# Bas & Koordinater
> **Föreläsning:** V4L3 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** Vektorrum, delrum ([[V4L1 M0067M]]), linjärt hölje, linjärt oberoende ([[V4L2 M0067M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Bas | Basis |
| Standardbas | Standard basis |
| Koordinatvektor | Coordinate vector |
| Koordinater relativt en bas | Coordinates relative to a basis |
| Unik representation | Unique representation |
| Isomorfi | Isomorphism |
| Dimension | Dimension |
| Linjärt oberoende | Linearly independent |
| Spänna upp | To span |
| Mängd | Set |
---
## 1. Vad är en bas?
> [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY)
I [[V4L2 M0067M]] lärde vi oss två begrepp:
- **Span** — vilka vektorer kan vi *nå*?
- **Linjärt oberoende** — är vår vektormängd *effektiv* (inga onödiga)?
En **bas** kombinerar dessa två krav. Den är en vektormängd som är precis lagom stor: stor nog att nå allting, men utan överflödiga vektorer.
### 1.1 Definition
> [!abstract] Definition: Bas
> Låt $W$ vara ett underrum till ett vektorrum $V$.
>
> En mängd $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ är en **bas** för $W$ om:
> 1. $B$ är **linjärt oberoende**
> 2. $B$ **spänner upp** $W$, dvs. $\text{span}(B) = W$
**Intuition:** En bas är den *minimala* uppsättningen vektorer som fortfarande kan bygga allt i rummet. Ta bort en vektor och du kan inte längre nå allt. Lägg till en och den är överflödig.
### 1.2 Geometrisk intuition
| Rum | Bas behöver... | Exempel |
|---|---|---|
| En linje genom origo | 1 vektor (i linjens riktning) | $\{(1,2)\}$ för linjen $y = 2x$ |
| $\mathbb{R}^2$ | 2 ej parallella vektorer | $\{(1,0),\,(0,1)\}$ |
| Ett plan genom origo i $\mathbb{R}^3$ | 2 ej parallella vektorer i planet | $\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}$ för $xy$-planet |
| $\mathbb{R}^3$ | 3 vektorer som inte ligger i samma plan | $\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}$ |
---
## 2. Standardbaser
Varje "vanligt" vektorrum har en naturlig, enkel bas som kallas **standardbasen**.
### 2.1 Standardbas för $\mathbb{R}^n$
I $\mathbb{R}^n$ är standardbasen:
$\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$
där $\vec{e}_i$ har en etta i position $i$ och nollor överallt annars.
> [!example]- Standardbasen för $\mathbb{R}^2$ och $\mathbb{R}^3$
> **$\mathbb{R}^2$:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$
>
> **$\mathbb{R}^3$:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$
>
> **Verifiering** (t.ex. $\mathbb{R}^3$):
> - *Linjärt oberoende:* $c_1\vec{e}_1 + c_2\vec{e}_2 + c_3\vec{e}_3 = \vec{0}$ ger direkt $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ ✓
> - *Spänner upp:* Varje $\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3$ ✓
### 2.2 Standardbas för $\mathcal{P}_n$
I polynomrummet $\mathcal{P}_n$ (polynom med grad $\leq n$) är standardbasen:
$\{1,\; x,\; x^2,\; \dots,\; x^n\}$
> [!example]- Standardbaser för polynomrum
> **$\mathcal{P}_2$:** $\{1, x, x^2\}$ — varje polynom $a + bx + cx^2$ är en linjärkombination av dessa.
>
> **$\mathcal{P}_3$:** $\{1, x, x^2, x^3\}$ — varje polynom av grad $\leq 3$ kan skrivas $a + bx + cx^2 + dx^3$.
