# Fourierserier — funktionsapproximation med trigonometriska funktioner > **Föreläsning:** V7L3 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Ortogonal projektion ([[V6L3 M0067M]]), inre produktrum ([[V6L2 M0067M]]), minsta kvadratmetoden ([[V7L2 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | | --------------------------- | ----------------------------- | | Fourierserie | Fourier series | | Fourierkoefficient | Fourier coefficient | | Fourierpolynom | Fourier polynomial | | Trigonometrisk funktion | Trigonometric function | | Ortonormal bas | Orthonormal basis | | Ortogonal projektion | Orthogonal projection | | Kontinuerlig funktion | Continuous function | | Kvadratintegrerbar funktion | Square-integrable function | | Bästa approximation | Best approximation | | Konvergens | Convergence | --- ## 1. Funktionsrum och skalärprodukt ### 1.1 Rummen vi arbetar i Vi betraktar funktioner definierade på intervallet $[-\pi, \pi]$: - **$C[-\pi, \pi]$** — rummet av alla kontinuerliga funktioner $f : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$. - **$L_2([-\pi, \pi])$** — rummet av alla kvadratintegrerbara funktioner, dvs. funktioner $f$ sådana att $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx < \infty$. Rummet $L_2$ är större än $C$ — det innehåller även funktioner med ändligt många hopp (t.ex. fyrkantsvåg). ### 1.2 Skalärprodukt via integration På dessa funktionsrum definierar vi skalärprodukten: $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,g(x)\,dx$ Denna skalärprodukt mäter "överlappet" mellan $f$ och $g$ — två funktioner är ortogonala ($\langle f, g \rangle = 0$) om deras produkt integrerar till noll över intervallet. --- ## 2. Fourier-basfunktioner ### 2.1 Trigonometrisk bas Definiera mängden av $2n + 1$ funktioner: $B_n = \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\; \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}},\; \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}},\; \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}},\; \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}},\; \ldots,\; \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}},\; \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}\right\}$ och låt $W_n = \text{span}(B_n)$ vara det ändligtdimensionella underrummet som spänns upp av dessa funktioner. Rummet $W_n$ kallas rummet av **trigonometriska polynom** av grad $\leq n$. > [!theorem] Sats > $B_n$ är en **ortonormal bas** för $W_n$ med avseende på skalärprodukten $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,g(x)\,dx$. **Verifiering (nyckelberäkningar):** De centrala ortogonalitetsrelationerna är: $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi & m = n \neq 0 \end{cases}$ $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi & m = n \neq 0 \end{cases}$ $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\sin(nx)\,dx = 0 \quad \text{för alla } m, n$ $\int_{-\pi}^{\pi} 1^2\,dx = 2\pi$ Normaliseringsfaktorerna $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ och $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ gör att varje basfunktion får norm $1$. **Tolkning:** Sinus- och cosinusfunktionerna med olika frekvenser är *naturligt ortogonala* — deras produkter integrerar till noll över en hel period. Detta är den fundamentala egenskapen som gör Fourier-analys möjlig. --- ## 3. Fourier-approximation som ortogonal projektion ### 3.1 Bästa approximation Givet en funktion $f \in L_2([-\pi, \pi])$ söker vi det trigonometriska polynom i $W_n$ som ligger **närmast** $f$. Från ortogonalprojektionssatsen vet vi att svaret är: $\text{proj}_{W_n}\,f$ Eftersom $B_n$ är en **ortonormal bas** för $W_n$ ges projektionen direkt av: $\text{proj}_{W_n}\,f = \langle f, e_0 \rangle\,e_0 + \sum_{k=1}^{n}\Big(\langle f, c_k \rangle\,c_k + \langle f, s_k \rangle\,s_k\Big)$ där $e_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $c_k = \frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}$, $s_k = \frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}$. ### 3.2 Fourierkoefficienter De skalärprodukterna i projektionsformeln kallas **Fourierkoefficienter**. I traditionell notation skriver man Fourierserien som: $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k \cos kx + b_k \sin kx\big)$ där koefficienterna beräknas av: $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$ $a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx)\,dx, \qquad k \geq 1$ $b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx)\,dx, \qquad k \geq 1$ **Tolkning:** Fourierkoefficienterna mäter hur mycket av varje frekvenskomponent som finns i $f$. Koefficienten $a_k$ anger bidraget av $\cos kx$ (svängning med frekvens $k$), och $b_k$ anger bidraget av $\sin kx$. Detta är exakt samma princip som ortogonal projektion i $\mathbb{R}^n$ — koordinaterna i en ortonormal bas fås genom skalärprodukter. --- ## 4. Fysikalisk motivation — gitarrsträngen > [!example]- Exempel: Svängande gitarrsträng > En gitarrsträng som knäpps sätts i svängning. Strängens form $f(x)$ vid ett visst ögonblick kan beskrivas som en superposition av **stående vågor** (harmoniska övertoner): > > $f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(kx)$ > > - $k = 1$: grundtonen (lägsta frekvensen) > - $k = 2$: första övertonen (dubbla frekvensen) > - $k = 3$: andra övertonen, osv. > > Fourierkoefficienterna $b_k$ avgör hur starkt varje överton bidrar — de bestämmer klangfärgen (timbren). En flöjt har nästan bara grundton ($b_1$ dominerar), medan en gitarr har rika övertoner (många $b_k$ är signifikanta). > > Fourierserien är alltså den matematiska formaliseringen av att varje ljud kan brytas ned i sina frekvenskomponenter. --- ## 5. Konvergens — Carleson–Jacobs sats En central fråga: konvergerar Fourierserien tillbaka mot $f$ när $n \to \infty$? > [!theorem] Sats: Carleson–Jacobs (Carlesons sats, 1966) > Om $f \in L_2([-\pi, \pi])$ (dvs. $\int_{-\pi}^{\pi} |f|^2 < \infty$), så konvergerar Fourierserien mot $f(x)$ **nästan överallt** — dvs. för alla $x$ utom möjligen en mängd av mått noll. **Tolkning:** Fourierserien fångar funktionen "fullständigt" — genom att ta med tillräckligt många termer kan vi approximera $f$ godtyckligt noga (i $L_2$-mening). Satsen säger att det inte bara handlar om bästa approximation i medelkvadratisk mening, utan att den partiella summan faktiskt konvergerar **punktvis** nästan överallt. > [!note] Historisk kontext > Lennart Carleson (svensk matematiker, medaljerat med Abelspriset 2006) bevisade denna sats 1966. Den betraktas som ett av 1900-talets mest tekniskt svåra bevis inom analys. Frågan hade varit öppen sedan Fourier introducerade sina serier på 1800-talet. --- ## 6. Sammanfattning | Begrepp | Formel / Betydelse | |---------|---------------------| | Skalärprodukt | $\langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx$ | | ON-bas $B_n$ | $\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}\right\}$ | | Fourier-approximation | $\text{proj}_{W_n} f$ — bästa approximation i $W_n$ | | Fourierkoefficienter | $a_k = \frac{1}{\pi}\int f \cos kx\,dx$, $b_k = \frac{1}{\pi}\int f \sin kx\,dx$ | | Carleson–Jacobs sats | Fourierserien konvergerar nästan överallt för $L_2$-funktioner | > [!tip] Koppling till linjär algebra > Fourierserier är **ortogonal projektion i oändligtdimensionella rum**. Allt vi lärt oss om skalärprodukter, ortogonala baser och projektion i $\mathbb{R}^n$ generaliseras direkt till funktionsrum. Fourierkoefficienterna är koordinaterna i den ortonormala basen $B_n$ — precis som $[\vec{x}]_B = \langle \vec{x}, \vec{v}_i \rangle$ i ändligtdimensionella rum. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: But what is a Fourier series?](https://youtu.be/r6sGWTCMz2k) — visuell introduktion till Fourierserier - [MIT 18.06SC: Fourier Series and Orthogonality (Gilbert Strang)](https://youtu.be/vA9dfINW4Rg) — Fourierserier ur linjäralgebraperspektiv ### Wikipedia - [Fourier series](https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series) - [Carleson's theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Carleson%27s_theorem) - [Trigonometric polynomial](https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_polynomial) - [Lennart Carleson](https://en.wikipedia.org/wiki/Lennart_Carleson) ### Fördjupning - Kursbok kap 6.4 — Fourierserier och ortogonal projektion på funktionsrum - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Fourier Series](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/fourier-series.html)