# Egenvärden och Egenvektorer > **Föreläsning:** V5L2 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Determinanter ([[Determinanter]]), linjära avbildningar ([[Linjära avbildningar]]), kolonnrum, nollrum, rang ([[V5L1 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Egenvärde | Eigenvalue | | Egenvektor | Eigenvector | | Egenrum | Eigenspace | | Karakteristisk ekvation | Characteristic equation | | Karakteristiskt polynom | Characteristic polynomial | | Diagonaliserbar | Diagonalizable | | Algebraisk multiplicitet | Algebraic multiplicity | | Geometrisk multiplicitet | Geometric multiplicity | | Triangulär matris | Triangular matrix | | Inverterbar | Invertible | --- ## 1. Definition av egenvärde och egenvektor > [3B1B: Eigenvectors and eigenvalues](https://youtu.be/PFDu9oVAE-g) ### 1.1 Grundidén När vi multiplicerar en vektor $\vec{x}$ med en matris $A$ ändras i allmänhet **både riktning och längd**. Men ibland finns speciella vektorer vars **riktning bevaras** — de bara skalas. Dessa är egenvektorerna. > [!abstract] Definition: Egenvärde och egenvektor > Låt $A$ vara en $n \times n$-matris. En **nollskild** vektor $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ kallas en **egenvektor** till $A$ om > > $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ > > för någon skalär $\lambda$. Skalären $\lambda$ kallas ett **egenvärde** till $A$, och $\vec{x}$ sägs vara en egenvektor **motsvarande** $\lambda$. **Intuition:** Att multiplicera med $A$ gör i allmänhet en komplicerad transformation — rotation, skjuvning, skalning i olika riktningar. Men längs egenvektorerna gör $A$ bara en enkel skalning med faktorn $\lambda$. > [!warning] Nollvektorn är aldrig en egenvektor > Kravet $\vec{x} \neq \vec{0}$ är viktigt! Annars vore $A\vec{0} = \lambda\vec{0}$ uppfyllt för **alla** $A$ och **alla** $\lambda$, vilket ger meningslös information. > > Däremot kan $\lambda = 0$ vara ett egenvärde — det betyder att $A\vec{x} = \vec{0}$ har en nontrivial lösning, dvs. $A$ är singulär. --- ### 1.2 Geometrisk tolkning Beroende på tecknet och storleken på $\lambda$ sker olika saker med egenvektorn: | Värde på $\lambda$ | Effekt på $\vec{x}$ | |---|---| | $\lambda > 1$ | Sträcks (samma riktning) | | $0 < \lambda < 1$ | Krymps (samma riktning) | | $\lambda = 1$ | Oförändrad ($A\vec{x} = \vec{x}$) | | $\lambda = 0$ | Skickas till $\vec{0}$ | | $-1 < \lambda < 0$ | Krymps och byter riktning | | $\lambda < -1$ | Sträcks och byter riktning | | $\lambda = -1$ | Byter riktning, samma längd | > [!example]- Exempel 1: Verifiera en egenvektor > Visa att $\vec{x} = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ är en egenvektor till $A = \begin{bmatrix}3 & 0\\8 & -1\end{bmatrix}$. > > **Lösning:** Beräkna $A\vec{x}$: > > $A\vec{x} = \begin{bmatrix}3 & 0\\8 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = 3\vec{x}$ > > Alltså är $\vec{x}$ en egenvektor med egenvärde $\lambda = 3$. Geometriskt: $A$ sträcker vektorn $(1, 2)$ med faktor 3 utan att ändra riktning. > [!example]- Exempel 2: Geometriska egenvektorer > Betrakta spegling i x-axeln: $A = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$. > > - Vektorer **längs x-axeln** (t.ex. $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$) är opåverkade → $\lambda = 1$ > - Vektorer **längs y-axeln** (t.ex. $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$) byter riktning → $\lambda = -1$ > > Alla andra vektorer ändrar riktning och är **inte** egenvektorer. --- ## 2. Beräkna egenvärden: den karakteristiska ekvationen ### 2.1 Härledning Vi söker $\lambda$ och $\vec{x} \neq \vec{0}$ sådana att $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$. Skriv om: $A\vec{x} = \lambda I\vec{x} \implies A\vec{x} - \lambda I\vec{x} = \vec{0} \implies (\lambda I - A)\vec{x} = \vec{0}$ För att detta ska ha en **nontrivial** lösning ($\vec{x} \neq \vec{0}$) krävs att matrisen $\lambda I - A$ är **singulär**: > [!theorem] Sats 5.1.1: Karakteristisk ekvation > $\lambda$ är ett egenvärde till $A$ om och bara om > > $\boxed{\det(\lambda I - A) = 0}$ > > Detta kallas den **karakteristiska ekvationen** för $A$. **Varför $\lambda I - A$ och inte $A - \lambda I$?