# Tillämpningar av diagonalisering — Fibonacci & differentialekvationer > **Föreläsning:** V6L1 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Egenvärden och egenvektorer ([[V5L2 M0067M]]), diagonalisering ([[V5L3 M0067M]]), symmetriska matriser ([[V5L4 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | | ---------------------------- | --------------------------------- | | Differentialekvation | Differential equation | | Rekursionsformel | Recurrence relation | | Begynnelsevillkor | Initial condition | | Begynnelsevärdesproblem | Initial-value problem | | Gyllene snittet | Golden ratio | | Fibonacci-tal | Fibonacci number | | System av diffekvationer | System of differential equations | | Homogent linjärt system | Homogeneous linear system | --- ## 1. Fibonacci-tal via diagonalisering ### 1.1 Problemet Fibonacci-talen definieras av rekursionen: $F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 2)$ De första talen: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ > [!example]- Kombinatorisk tolkning > **Fråga:** På hur många sätt kan man placera icke-angränsande löpare på ett $2 \times n$-schackbräde? > > Antalet sätt ges av Fibonacci-tal (i kvadrat). Rekursionsformeln uppstår naturligt — man kan lösa Fibonacci-tal likt en ordinär differentialekvation med hjälp av linjär algebra. ### 1.2 Matrisformulering Skriv om rekursionen som ett system: $\begin{cases} F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \\ F_n = F_n \end{cases}$ I matrisform: $\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$ Låt $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$. Genom upprepad tillämpning: $\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = A^n \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = A^n \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ **Problemet reduceras till att beräkna $A^n$** — och det löser vi med diagonalisering. ### 1.3 Diagonalisering av Fibonacci-matrisen **Egenvärden:** Karakteristisk ekvation: $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ Alltså: $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 \quad \text{(gyllene snittet)}$ $\lambda_2 = \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\phi} \approx -0{,}618$ **Egenvektorer:** - $\lambda_1 = \phi$: $(\phi I - A)\vec{x} = \vec{0}$ ger $\mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} \phi \\ 1 \end{bmatrix}$ - $\lambda_2 = \psi$: $(\psi I - A)\vec{x} = \vec{0}$ ger $\mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} \psi \\ 1 \end{bmatrix}$ **Diagonalisering:** $P = \begin{bmatrix} \phi & \psi \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \psi \end{bmatrix}$, $A = PDP^{-1}$ Matrispotenssen: $A^n = PD^nP^{-1} = P \begin{bmatrix} \phi^n & 0 \\ 0 & \psi^n \end{bmatrix} P^{-1}$ ### 1.4 Binets formel Genom att beräkna $A^n \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ och ta andra komponenten fås en sluten formel: $\boxed{F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n}$ Detta är **Binets formel** — den ger det $n$:te Fibonacci-talet exakt, trots att den innehåller $\sqrt{5}$. > [!tip] Observation > Eftersom $|\psi| = \left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| < 1$ avtar den andra termen snabbt. För stora $n$ gäller approximativt: > > $F_n \approx \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$ > > Fibonacci-talen växer alltså exponentiellt med basen $\phi$ (gyllene snittet). > [!note]- Matrisidentitet > Fibonacci-talen kan även organiseras i en $2 \times 2$-matris: > > $A^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}$ > > Att ta determinanten ger den klassiska identiteten: $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$. --- ## 2. System av differentialekvationer (kap 5.4) ### 2.1 Den enklaste differentialekvationen Den enklaste första ordningens differentialekvationen: $y' = ay$ har den allmänna lösningen: $y = ce^{ax}$ där $c$ är en godtycklig konstant. Ett **begynnelsevillkor** (t.ex. $y(0) = y_0$) bestämmer $c$. > [!example]- Exempel: Begynnelsevärdesproblem > Lös $y' = 5y$, $y(0) = 3$. > > Allmän lösning: $y = ce^{5x}$ > > Begynnelsevillkor: $y(0) = c = 3$ > > **Svar:** $y = 3e^{5x}$ ### 2.2 System av differentialekvationer Ett **konstantkoefficient första ordningens homogent linjärt system** har