# Ortogonala baser & ortogonal projektion på underrum > **Föreläsning:** V6L3 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Inre produktrum och skalärprodukter ([[V6L2 M0067M]]), ortogonala och ortonormala mängder ([[V6L2 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | | -------------------------- | --------------------------- | | Ortogonal bas | Orthogonal basis | | Ortonormal bas (ON-bas) | Orthonormal basis | | Ortogonal mängd | Orthogonal set | | Ortogonalt komplement | Orthogonal complement | | Ortogonal projektion | Orthogonal projection | | Underrum | Subspace | | Vinkelrät | Perpendicular / orthogonal | | Nollskild | Nonzero | | Linjärt oberoende | Linearly independent | | Entydig uppdelning | Unique decomposition | --- ## 1. Ortogonala och ortonormala baser > [!abstract] Definition: Ortogonal bas och ortonormal bas > Låt $W$ vara ett ändligtdimensionellt underrum till ett inre produktrum $V$. > > - En **ortogonal bas** för $W$ är en bas som samtidigt är en ortogonal mängd (alla basvektor-par har skalärprodukt noll). > - En **ortonormal bas** (ON-bas) för $W$ är en bas som samtidigt är en ortonormal mängd (parvis ortogonala och alla med norm $1$). --- ## 2. Ortogonala nollskilda vektorer är linjärt oberoende > [!theorem] Sats > En ortogonal mängd av **nollskilda** element är linjärt oberoende. **Bevis:** Antag att $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_k\}$ är en ortogonal mängd med $\vec{u}_i \neq \vec{0}$ för alla $i$. Sätt upp en linjärkombination lika med nollvektorn: $c_1\vec{u}_1 + c_2\vec{u}_2 + \cdots + c_k\vec{u}_k = \vec{0} \qquad (\star)$ Ta skalärprodukten av $(\star)$ med $\vec{u}_j$: $\langle c_1\vec{u}_1 + \cdots + c_k\vec{u}_k,\; \vec{u}_j \rangle = \langle \vec{0}, \vec{u}_j \rangle = 0$ Bilinjäriteten ger: $c_1\langle \vec{u}_1, \vec{u}_j \rangle + c_2\langle \vec{u}_2, \vec{u}_j \rangle + \cdots + c_k\langle \vec{u}_k, \vec{u}_j \rangle = 0$ Ortogonaliteten gör att alla termer med $i \neq j$ försvinner: $c_j \langle \vec{u}_j, \vec{u}_j \rangle = 0$ Eftersom $\vec{u}_j \neq \vec{0}$ gäller $\langle \vec{u}_j, \vec{u}_j \rangle > 0$, alltså $c_j = 0$. Detta gäller för alla $j = 1, \ldots, k$. $\blacksquare$ **Konsekvens:** En ortogonal mängd med $n$ nollskilda vektorer i ett $n$-dimensionellt rum bildar automatiskt en **bas** — en ortogonal bas. Normaliserar man dessutom varje vektor fås en ortonormal bas. --- ## 3. Ortogonalt komplement > [!abstract] Definition: Ortogonalitet mot mängd och ortogonalt komplement > Låt $V$ vara ett skalärproduktsrum och $W \subseteq V$ ett underrum. > > - $\vec{v} \perp \vec{w} \;\Leftrightarrow\; \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle = 0$ > - $\vec{v} \perp W \;\Leftrightarrow\; \vec{v} \perp \vec{w}$ för alla $\vec{w} \in W$ > > Det **ortogonala komplementet** till $W$ definieras som: > > $W^{\perp} = \{\vec{v} \in V : \vec{v} \perp W\} = \{\vec{v} \in V : \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle = 0 \text{ för alla } \vec{w} \in W\}$ > [!example]- Exempel: Ortogonalt komplement i $\mathbb{R}^n$ > Om $A$ är en $m \times