# Dimension > **Föreläsning:** V4L4 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Vektorrum, delrum ([[V4L1 M0067M]]), linjärt hölje, linjärt oberoende ([[V4L2 M0067M]]), bas, koordinater ([[V4L3 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Dimension | Dimension | | Ändligtdimensionellt | Finite-dimensional | | Oändligtdimensionellt | Infinite-dimensional | | Bas | Basis | | Linjärt oberoende | Linearly independent | | Spänna upp | To span | | Delrum / underrum | Subspace | | Plus/minus-satsen | Plus/minus theorem | | Dimensionssats för delrum | Dimension theorem for subspaces | --- ## 1. Alla baser har lika många vektorer I [[V4L3 M0067M]] definierade vi begreppet bas — en linjärt oberoende mängd som spänner upp rummet. En naturlig fråga uppstår: kan olika baser för samma rum ha **olika** antal vektorer? Svaret är nej. Detta är ett av de mest fundamentala resultaten i linjär algebra. > [!theorem] Sats: Alla baser har samma storlek > Låt $V$ vara ett vektorrum. Om $V$ har en bas med $n$ vektorer, så har **varje** bas för $V$ exakt $n$ vektorer. **Bevisidé:** Antag att $B = \{\vec{b}_1, \dots, \vec{b}_n\}$ och $C = \{\vec{c}_1, \dots, \vec{c}_m\}$ båda är baser för $V$. - Eftersom $B$ är en bas (spänner upp $V$) och $C$ är linjärt oberoende, måste $m \leq n$ (fler oberoende vektorer än basvektorer kan inte finnas). - Eftersom $C$ är en bas (spänner upp $V$) och $B$ är linjärt oberoende, måste $n \leq m$. - Alltså $m = n$. ∎ > [!tip] Varför är detta viktigt? > Det betyder att antalet basvektorer är en **egenskap hos rummet**, inte hos den specifika basen vi råkar välja. Detta antal förtjänar ett eget namn — **dimensionen**. --- ## 2. Definition av dimension > [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) > [!abstract] Definition: Dimension > Låt $V$ vara ett vektorrum. > > - Om $V$ har en bas med $n$ vektorer kallas $V$ **ändligtdimensionellt** och vi skriver $\dim(V) = n$. > - Om $V = \{\vec{0}\}$ (bara nollvektorn) definierar vi $\dim(V) = 0$. > - Om $V$ inte kan spännas upp av ett ändligt antal vektorer kallas $V$ **oändligtdimensionellt**. **Med andra ord:** dimensionen av ett vektorrum $V$ är **antalet vektorer i en (vilken som helst) bas** för $V$. --- ## 3. Dimensioner för vanliga vektorrum | Vektorrum | Standardbas | Dimension | |---|---|---| | $\mathbb{R}^n$ | $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ | $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ | | $\mathcal{P}_n$ (polynom grad $\leq n$) | $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ | $\dim(\mathcal{P}_n) = n + 1$ | | $M_{m \times n}$ (alla $m \times n$-matriser) | Matriser med en etta, resten nollor | $\dim(M_{m \times n}) = m \cdot n$ | | $\{\vec{0}\}$ | $\emptyset$ (tom mängd) | $\dim = 0$ | > [!example]- Verifiering av dimensioner > **$\mathbb{R}^3$:** Standardbasen $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$ har 3 vektorer, alltså $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$. > > **$\mathcal{P}_2$:** Standardbasen $\{1, x, x^2\}$ har 3 element, alltså $\dim(\mathcal{P}_2) = 3$. > > **$M_{2 \times 3}$:** Standardbasen har $2 \cdot 3 = 6$ matriser (varje matris har en etta i exakt en av de 6 positionerna), alltså $\dim(M_{2 \times 3}) = 6$. > > **$\mathcal{P}_n$:** Standardbasen $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ har $n + 1$ element (grader $0, 1, \dots, n$), alltså $\dim(\mathcal{P}_n) = n + 1$. > [!warning] $\mathcal{P}_n$ har dimension $n + 1$, inte $n$! > Många gör misstaget att tro att $\dim(\mathcal{P}_n) = n$. Men polynomrummet $\mathcal{P}_n$ innehåller polynom av grad $\leq n$, och basen $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ har **$n + 1$ element** (glöm inte konstanttermen!). > [!example]- Oändligtdimensionella rum > Mängden $\mathcal{P}$ av **alla** polynom (utan gradgräns) är oändligtdimensionellt. > > **Varför?