formen: $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ där $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{bmatrix}$ och $A$ är en $n \times n$ konstantmatris. Utskrivet: $\begin{cases} y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \cdots + a_{1n}y_n \\ y_2' = a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + \cdots + a_{2n}y_n \\ \vdots \\ y_n' = a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2 + \cdots + a_{nn}y_n \end{cases}$ ### 2.3 Diagonalt system — det enkla fallet Om $A$ är **diagonal** frikopplas ekvationerna: $A = \begin{bmatrix} a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_n \end{bmatrix} \implies y_i' = a_i y_i \implies y_i = c_i e^{a_i x}$ > [!example]- Exempel: Diagonalt system > $\begin{cases} y_1' = 3y_1 \\ y_2' = -2y_2 \\ y_3' = 5y_3 \end{cases}$ > > **Lösning:** $y_1 = c_1 e^{3x}$, $y_2 = c_2 e^{-2x}$, $y_3 = c_3 e^{5x}$ > > Med begynnelsevillkor $y_1(0) = 1$, $y_2(0) = 4$, $y_3(0) = -2$ fås: > > $y_1 = e^{3x}$, $y_2 = 4e^{-2x}$, $y_3 = -2e^{5x}$ ### 2.4 Lösning via diagonalisering Om $A$ inte är diagonal: gör substitutionen $\mathbf{y} = P\mathbf{u}$ där $P$ diagonaliserar $A$. $\mathbf{y}' = A\mathbf{y} \implies P\mathbf{u}' = AP\mathbf{u} \implies \mathbf{u}' = \underbrace{P^{-1}AP}_{D}\,\mathbf{u}$ **Procedur:** | Steg | Åtgärd | |------|--------| | 1 | Hitta $P$ som diagonaliserar $A$ | | 2 | Substituera $\mathbf{y} = P\mathbf{u}$ för att få $\mathbf{u}' = D\mathbf{u}$ | | 3 | Lös det diagonala systemet: $u_i = c_i e^{\lambda_i x}$ | | 4 | Beräkna $\mathbf{y} = P\mathbf{u}$ | > [!example]- Exempel: Lös systemet via diagonalisering > $\begin{cases} y_1' = y_1 + y_2 \\ y_2' = 4y_1 - 2y_2 \end{cases}$ > > **Koefficientmatris:** $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ > > **Egenvärden:** $\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda + 2) - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$ > > $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -3$ > > **Egenvektorer:** > - $\lambda = 2$: $\mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ > - $\lambda = -3$: $\mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} -1/4 \\ 1 \end{bmatrix}$ > > **Diagonalt system:** $u_1 = c_1 e^{2x}$, $u_2 = c_2 e^{-3x}$ > > **Tillbaka till $\mathbf{y} = P\mathbf{u}$:** > $y_1 = c_1 e^{2x} - \tfrac{1}{4}c_2 e^{-3x}$ > $y_2 = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-3x}$ > > **Med begynnelsevillkor** $y_1(0) = 1$, $y_2(0) = 6$: > > $c_1 - \frac{1}{4}c_2 = 1$ och $c_1 + c_2 = 6$ ger $c_1 = 2$, $c_2 = 4$. > > **Svar:** $y_1 = 2e^{2x} - e^{-3x}$, $y_2 = 2e^{2x} + 4e^{-3x}$ ### 2.5 Allmän lösning — sats > [!theorem] Sats: Allmän lösning för $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ > Om $A$ är diagonaliserbar med egenvärden $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ och motsvarande egenvektorer $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$, ges den allmänna lösningen av: > > $\boxed{\mathbf{y} = c_1 e^{\lambda_1 x}\mathbf{x}_1 + c_2 e^{\lambda_2 x}\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n x}\mathbf{x}_n}$ **Tolkning:** Varje term $c_i e^{\lambda_i x}\mathbf{x}_i$ är en "mode" — den växer eller avtar exponentiellt beroende på tecknet hos $\lambda_i$, längs riktningen $\mathbf{x}_i$. > [!tip] Stabilitet > - Om **alla** egenvärden $\lambda_i < 0$: lösningen avtar mot $\vec{0}$ (stabilt system) > - Om **något** egenvärde $\lambda_i > 0$: lösningen växer obegränsat (instabilt) > - Om $\lambda_i = 0$: den moden är konstant --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Eigenvectors and eigenvalues (kap 14)](https://youtu.be/PFDu9oVAE-g) — visuell grund för egenvärden - [MIT 18.06SC: Differential Equations and exp(At) (Gilbert Strang)](https://youtu.be/IZqwi0wJovM) — system av diffekvationer via matrisexponential ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — beräkna egenvärden, egenvektorer, $P^{-1}AP$ online ### Wikipedia - [Fibonacci sequence](https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_sequence) - [Golden ratio](https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio) - [Matrix differential equation](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation) ### Fördjupning - Kursbok kap 5.4 — fullständig genomgång med fler exempel och bevis