** Båda fungerar! $\det(\lambda I - A) = 0 \iff \det(A - \lambda I) = 0$ (de skiljer sig bara med ett tecken $(-1)^n$, som inte påverkar nollställena). Boken använder $\lambda I - A$ för att det karakteristiska polynomet ska ha positivt ledande koefficient. --- ### 2.2 Det karakteristiska polynomet > [!abstract] Definition: Karakteristiskt polynom > Det **karakteristiska polynomet** för en $n \times n$-matris $A$ är > > $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ > > Det är ett polynom av grad $n$ i $\lambda$, med ledande term $\lambda^n$. Egenvärdena till $A$ är **rötterna** till $p(\lambda) = 0$. Eftersom ett polynom av grad $n$ har högst $n$ rötter, har en $n \times n$-matris **högst $n$ egenvärden**. --- ### 2.3 Räkneexempel > [!example]- Exempel 3: Egenvärden för $2 \times 2$-matris > Bestäm egenvärdena till $A = \begin{bmatrix}3 & 0\\8 & -1\end{bmatrix}$. > > **Lösning:** > > $\det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix}\lambda - 3 & 0\\-8 & \lambda + 1\end{bmatrix} = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$ > > **Egenvärden:** $\lambda = 3$ och $\lambda = -1$. > [!example]- Exempel 4: Egenvärden för $3 \times 3$-matris > Bestäm egenvärdena till $A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\4 & -17 & 8\end{bmatrix}$. > > **Lösning:** > > $\det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix}\lambda & -1 & 0\\0 & \lambda & -1\\-4 & 17 & \lambda - 8\end{bmatrix}$ > > Utveckla (t.ex. efter rad 1): > > $= \lambda(\lambda(\lambda - 8) + 17) + 1(0 - 4) = \lambda^3 - 8\lambda^2 + 17\lambda - 4$ > > **Hitta rötterna:** Testa heltalsdivisorer till konstanttermen $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. > > Testa $\lambda = 4$: $64 - 128 + 68 - 4 = 0$ ✓ > > Polynomdivision: $\lambda^3 - 8\lambda^2 + 17\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda^2 - 4\lambda + 1) = 0$ > > Andragradsekvation: $\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ > > **Egenvärden:** $\lambda = 4$, $\lambda = 2 + \sqrt{3}$, $\lambda = 2 - \sqrt{3}$. > [!tip] Strategi: Hitta rötter till karakteristiska polynomet > 1. **Faktorisera direkt** om det är uppenbart > 2. **Testa heltalsdivisorer** till konstanttermen (rationella rotsatsen) > 3. **Polynomdividera** bort kända rötter för att reducera graden > 4. **Andragradsfomeln** för de återstående faktorerna > 5. **$2 \times 2$-trick:** $p(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$ (se övning 28 i boken) --- ## 3. Triangulära matriser — egenvärden direkt > [!theorem] Sats 5.1.2: Egenvärden för triangulära matriser > Om $A$ är en **triangulär matris** (övertriangulär, undertriangulär eller diagonal), så är egenvärdena **diagonalelementen**. **Varför?** Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen: $\det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22}) \cdots (\lambda - a_{nn}) = 0$ > [!example]- Exempel 5: Egenvärden för triangulär matris > $A = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0\\-1 & \frac{2}{3} & 0\\5 & -8 & -\frac{1}{4}\end{bmatrix}$ > > **Egenvärden:** $\lambda = \frac{1}{2}$, $\lambda = \frac{2}{3}$, $\lambda = -\frac{1}{4}$ (avläses direkt från diagonalen). --- ## 4. Hitta egenvektorer och egenrum ### 4.1 Metod När vi har hittat ett egenvärde $\lambda$ finner vi motsvarande egenvektorer genom att lösa det homogena systemet: $(\lambda I - A)\vec{x} = \vec{0}$ > [!abstract] Definition: Egenrum > **Egenrummet** (eigenspace) motsvarande egenvärdet $\lambda$ är lösningsrummet till $(\lambda I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > $E_\lambda = \text{null}(\lambda I - A) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^n : A\vec{x} = \lambda\vec{x}\}$ > > Egenrummet är ett **delrum** av $\mathbb{R}^n$. Egenvektorerna till $\lambda$ är de **nollskilda** vektorerna i $E_\lambda$. **Koppling till V5L1:** Egenrummet $E_\lambda$ är precis **nollrummet** för matrisen $\lambda I - A$. Vi vet redan hur man hittar baser för nollrum — radreducera och identifiera fria variabler! --- ### 4.2 Räkneexempel > [!example]- Exempel 6: Egenrum för $2 \times 2$-matris > Bestäm baser för egenrummen till $A = \begin{bmatrix}-1 & 3\\2 & 0\end{bmatrix}$. > > **Steg 1: Hitta egenvärdena.