# Energi ## Mekaniska energiprincipen (Energisatsen) $K_1 + V_{g1} + V_{e1} = K_2 + V_{g2} + V_{e2} + W_{\text{övr}}$ ### Energiformer **Kinetisk energi (K):** $K = \frac{mv^2}{2}$ **Gravitationspotentiell energi ($V_g$):** $V_g = mgh$ **Elastisk energi ($V_e$):** $V_e = \frac{kx^2}{2}$ där $k$ är fjäderkonstanten och $x$ är fjäderns utdragning. **Arbete av övriga krafter ($W_{\text{övr}}$):** $W_{\text{övr}} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ Exempel på övriga krafter: friktionskraft, luftmotstånd, spännkraft m.fl. ### Tillämpning: Energiprincipen används för att analysera energiomvandlingar mellan två tillstånd (tillstånd 1 och tillstånd 2). Den totala mekaniska energin bevaras om inga icke-konservativa krafter (som friktion) utför arbete. --- ## [[University Physics with Modern Physics in SI Units.pdf#page=203&selection=225,0,225,9|6.1 Arbete]] ### Mekaniskt arbete vid konstant kraft: $W = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot s \cdot \cos\phi$ där $\phi$ är vinkeln mellan kraften och förflyttningen. **Specialfall:** Om $\phi = 0°$ (kraft och förflyttning parallella): $W = F \cdot s$ ### Tolkning av skalärprodukten: $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot s \cdot \cos\phi$ kan ses som: - Sträckans komponent i kraftens riktning, eller - Kraftens komponent i sträckans riktning **Observera:** Om kraften är motriktad mot sträckan blir arbetet negativt. --- ## [[University Physics with Modern Physics in SI Units.pdf#page=206&annotation=26823R|6.2 Kinetisk energi och arbete]] ### Exempel: En låda med massa $m$ flyttar sig sträckan $s$ ![[Pasted image 20251114105140.png]] **Givna förutsättningar:** - $F, m = \text{konstant}$ - $\sum F = ma \implies a = \text{konstant}$ **Härledning:** Från rörelselagen för konstant acceleration: $v_2^2 = v_1^2 + 2a(x_2 - x_1)$ vilket ger: $a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2s}$ **Newtons andra lag ($N_{II}$):** $\sum F_x = m \cdot a_x$ Multiplicera båda sidor med sträckan $s$: $\sum F_x \cdot s = m \cdot a_x \cdot s$ Substituera uttrycket för $a$: $\sum F_x \cdot s = m \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2s} \cdot s = m \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$ **Resultat - Arbete-energisatsen:** $W = K_2 - K_1$ där den kinetiska energin är: $K = \frac{mv^2}{2}$ Detta visar sambandet mellan arbete och förändring i kinetisk energi. --- ## [[University Physics with Modern Physics in SI Units.pdf#page=211&annotation=26861R|6.3 Arbete och energi vid varierande kraft ]] ### Allmänt fall: När kraften varierar längs vägen måste vi integrera: $W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F} \cdot d\vec{s}$ ### När kraften ligger i sträckans riktning: $W = \int_{s_1}^{s_2} F \, ds$ **Vid konstant kraft:** $W = \int_{s_1}^{s_2} F \, ds = F(s_2 - s_1) = F \cdot s$ ### Arbete för en liten sträcka: För en infinitesimal sträcka $d\vec{s}$ blir arbetet: $dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$ Detta kan integreras över hela banan för att få totalt arbete. ### Exempel: Fjäder En fjäder som töjs eller trycks ihop från sitt ospända läge. **Fjäderkraft (Hookes lag):** $F = -kx$ där: - $k$ = fjäderkonstant (N/m) - $x$ = avstånd från jämviktsläget - Minustecknet visar att kraften är återställande **Arbete för att töja/trycka ihop fjädern från $x_1$ till $x_2$:** $W = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}$ **Från ospänt läge ($x_1 = 0$) till utdragning $x$:** $W = \frac{kx^2}{2} = V_e$ Detta är den elastiska potentiella energin lagrad i fjädern. --- ## [[University Physics with Modern Physics in SI Units.pdf#page=217&annotation=26926R|6.4 Effekt]] **Definition:** Effekt är arbete per tidsenhet: $P = \frac{W}{t}$ **Enhet:** Watt (W) = J/s **Momentan effekt:** $P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ där $\vec{v}$ är hastigheten. **Specialfall:** Om kraft och hastighet är parallella: $P = F \cdot v$ **Genomsnittlig effekt:** $P_{\text{medel}} = \frac{W_{\text{totalt}}}{t}$ ---