** Mängden $\{1, x, x^2, x^3, \dots\}$ är linjärt oberoende (inget polynom i listan kan skrivas som en linjärkombination av de andra), men den har oändligt många element. Inget ändligt antal polynom kan spänna upp alla polynom. > > Likaså är $F(\mathbb{R})$ (alla funktioner $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$) oändligtdimensionellt. --- ## 4. Centrala satser om dimension Dimensionen ger oss kraftfulla verktyg för att snabbt avgöra frågor om linjärt oberoende och span. ### 4.1 Dimensionsbegränsningar > [!theorem] Sats: Övre gräns för oberoende > Om $\dim(V) = n$, så kan **högst $n$** vektorer i $V$ vara linjärt oberoende. > > Ekvivalent: varje mängd med **fler än $n$** vektorer i $V$ är automatiskt linjärt beroende. > [!theorem] Sats: Undre gräns för uppspänning > Om $\dim(V) = n$, så krävs **minst $n$** vektorer för att spänna upp $V$. > > Ekvivalent: varje mängd med **färre än $n$** vektorer kan **inte** spänna upp $V$. > [!example]- Snabbslutsatser med dimension > - Kan 5 vektorer i $\mathbb{R}^3$ vara linjärt oberoende? **Nej** — $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$ och $5 > 3$. > - Kan 2 polynom spänna upp $\mathcal{P}_2$? **Nej** — $\dim(\mathcal{P}_2) = 3$ och $2 < 3$. > - Kan 3 matriser spänna upp $M_{2 \times 2}$? **Nej** — $\dim(M_{2 \times 2}) = 4$ och $3 < 4$. > - Måste 4 vektorer i $\mathbb{R}^3$ vara linjärt beroende? **Ja** — $4 > 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. ### 4.2 Genvägen: rätt antal vektorer > [!theorem] Sats: $n$ vektorer i ett $n$-dimensionellt rum > Låt $\dim(V) = n$ och låt $S = \{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\}$ vara en mängd med **exakt $n$** vektorer i $V$. Då gäller: > > $S \text{ är linjärt oberoende} \iff S \text{ spänner upp } V \iff S \text{ är en bas för } V$ > > Det räcker alltså att kontrollera **ett** av villkoren — det andra följer automatiskt! **Varför?** Om vi har exakt $n$ vektorer i ett $n$-dimensionellt rum: - Om de är oberoende: vi har $n$ oberoende vektorer, och det maximala antalet oberoende vektorer är $n$ (basens storlek). Att lägga till fler gör dem beroende, så de måste redan spänna upp. - Om de spänner upp: vi har $n$ vektorer som spänner upp, och det minimala antalet som spänner upp är $n$. Om de vore beroende kunde vi ta bort en och fortfarande spänna upp med $n-1$ vektorer — men $n-1 < n$ vektorer kan aldrig spänna upp. Motsägelse! > [!tip] Praktisk nytta > Denna sats halverar arbetet! Om du vet dimensionen av rummet och har rätt antal vektorer behöver du bara kontrollera **ett** av: > - Linjärt oberoende (radreducera, kolla pivoter i varje **kolumn**) > - Spänner upp (radreducera, kolla pivoter i varje **rad**) --- ### 4.3 Plus/minus-satsen > [!theorem] Plus/minus-satsen > Låt $V$ vara ett vektorrum med $\dim(V) = n$. > > **Plus:** Om $S$ är en linjärt oberoende mängd i $V$ som **inte** spänner upp $V$, så finns en vektor $\vec{v} \in V$ sådan att $S \cup \{\vec{v}\}$ fortfarande är linjärt oberoende. > > **Minus:** Om $S$ spänner upp $V$ men **inte** är linjärt oberoende, så finns en vektor i $S$ som kan tas bort utan att minska spannet. **Intuition:** Du kan alltid "bygga upp" till en bas genom att lägga till vektorer (plus), eller "trimma ner" till en bas genom att ta bort överflödiga vektorer (minus). > [!example]- Bygg upp till en bas > Låt $V = \mathbb{R}^3$ ($\dim = 3$). Starta med den linjärt oberoende mängden $S = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}$. > > $S$ spänner inte upp $\mathbb{R}^3$ (bara $x$-axeln). Enligt plus-satsen kan vi lägga till en vektor, t.ex. $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$: > > $S' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ > > Fortfarande