** > > $\det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix}\lambda + 1 & -3\\-2 & \lambda\end{bmatrix} = \lambda(\lambda + 1) - 6 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda - 2)(\lambda + 3) = 0$ > > **Egenvärden:** $\lambda_1 = 2$ och $\lambda_2 = -3$. > > --- > > **Steg 2: Egenrum för $\lambda_1 = 2$.** > > Lös $(2I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > $\begin{bmatrix}3 & -3\\-2 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ > > Radreducera: $\begin{bmatrix}3 & -3\\-2 & 2\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 + \frac{2}{3}R_1} \begin{bmatrix}3 & -3\\0 & 0\end{bmatrix}$ > > Ekvation: $3x_1 - 3x_2 = 0 \implies x_1 = x_2 = t$. > > $E_2 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}$ > > --- > > **Steg 3: Egenrum för $\lambda_2 = -3$.** > > Lös $(-3I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > $\begin{bmatrix}-2 & -3\\-2 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ > > Ekvation: $-2x_1 - 3x_2 = 0 \implies x_1 = -\frac{3}{2}x_2$. Sätt $x_2 = 2t$: > > $E_{-3} = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\right\}$ > [!example]- Exempel 7: Egenrum för $3 \times 3$-matris (flerdimensionellt egenrum) > Bestäm baser för egenrummen till $A = \begin{bmatrix}0 & 0 & -2\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 3\end{bmatrix}$. > > **Steg 1: Hitta egenvärdena.** > > $\det(\lambda I - A) = \lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)^2 = 0$ > > **Egenvärden:** $\lambda_1 = 1$ och $\lambda_2 = 2$ (dubbel rot). > > --- > > **Steg 2: Egenrum för $\lambda_1 = 1$.** > > Lös $(I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & -1 & -1\\-1 & 0 & -2\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{radred.}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > Fria variabeln $x_3 = s$ ger $x_1 = -2s$, $x_2 = -s$. > > $E_1 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-2\\-1\\1\end{bmatrix}\right\} \quad (\dim = 1)$ > > --- > > **Steg 3: Egenrum för $\lambda_2 = 2$.** > > Lös $(2I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > $\begin{bmatrix}2 & 0 & 2\\-1 & 0 & -1\\-1 & 0 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{\text{radred.}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > Fria variabler: $x_2 = t$, $x_3 = s$. Då $x_1 = -s$. > > $\vec{x} = s\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$ > > $E_2 = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\} \quad (\dim = 2)$ > > **Notera:** $\lambda = 2$ har algebraisk multiplicitet 2 (dubbel rot) och geometrisk multiplicitet 2 (tvådimensionellt egenrum). Dessa **matchar**, vilket visar sig vara viktigt för diagonalisering. --- ## 5. Tillvägagångssätt — sammanfattning > [!important] Metod: Hitta egenvärden och egenvektorer > **Steg 1:** Beräkna det karakteristiska polynomet $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$. > > **Steg 2:** Lös $p(\lambda) = 0$ för att hitta egenvärdena. > > **Steg 3:** För varje egenvärde $\lambda_k$, lös $(\lambda_k I - A)\vec{x} = \vec{0}$ (radreducera!) för att hitta en bas för egenrummet $E_{\lambda_k}$. --- ## 6. Egenvärden och inverterbarhet > [!theorem] Sats 5.1.4: Egenvärden och inverterbarhet > En kvadratisk matris $A$ är **inverterbar** om och bara om $\lambda = 0$ **inte** är ett egenvärde till $A$. **Varför?