n$-matris gäller: > > $\text{row}(A)^{\perp} = \text{null}(A)$ > > Radrummet och nollrummet är ortogonala komplement i $\mathbb{R}^n$. Geometriskt: nollrummet innehåller precis de vektorer som är vinkelräta mot alla rader i $A$. --- ## 4. Ortogonala komplementet är ett underrum > [!theorem] Sats > Låt $W$ vara ett underrum till ett skalärproduktsrum $V$. Då är $W^{\perp}$ ett **underrum** till $V$. **Bevisidé:** Visa att $W^{\perp}$ uppfyller underrumskriterierna (innehåller $\vec{0}$, slutet under addition och skalärmultiplikation). Samtliga följer direkt av att skalärprodukten är linjär i första argumentet. --- ## 5. Ortogonalprojektionssatsen > [!theorem] Sats: Ortogonal projektion (uppdelningssats) > Låt $W$ vara ett **ändligtdimensionellt** underrum till ett skalärproduktsrum $V$, och låt $\vec{y} \in V$. > > Det finns en unik vektor $\text{proj}_W\,\vec{y} \in W$ sådan att: > > $\vec{y} = \underbrace{\text{proj}_W\,\vec{y}}_{\in\; W} + \underbrace{(\vec{y} - \text{proj}_W\,\vec{y})}_{\in\; W^{\perp}}$ > > där $\vec{y} - \text{proj}_W\,\vec{y} \perp W$, och uppdelningen är **entydig**. **Tolkning:** Varje vektor $\vec{y}$ kan delas upp i en komponent som ligger i $W$ och en komponent som är vinkelrät mot $W$. Projektionen $\text{proj}_W\,\vec{y}$ är den punkt i $W$ som ligger **närmast** $\vec{y}$. ### 5.1 Projektionsformeln > [!tip] Projektionsformel med ortogonal bas > Om $\{\vec{w}_1, \vec{w}_2, \ldots, \vec{w}_k\}$ är en **ortogonal bas** för $W$, ges projektionen av: > > $\boxed{\text{proj}_W\,\vec{y} = \frac{\langle \vec{y}, \vec{w}_1 \rangle}{\langle \vec{w}_1, \vec{w}_1 \rangle}\,\vec{w}_1 + \frac{\langle \vec{y}, \vec{w}_2 \rangle}{\langle \vec{w}_2, \vec{w}_2 \rangle}\,\vec{w}_2 + \cdots + \frac{\langle \vec{y}, \vec{w}_k \rangle}{\langle \vec{w}_k, \vec{w}_k \rangle}\,\vec{w}_k}$ Varje term $\frac{\langle \vec{y}, \vec{w}_i \rangle}{\langle \vec{w}_i, \vec{w}_i \rangle}\,\vec{w}_i$ är den skalära projektionen av $\vec{y}$ längs $\vec{w}_i$. Tack vare ortogonaliteten kan vi beräkna varje koefficient **oberoende** av de andra — ingen Gausselimination behövs. > [!tip] Specialfall: ortonormal bas > Om basen dessutom är **ortonormal** ($\|\vec{w}_i\| = 1$) förenklas formeln till: > > $\text{proj}_W\,\vec{y} = \langle \vec{y}, \vec{w}_1 \rangle\,\vec{w}_1 + \langle \vec{y}, \vec{w}_2 \rangle\,\vec{w}_2 + \cdots + \langle \vec{y}, \vec{w}_k \rangle\,\vec{w}_k$ > > eftersom $\langle \vec{w}_i, \vec{w}_i \rangle = 1$. --- ## 6. Beräkningsexempel > [!example]- Exempel: Projicera $(1, 2, 3)$ ortogonalt på planet $x - y + 2z = 0$ > **Problem:** Beräkna $\text{proj}_{\Pi}(1, 2, 3)$ där $\Pi$ är planet $x - y + 2z = 0$ i $\mathbb{R}^3$. > > --- > > ### Alternativ 1: Via normalen (lättare i detta fall) > > **Idé:** Planets normal $\vec{n} = (1, -1, 2)$ är ortogonal mot planet. Projektionen på planet fås genom att subtrahera projektionen på normalen. > > **Steg 1.** Beräkna projektionen på normalriktningen: > > $\text{proj}_{\vec{n}}(1, 2, 3) = \frac{\vec{n} \cdot (1, 2, 3)}{\vec{n} \cdot \vec{n}}\,\vec{n} = \frac{1 - 2 + 6}{1 + 1 + 4}\,(1, -1, 2) = \frac{5}{6}(1, -1, 2)$ > > **Steg 2.