oberoende, men spänner bara upp $xy$-planet. Lägg till ytterligare en, t.ex. $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$: > > $S'' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ > > Nu har vi 3 oberoende vektorer i $\mathbb{R}^3$ — det är en bas! > [!example]- Trimma ner till en bas > Låt $V = \mathbb{R}^2$ ($\dim = 2$). Mängden $S = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}$ spänner upp $\mathbb{R}^2$ men är linjärt beroende (3 vektorer i 2D). > > Enligt minus-satsen kan vi ta bort en vektor utan att minska spannet. T.ex. $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$, så ta bort den: > > $S' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ > > Nu har vi 2 oberoende vektorer i $\mathbb{R}^2$ — en bas! --- ## 5. Dimension av delrum > [!theorem] Sats: Dimensionssats för delrum > Låt $W$ vara ett delrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum $V$. Då gäller: > > 1. $W$ är ändligtdimensionellt > 2. $\dim(W) \leq \dim(V)$ > 3. $\dim(W) = \dim(V) \iff W = V$ **Tolkning:** - Ett delrum kan aldrig ha **högre** dimension än det omgivande rummet. - Det **enda** delrummet med samma dimension som $V$ är $V$ självt. > [!example]- Delrum till $\mathbb{R}^3$ > Alla delrum till $\mathbb{R}^3$ (och deras dimensioner): > > | Dimension | Geometri | Beskrivning | > |---|---|---| > | $0$ | Origo | $\{\vec{0}\}$ | > | $1$ | Linje genom origo | $\text{span}\{\vec{v}\}$ för någon $\vec{v} \neq \vec{0}$ | > | $2$ | Plan genom origo | $\text{span}\{\vec{u}, \vec{v}\}$ för ej parallella $\vec{u}, \vec{v}$ | > | $3$ | Hela $\mathbb{R}^3$ | $\mathbb{R}^3$ självt | > > Det finns **inga andra** delrum till $\mathbb{R}^3$! > [!example]- Bestäm dimensionen av ett delrum (möjlig tentauppgift) > Bestäm dimensionen av delrummet > $W = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\4\\-2\\6\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\\0\\2\end{bmatrix}\right\} \subseteq \mathbb{R}^4$ > > **Metod:** Dimensionen av spannet = antalet linjärt oberoende vektorer = antalet pivoter vid radreducering. > > Bilda matris med vektorerna som kolumner: > $A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\2 & 4 & 1 & 3\\-1 & -2 & 1 & 0\\3 & 6 & -1 & 2\end{bmatrix}$ > > Radreducera: > $\xrightarrow{R_2 - 2R_1,\; R_3 + R_1,\; R_4 - 3R_1} \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix}$ > > $\xrightarrow{R_3 - R_2,\; R_4 + R_2} \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > **2 pivoter** → $\dim(W) = 2$. > > **Tolkning:** Trots att vi startade med 4 vektorer i $\mathbb{R}^4$ spänner de bara upp ett 2-dimensionellt delrum (ett "plan" i $\mathbb{R}^4$). Vektor 2 är en multipel av vektor 1 ($2 \cdot \vec{v}_1$) och vektor 4 är en kombination av de andra. > > En bas för $W$ fås av de vektorer som motsvarar pivotkolumner: $\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\-1\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\\-1\end{bmatrix}\right\}$. --- ## 6. Sammanfattning: dimensionsverktyg | Situation | Slutsats | |---|---| | $\dim(V) = n$ och du har gt; n$ vektorer | Automatiskt linjärt beroende | | $\dim(V) = n$ och du har lt; n$ vektorer | Kan inte spänna upp $V$ | | $\dim(V) = n$ och du har exakt $n$ vektorer | Oberoende $\iff$ spänner upp $\iff$ bas | | $W$ delrum till $V$ | $\dim(W) \leq \dim(V)$ | | $W$ delrum till $V$ med $\dim(W) = \dim(V)$ | $W = V$ | --- ## 7. Beslutsträd ### Bestäm dimensionen av ett delrum/span ```mermaid flowchart TD A["Givet: W = span{v₁, ..., vₚ} ⊆ V"] --> B["Skriv vektorerna som kolumner\ni en matris A"] B --> C["Radreducera till\ntrappstegsform"] C --> D["Räkna antalet pivoter"] D --> E["dim(W) = antal pivoter"] E --> F{"Behöver du en bas?"