>
> **Verifiering för $\mathcal{P}_2$:**
> - *Linjärt oberoende:* $c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot x^2 = 0$ för alla $x$ kräver $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ ✓
> - *Spänner upp:* Per definition är varje polynom i $\mathcal{P}_2$ en linjärkombination $a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2$ ✓
### 2.3 Standardbas för $M_{m \times n}$
I matrisrummet $M_{m \times n}$ är standardbasen mängden av alla matriser med exakt en etta och resten nollor.
> [!example]- Standardbasen för $M_{2 \times 2}$
> $\left\{\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\right\}$
>
> Varje $2 \times 2$-matris kan skrivas:
> $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$
>
> Basen har **4 element** — det stämmer med att $M_{2 \times 2}$ har dimension 4.
---
## 3. Är en given mängd en bas? — metod
För att kontrollera om $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_p\}$ är en bas för ett rum med dimension $n$:
**Steg-för-steg:**
1. Skriv vektorerna som **kolumner** i en matris $A$
2. **Radreducera** till trappstegsform
3. Kontrollera:
- Varje **kolumn** har en pivot → linjärt oberoende ✓
- Varje **rad** har en pivot → spänner upp ✓
- **Båda** gäller → bas ✓
> [!tip] Genväg: räkna vektorer
> Om du vet att rummet har dimension $n$ och du har exakt $n$ vektorer, räcker det att kontrollera **ett** av villkoren (oberoende ELLER spänner upp) — det andra följer automatiskt! Detta beror på att en $n \times n$-matris har en pivot i varje kolumn *om och bara om* den har en pivot i varje rad.
> [!example]- Räkneexempel: Är tre polynom en bas för $\mathcal{P}_2$? (möjlig tentauppgift)
> Givet:
> - $p_1(x) = 1 + x - x^2$
> - $p_2(x) = 1 - x + x^2$
> - $p_3(x) = 1 + x$
>
> **Fråga:** Är $\{p_1, p_2, p_3\}$ en bas för $\mathcal{P}_2$?
>
> **Steg 1:** Identifiera koefficienter och skriv som kolumner. Varje polynom $a + bx + cx^2$ motsvarar vektorn $\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$:
>
> $p_1 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}, \quad p_2 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}, \quad p_3 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$
>
> **Steg 2:** Bilda matris och radreducera:
> $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 0\end{bmatrix}$
>
> $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\-1 & 1 & 0\end{bmatrix}$
>
> $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\0 & 2 & 1\end{bmatrix}$
>
> $R_3 \leftarrow R_3 + R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
>
> **Steg 3:** Tre pivoter i en $3 \times 3$-matris → varje kolumn har en pivot OCH varje rad har en pivot.
>
> **Svar:** Ja, $\{p_1, p_2, p_3\}$ är en **bas** för $\mathcal{P}_2$. ✓
> [!example]- Räkneexempel: Två vektorer i $\mathbb{R}^2$
> Är $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$ en bas för $\mathbb{R}^2$?
>
> **Snabbkoll:** Vi har 2 vektorer i $\mathbb{R}^2$ ($\dim = 2$). Alltså räcker det att kontrollera linjärt oberoende.
>
> Är $(3,1) = k \cdot (1,2)$ för något $k$? Det ger $k = 3$ och $k = 1/2$ — motsägelse. Vektorerna är **inte** parallella → linjärt oberoende ✓.
>
> Eftersom 2 oberoende vektorer i $\mathbb{R}^2$ (dim 2) automatiskt spänner upp: **Ja, $B$ är en bas för $\mathbb{R}^2$.** ✓
---
## 4. Unik representation — varför baser är så användbara
Den centrala anledningen till att baser är viktiga är att de ger oss ett **koordinatsystem**.
> [!theorem] Sats: Unik representation
> Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ vara en **bas** för vektorrummet $V$.
>
> För varje $\vec{x} \in V$ finns en **unik** uppsättning skalärer $c_1, c_2, \dots, c_p$ sådana att
>
> $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_p\vec{b}_p$
**Varför?** Beviset har två delar:
1. **Existens:** Eftersom $B$ spänner upp $V$ kan varje $\vec{x}$ skrivas som en linjärkombination av basvektorerna.