** Subtrahera för att få projektionen på planet: > > $\text{proj}_{\Pi}(1, 2, 3) = (1, 2, 3) - \frac{5}{6}(1, -1, 2)$ > > $= \frac{1}{6}\big((6, 12, 18) - (5, -5, 10)\big) = \frac{1}{6}(1, 17, 8)$ > > **Tolkning:** Vi använder att $\mathbb{R}^3 = \Pi \oplus \text{span}(\vec{n})$, och drar bort normalkomponenten. > > --- > > ### Alternativ 2: Via ortogonal bas för planet > > **Steg 1.** Hitta en ortogonal bas för $\Pi$. Planet har ekvationen $x - y + 2z = 0$, så välj en vektor som uppfyller ekvationen, t.ex. $\vec{v}_1 = (1, 1, 0)$. > > **Steg 2.** En andra vektor ortogonal mot både $\vec{n}$ och $\vec{v}_1$ fås via kryssprodukten: > > $\vec{v}_2 = \vec{v}_1 \times \vec{n} = (1, 1, 0) \times (1, -1, 2) = (2, -2, -2)$ > > Förenkla: $\vec{v}_2 = (1, -1, -1)$. > > **Steg 3.** Beräkna projektionen med formeln: > > $\text{proj}_{\Pi}(1, 2, 3) = \frac{\langle (1,2,3), \vec{v}_1 \rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}\,\vec{v}_1 + \frac{\langle (1,2,3), \vec{v}_2 \rangle}{\langle \vec{v}_2, \vec{v}_2 \rangle}\,\vec{v}_2$ > > $= \frac{1 + 2 + 0}{1 + 1 + 0}(1, 1, 0) + \frac{1 - 2 - 3}{1 + 1 + 1}(1, -1, -1)$ > > $= \frac{3}{2}(1, 1, 0) + \frac{-4}{3}(1, -1, -1)$ > > $= \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) + \left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ > > $= \left(\frac{9 - 8}{6}, \frac{9 + 8}{6}, \frac{0 + 8}{6}\right) = \frac{1}{6}(1, 17, 8)$ > > Samma svar som alternativ 1. ✓ --- ## 7. Sammanfattning | Begrepp | Betydelse | |---------|-----------| | Ortogonal bas | Bas vars vektorer är parvis ortogonala | | Ortonormal bas | Ortogonal bas med enhetsvektorer ($\|\vec{w}_i\| = 1$) | | $W^{\perp}$ | Alla vektorer i $V$ som är vinkelräta mot hela $W$ | | $\text{proj}_W\,\vec{y}$ | Den punkt i $W$ som ligger närmast $\vec{y}$ | > [!warning] Vanliga misstag > - Glöm inte att kontrollera att basen verkligen är **ortogonal** innan du använder projektionsformeln — om basen inte är ortogonal ger formeln fel svar. > - Vid projektion på ett plan: det är ofta enklare att projicera på normalen och subtrahera, istället för att hitta en ortogonal bas för planet. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Dot products and duality](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — skalärprodukt och projektion visuellt - [MIT 18.06SC: Projection Matrices and Least Squares (Gilbert Strang)](https://youtu.be/osh80YCg_GM) — ortogonal projektion och bästa approximation - [MIT 18.06SC: Orthogonal Vectors and Subspaces (Gilbert Strang)](https://youtu.be/YzZUIYRCE38) — ortogonalitet och komplement ### Wikipedia - [Orthogonal complement](https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement) - [Projection (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)) - [Orthogonal basis](https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_basis) ### Fördjupning - Kursbok kap 6.2–6.3 — ortogonala baser, projektion, och Gram–Schmidt - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Orthogonal Projection](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/projections.html)