} F -- Ja --> G["Välj de ursprungliga vektorer\nsom motsvarar pivotkolumner"] F -- Nej --> H["Klar!"] ``` ### Är mängden en bas? (med dimension) ```mermaid flowchart TD A["Givet: {v₁, ..., vₚ} i V med dim(V) = n"] --> B{"p = n?"} B -- "p < n" --> NO1["INTE EN BAS\nFör få vektorer — kan inte\nspänna upp V"] B -- "p > n" --> NO2["INTE EN BAS\nFör många vektorer —\nautomatiskt beroende"] B -- "p = n" --> C["Kontrollera ETT av:\n• Linjärt oberoende\n• Spänner upp"] C --> D{"Villkoret\nuppfyllt?"} D -- Ja --> YES["BAS ✓\n(det andra villkoret\nföljer automatiskt)"] D -- Nej --> NO3["INTE EN BAS"] ``` --- ## 8. Övningsuppgifter ### Dimensionsuppgifter > [!question]- Uppgift 1: Ange dimensionen > Ange dimensionen för följande vektorrum: > > a) $\mathbb{R}^5$ > b) $\mathcal{P}_4$ > c) $M_{3 \times 2}$ > d) $M_{2 \times 2}$ > e) $\mathcal{P}_0$ > > > [!hint]- Ledtråd > > Använd formlerna: $\dim(\mathbb{R}^n) = n$, $\dim(\mathcal{P}_n) = n + 1$, $\dim(M_{m \times n}) = m \cdot n$. > > > [!success]- Facit > > a) $\dim(\mathbb{R}^5) = 5$ > > b) $\dim(\mathcal{P}_4) = 5$ (bas: $\{1, x, x^2, x^3, x^4\}$) > > c) $\dim(M_{3 \times 2}) = 6$ > > d) $\dim(M_{2 \times 2}) = 4$ > > e) $\dim(\mathcal{P}_0) = 1$ (bas: $\{1\}$, alla konstanta polynom) > [!question]- Uppgift 2: Dimension av delrum > Bestäm dimensionen av delrummet > $W = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\right\} \subseteq \mathbb{R}^3$ > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Bilda en matris med vektorerna som kolumner och radreducera. Antalet pivoter = $\dim(W)$. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Notera att den tredje vektorn $(1,1,2)$ ser ut som summan av de två första: $(1,0,1) + (0,1,1) = (1,1,2)$. Stämmer det? I så fall är vektorerna linjärt beroende. > > > [!success]- Facit > > $\dim(W) = 2$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Radreducera: > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > > > > > **2 pivoter** → $\dim(W) = 2$. > > > > > > Den tredje vektorn var redundant: $\vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$. > > > > > > En bas för $W$: $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$. > > > > > > Geometriskt: $W$ är ett **plan genom origo** i $\mathbb{R}^3$. > [!question]- Uppgift 3: Dimension av polynomdelrum > Bestäm dimensionen av > $W = \text{span}\{1 + x,\; x + x^2,\; 1 + 2x + x^2\} \subseteq \mathcal{P}_2$ > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Översätt polynomen till vektorer i $\mathbb{R}^3$: $(1+x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$, $(x+x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$, $(1+2x+x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Notera att $(1+x) + (x+x^2) = 1 + 2x + x^2$. Det tredje polynomet är summan av de två första! > > > [!success]- Facit > > $\dim(W) = 2$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Vektorrepresentation och radreducering: > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > > > > > > 2 pivoter → $\dim(W) = 2$. > > > > > > Beroendet: $(1 + 2x + x^2) = (1+x) + (x+x^2)$. > > > > > > En bas för $W$: $\{1+x,\; x+x^2\}$. > > > > > > Notera: $W \subsetneq \mathcal{P}_2$ eftersom $\dim(W) = 2 < 3 = \dim(\mathcal{P}_2)$. T.ex. polynomet $x^2$ kan inte skrivas som en kombination av $1+x$ och $x+x^2$ (kontrollera!). --- ### Basuppgifter med dimension > [!question]- Uppgift 4: Bas för $\mathbb{R}^4$? > Är $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ en bas för $\mathbb{R}^4$? > > > [!hint]- Ledtråd > > Vi har 4 vektorer i $\mathbb{R}^4$ ($\dim = 4$). Alltså räcker det att kontrollera **ett** av villkoren (oberoende eller spänner upp). > > > [!success]- Facit > > **Ja**, det är en bas. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Radreducera: > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_4 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & -1\end{bmatrix}$ > > > > > > $\xrightarrow{R_4 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & -2\end{bmatrix} \xrightarrow{R_4 - R_3} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & -3\end{bmatrix}$ > > > > > > 4 pivoter i en $4 \times 4$-matris → linjärt oberoende → bas för $\mathbb{R}^4$. ✓ > [!question]- Uppgift 5: Komplettera till bas > Givet den linjärt oberoende mängden $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$ i $\mathbb{R}^3$. > > Hitta en vektor $\vec{v}$ så att mängden utökas till en bas för $\mathbb{R}^3$. > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Vi har 2 oberoende vektorer och behöver 3 för en bas i $\mathbb{R}^3$. Enligt plus/minus-satsen kan vi lägga till en vektor. Testa en standardbasvektor — t.ex. $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Kontrollera att $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}$ är linjärt oberoende genom att radreducera. Om det inte fungerar, testa $\vec{e}_2$ eller $\vec{e}_3$. > > > [!success]- Facit > > T.ex. $\vec{v} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ fungerar (det finns flera korrekta svar). > > > > > [!success]- Full lösning > > > Pröva $\vec{v} = \vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$: > > > > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$ > > > > > > 3 pivoter → oberoende → bas för $\mathbb{R}^3$. ✓ > > > > > > Hade vi valt $\vec{v} = \begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$ hade det **inte** fungerat (den är $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$, alltså beroende av de befintliga). Standardbasvektorer är ofta ett bra val att pröva. --- ### Konceptuella uppgifter > [!question]- Uppgift 6: Sant eller falskt? > Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort. > > a) $\dim(\mathcal{P}_3) = 3$. > b) Om $\dim(V) = 5$ och $S$ har 5 linjärt oberoende vektorer i $V$, så är $S$ en bas för $V$. > c) Om $W$ är ett delrum till $\mathbb{R}^4$ och $\dim(W) = 4$, så är $W = \mathbb{R}^4$. > d) Om $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ spänner upp $V$ och $\dim(V) = 3$, så är mängden en bas. > e) Om $\dim(V) = n$, så finns det exakt en bas för $V$. > > > [!hint]- Ledtråd > > a) Hur många element har standardbasen $\{1, x, x^2, x^3\}$? > > e) Tänk på att redan i $\mathbb{R}^2$ finns oändligt många baser. > > > [!success]- Facit > > > > a) **Falskt.** $\dim(\mathcal{P}_3) = 4$ (standardbasen $\{1, x, x^2, x^3\}$ har 4 element). > > > > b) **Sant.** Exakt $n = 5$ vektorer som är linjärt oberoende i ett $n$-dimensionellt rum bildar automatiskt en bas. > > > > c) **Sant.** Dimensionssatsen: om $W \subseteq V$ och $\dim(W) = \dim(V)$, så $W = V$. > > > > d) **Sant.** 3 vektorer som spänner upp ett 3-dimensionellt rum måste vara oberoende (annars kunde vi ta bort en och spänna upp med 2, men $2 < 3$). Alltså en bas. > > > > e) **Falskt.** Det finns oändligt många baser. T.ex. i $\mathbb{R}^2$ är $\{(1,0), (0,1)\}$, $\{(1,1), (1,-1)\}$, $\{(2,1), (1,3)\}$ alla baser. Alla baser har samma **antal** vektorer ($n$), men det finns oändligt många val. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — dimension som antal basvektorer - [3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16)](https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8) — dimension i abstrakta vektorrum - [3Blue1Brown: Nonsquare matrices as transformations between dimensions (kap 8)](https://youtu.be/v8VSDg_WQlA) — olika dimensioner och transformationer ### Wikipedia - [Dimension (vector space)](https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension_(vector_space)) - [Basis (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)) ### Fördjupning - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Basis and Dimension](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/dimension.html)