** $\lambda = 0$ är ett egenvärde $\iff$ $\det(0 \cdot I - A) = 0 \iff \det(-A) = 0 \iff \det(A) = 0 \iff A$ ej inverterbar. **Alternativ förklaring:** $\lambda = 0$ egenvärde betyder att $A\vec{x} = 0\vec{x} = \vec{0}$ har en nontrivial lösning, dvs. $\text{null}(A) \neq \{\vec{0}\}$, dvs. $A$ är singulär. --- ## 7. $2 \times 2$-trick: snabbformel > [!tip] Snabbformel för $2 \times 2$-matris > Om $A = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$, så är det karakteristiska polynomet: > > $p(\lambda) = \lambda^2 - \underbrace{(a + d)}_{\text{tr}(A)}\lambda + \underbrace{(ad - bc)}_{\det(A)}$ > > $\boxed{p(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)}$ Egenvärdena fås direkt med andragradsfomeln: $\lambda = \frac{\text{tr}(A) \pm \sqrt{\text{tr}(A)^2 - 4\det(A)}}{2}$ > [!example]- Exempel: Snabbformeln > $A = \begin{bmatrix}3 & 0\\8 & -1\end{bmatrix}$. Då $\text{tr}(A) = 3 + (-1) = 2$ och $\det(A) = -3 - 0 = -3$. > > $p(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$ > > **Egenvärden:** $\lambda = 3$ och $\lambda = -1$. ✓ --- - summa av egenvärden = spåret. Kontroll - Produkt av egenvärdena blir determinanten --- ## 8. Ekvivalenssatsen — utökning Vi kan nu lägga till ett nytt villkor till den stora ekvivalenssatsen (jfr [[V5L1 M0067M]]): > [!theorem] Sats 5.1.5: Ekvivalenta villkor (utökning) > Om $A$ är en $n \times n$-matris, så är följande ekvivalenta: > > (a) $A$ är inverterbar > (b) $A\vec{x} = \vec{0}$ har bara triviala lösningen > (c) $A$ kan radreduceras till $I_n$ > (d) $A$ är en produkt av elementärmatriser > (e) $A\vec{x} = \vec{b}$ är konsistent för alla $\vec{b}$ > (f) $A\vec{x} = \vec{b}$ har exakt en lösning för alla $\vec{b}$ > (g) $\det(A) \neq 0$ > (h) Kolumnerna i $A$ är linjärt oberoende > (i) Raderna i $A$ är linjärt oberoende > (j) Kolumnerna spänner upp $\mathbb{R}^n$ > (k) Raderna spänner upp $\mathbb{R}^n$ > (l) Kolumnerna bildar en bas för $\mathbb{R}^n$ > (m) Raderna bildar en bas för $\mathbb{R}^n$ > (n) $\text{rang}(A) = n$ > (o) $\text{null}(A) = \{\vec{0}\}$ > (p) **$\lambda = 0$ är inte ett egenvärde till $A$** ← NYTT --- ## 9. Övningsuppgifter ### Beräkningsuppgifter > [!question]- Uppgift 1: Egenvärden och egenvektorer ($2 \times 2$) > Bestäm egenvärdena och en bas för varje egenrum till $A = \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 3\end{bmatrix}$. > > > [!hint]- Ledtråd > > Använd $2 \times 2$-tricket: $p(\lambda) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$. > > > [!success]- Facit > > Egenvärden: $\lambda = 5$ och $\lambda = -1$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > $\text{tr}(A) = 1 + 3 = 4$, $\det(A) = 3 - 8 = -5$. > > > > > > $p(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0$ > > > > > > **Egenvärden:** $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = -1$. > > > > > > **Egenrum för $\lambda = 5$:** Lös $(5I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > > > > > $\begin{bmatrix}4 & -4\\-2 & 2\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & -1\\0 & 0\end{bmatrix}$ > > > > > > $x_1 = x_2 = t$. Bas: $\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}$. > > > > > > **Egenrum för $\lambda = -1$:** Lös $(-I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > > > > > $\begin{bmatrix}-2 & -4\\-2 & -4\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 2\\0 & 0\end{bmatrix}$ > > > > > > $x_1 = -2x_2$, $x_2 = t$. Bas: $\left\{\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}\right\}$. > [!question]- Uppgift 2: Egenvärden och egenvektorer ($3 \times 3$) > Bestäm egenvärdena och en bas för varje egenrum till $A = \begin{bmatrix}4 & 0 & 1\\-2 & 1 & 0\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}$. > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Utveckla $\det(\lambda I - A)$ efter rad 2 eller kolumn 2 (det finns nollor där). > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > $p(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)$. > > > [!success]- Facit > > Egenvärden: $\lambda = 1, 2, 3$. Tre distinkta egenvärden. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Utveckla efter kolumn 2: > > > > > > $\det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix}\lambda - 4 & 0 & -1\\2 & \lambda - 1 & 0\\2 & 0 & \lambda - 1\end{bmatrix}$ > > > > > > $= (\lambda - 1)\det\begin{bmatrix}\lambda - 4 & -1\\2 & \lambda - 1\end{bmatrix} = (\lambda - 1)[(\lambda - 4)(\lambda - 1) + 2]$ > > > > > > $= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$ > > > > > > **Egenrum för $\lambda = 1$:** $(I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > > $\begin{bmatrix}-3 & 0 & -1\\2 & 0 & 0\\2 & 0 & 0\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > > $x_1 = 0$, $x_3 = 0$, $x_2 = t$. Bas: $\left\{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$. > > > > > > **Egenrum för $\lambda = 2$:** $(2I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > > $\begin{bmatrix}-2 & 0 & -1\\2 & 1 & 0\\2 & 0 & 1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > > $x_1 = -\frac{1}{2}t$, $x_2 = t$, $x_3 = t$. Bas: $\left\{\begin{bmatrix}-1\\2\\2\end{bmatrix}\right\}$. > > > > > > **Egenrum för $\lambda = 3$:** $(3I - A)\vec{x} = \vec{0}$: > > > $\begin{bmatrix}-1 & 0 & -1\\2 & 2 & 0\\2 & 0 & 2\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > > $x_1 = -t$, $x_2 = t$, $x_3 = t$. Bas: $\left\{\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$. > [!question]- Uppgift 3: Geometrisk tolkning > Bestäm egenvärdena och beskriv egenrummen **geometriskt** (utan beräkning) för: > > a) Spegling i x-axeln: $A = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$ > b) Projektion på x-axeln: $A = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$ > c) Rotation 90° moturs: $A = \begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$ > > > [!success]- Facit > > a) $\lambda = 1$: vektorer längs x-axeln (oförändrade). $\lambda = -1$: vektorer längs y-axeln (byter riktning). > > > > b) $\lambda = 1$: vektorer längs x-axeln (oförändrade). $\lambda = 0$: vektorer längs y-axeln (skickas till $\vec{0}$). Notera: $A$ är singulär — konsekvent med $\lambda = 0$. > > > > c) Inga reella egenvärden! $p(\lambda) = \lambda^2 + 1 = 0$ har inga reella rötter. Geometriskt: en rotation 90° bevarar aldrig riktningen av en vektor, så det finns inga egenvektorer i $\mathbb{R}^2$. --- ### Konceptuella uppgifter > [!question]- Uppgift 4: Sant eller falskt? > Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort. > > a) Om $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ för en skalär $\lambda$, så är $\vec{x}$ en egenvektor till $A$. > b) En matris kan ha egenvärde $\lambda = 0$. > c) Om $A$ har egenvärde $\lambda$, så har $A^2$ egenvärde $\lambda^2$. > d) Egenvärdena till $A$ och $A^T$ är samma. > e) Om $A$ har egenvärde $\lambda$ och $\vec{x}$ är en motsvarande egenvektor, så är $3\vec{x}$ också en egenvektor med egenvärde $3\lambda$. > f) Om $0$ är ett egenvärde till $A$, så är kolumnerna i $A$ linjärt beroende. > > > [!success]- Facit > > > > a) **Falskt.** Kravet $\vec{x} \neq \vec{0}$ saknas. Nollvektorn uppfyller $A\vec{0} = \lambda\vec{0}$ men är per definition inte en egenvektor. > > > > b) **Sant.** $\lambda = 0$ är egenvärde $\iff$ $A\vec{x} = \vec{0}$ har nontrivial lösning $\iff$ $A$ ej inverterbar. > > > > c) **Sant.** Om $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$, så $A^2\vec{x} = A(A\vec{x}) = A(\lambda\vec{x}) = \lambda(A\vec{x}) = \lambda^2\vec{x}$. > > > > d) **Sant.** $\det(\lambda I - A^T) = \det((\lambda I - A)^T) = \det(\lambda I - A)$, så de har samma karakteristiska polynom. > > > > e) **Falskt.** $3\vec{x}$ är en egenvektor, men med egenvärde $\lambda$ (inte $3\lambda$): $A(3\vec{x}) = 3(A\vec{x}) = 3\lambda\vec{x} = \lambda(3\vec{x})$. > > > > f) **Sant.** $\lambda = 0$ egenvärde $\implies$ $A$ ej inverterbar $\implies$ kolumnerna linjärt beroende (ekvivalenssatsen). --- ## Resurser ### Videor >  Visuella introduktionen  $2 \times 2$-tricket - [MIT 18.06SC: Eigenvalues and Eigenvectors (Gilbert Strang)](https://youtu.be/cdZnhQjJu4I) — klassisk föreläsning ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — beräkna egenvärden och egenvektorer online ### Wikipedia - [Eigenvalues and eigenvectors](https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors) - [Characteristic polynomial](https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial) ### Fördjupning - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Eigenvalues and Eigenvectors](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/eigenvectors.html)