2. **Unikhet:** Antag att det finns *två* representationer:
$\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + \dots + c_p\vec{b}_p \quad \text{och} \quad \vec{x} = d_1\vec{b}_1 + \dots + d_p\vec{b}_p$
Subtrahera: $(c_1 - d_1)\vec{b}_1 + \dots + (c_p - d_p)\vec{b}_p = \vec{0}$.
Eftersom $B$ är linjärt oberoende måste $c_i - d_i = 0$ för alla $i$, alltså $c_i = d_i$. Representationen var densamma! ∎
> [!tip] Varför spelar det roll?
> Utan unikhet hade koordinater varit meningslösa — samma vektor kunde ha olika "adresser". Unikheten garanterar att varje vektor har **exakt en** uppsättning koordinater relativt en given bas, precis som varje punkt på en karta har exakt en GPS-position.
---
## 5. Koordinater relativt en bas
> [3B1B: Change of basis](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA)
### 5.1 Definition
> [!abstract] Definition: Koordinatvektor
> Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{x} \in V$.
>
> Om $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_p\vec{b}_p$ kallas
>
> $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_p\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^p$
>
> **koordinatvektorn** för $\vec{x}$ relativt basen $B$.
**Med andra ord:** koordinatvektorn talar om "hur mycket av varje basvektor" som behövs för att bygga $\vec{x}$.
> [!important] Koordinater beror på basen!
> Samma vektor $\vec{x}$ får **olika** koordinater beroende på vilken bas man väljer. Basen fungerar som ett "perspektiv" — byt perspektiv och siffrorna ändras, men vektorn i sig är densamma.
### 5.2 Specialfall: standardbasen
Om $B$ är standardbasen $\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ för $\mathbb{R}^n$, så är koordinatvektorn identisk med själva vektorn:
$[\vec{x}]_{\text{standard}} = \vec{x}$
Det är därför vi "normalt" inte tänker på koordinater — vi jobbar redan i standardbasen utan att reflektera över det.
---
### 5.3 Exempel
> [!example]- Koordinater i $\mathbb{R}^2$: givet koordinatvektor, hitta $\vec{x}$
> Låt $B = \left\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\right\}$ med $\vec{b}_1 = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$, $\vec{b}_2 = \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$.
>
> **Givet:** $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}$. Vad är $\vec{x}$ (i standardkoordinater)?
>
> **Lösning:** $\vec{x} = 2\vec{b}_1 + 5\vec{b}_2 = 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}15\\5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17\\9\end{bmatrix}$
>
> **Svar:** $\vec{x} = \begin{bmatrix}17\\9\end{bmatrix}$
>
> **Tolkning:** I bas $B$:s "koordinatsystem" är adressen $(2, 5)$, men i standardkoordinater hamnar vi på $(17, 9)$.
> [!example]- Koordinater i $\mathbb{R}^2$: givet $\vec{x}$, hitta koordinatvektorn
> Samma bas: $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$.
>
> **Givet:** $\vec{x} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$. Bestäm $[\vec{x}]_B$.
>
> **Lösning:** Vi söker $c_1, c_2$ sådana att $c_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$.
>
> Ekvationssystem:
> $\begin{cases}c_1 + 3c_2 = 7\\2c_1 + c_2 = 0\end{cases}$
>
> Radreducera den utökade matrisen:
> $\left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\2 & 1 & 0\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\0 & -5 & -14\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 / (-5)} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\0 & 1 & \frac{14}{5}\end{array}\right]$
>
> $\xrightarrow{R_1 - 3R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & -\frac{7}{5}\\0 & 1 & \frac{14}{5}\end{array}\right]$
>
> **Svar:** $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}-7/5\\14/5\end{bmatrix}$
>
> **Kontroll:** $-\frac{7}{5}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + \frac{14}{5}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-7/5 + 42/5\\-14/5 + 14/5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}35/5\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$ ✓
>
> **Notera:** Att svaret innehåller bråk är helt normalt — det beror på att basvektorerna inte är ortogonala med heltalslängder.
