2/T_2$ > - Adiabat: $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$ eller $T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$ > 3. ☐ Använd **ideala gaslagen** $pV = nRT$ vid behov > > 4. ☐ Använd **första huvudsatsen** $Q = \Delta U + W$: > > - $\Delta U = nC_V\Delta T$ (alltid för ideal gas) > - $W = \int p,dV$ (beror på process) > 5. ☐ Kontrollera enheter och rimlighet! > --- ## Viktiga formler att memorera > [!abstract]- Formelsamling: Termodynamik för ideala gaser > > **Ideala gaslagen:** $pV = nRT$ > > **Inre energi:** $U = nC_VT, \quad \Delta U = nC_V\Delta T$ > > **Första huvudsatsen:** $Q = \Delta U + W$ > > **Värmekapaciteter:** $C_p = C_V + R, \quad \gamma = \frac{C_p}{C_V}$ > > **Monoatomär gas:** $C_V = \frac{3}{2}R$, $\gamma = \frac{5}{3}$ > > **Diatomär gas:** $C_V = \frac{5}{2}R$, $\gamma = \frac{7}{5}$ > > **Poissons lagar (adiabat):** $pV^\gamma = \text{konst}, \quad TV^{\gamma-1} = \text{konst}$ > > **Arbete:** > > - Isoterm: $W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$ > - Isobar: $W = p\Delta V$ > - Isokor: $W = 0$ > - Adiabat: $W = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1}$ > $$