> [!example]- Koordinater i $\mathcal{P}_2$
> Låt $B = \{p_1, p_2, p_3\}$ med:
> - $p_1(x) = 1 - x$
> - $p_2(x) = 1 + x$
> - $p_3(x) = 1 - x^2$
>
> **Givet:** Bestäm koordinaterna för $q(x) = 1 + x + x^2$ relativt $B$.
>
> **Lösning:** Vi söker $c_1, c_2, c_3$ sådana att:
> $c_1(1 - x) + c_2(1 + x) + c_3(1 - x^2) = 1 + x + x^2$
>
> Utveckla vänsterledet och samla termer:
> $(c_1 + c_2 + c_3) + (-c_1 + c_2)x + (-c_3)x^2 = 1 + x + x^2$
>
> Jämför koefficienter:
>
> | Term | Vänsterled | Högerled |
> |---|---|---|
> | $x^0$ (konstant) | $c_1 + c_2 + c_3$ | $1$ |
> | $x^1$ | $-c_1 + c_2$ | $1$ |
> | $x^2$ | $-c_3$ | $1$ |
>
> Ekvationssystem:
> $\begin{cases}c_1 + c_2 + c_3 = 1\\-c_1 + c_2 = 1\\-c_3 = 1\end{cases}$
>
> Från ekvation (3): $c_3 = -1$.
> Insatt i (1): $c_1 + c_2 = 2$.
> Från (2): $-c_1 + c_2 = 1$.
> Addera: $2c_2 = 3 \implies c_2 = \frac{3}{2}$, och då $c_1 = \frac{1}{2}$.
>
> **Svar:** $[q]_B = \begin{bmatrix}1/2\\3/2\\-1\end{bmatrix}$
>
> Alltså: $1 + x + x^2 = \frac{1}{2}(1-x) + \frac{3}{2}(1+x) + (-1)(1-x^2)$
>
> **Kontroll:** $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}x - 1 + x^2 = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1) + (-\frac{1}{2} + \frac{3}{2})x + x^2 = 1 + x + x^2$ ✓
---
## 6. Räkneregler för koordinater
Koordinatvektorn bevarar de linjära operationerna — addition och skalärmultiplikation "fungerar likadant" i koordinater som i originalrummet.
> [!theorem] Sats: Linjäritet hos koordinatavbildningen
> Låt $B$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{u}, \vec{v} \in V$, $c \in \mathbb{R}$. Då gäller:
>
> $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$
> $[c\vec{u}]_B = c\,[\vec{u}]_B$
**Varför?** Om $\vec{u} = \sum a_i \vec{b}_i$ och $\vec{v} = \sum d_i \vec{b}_i$, så $\vec{u} + \vec{v} = \sum (a_i + d_i)\vec{b}_i$, och koordinatvektorn för summan är just summan av koordinatvektorerna.
> [!tip] Vad detta innebär
> Att lösa problem i ett "komplicerat" vektorrum (polynom, matriser, funktioner...) kan alltid **översättas** till att lösa motsvarande problem i $\mathbb{R}^n$ via koordinater. Denna koppling kallas **isomorfi** — rummen "ser likadana ut" algebraiskt.
---
## 7. Koordinater bevarar linjärt oberoende
> [!theorem] Sats: Oberoende bevaras av koordinatavbildningen
> Låt $V$ vara ett vektorrum med bas $B = \{\vec{b}_1, \dots, \vec{b}_n\}$.
>
> Då gäller för vektorer $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_m \in V$:
>
> $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_m\} \text{ linjärt oberoende i } V \iff \{[\vec{v}_1]_B, \dots, [\vec{v}_m]_B\} \text{ linjärt oberoende i } \mathbb{R}^n$
**Bevis ($\Leftarrow$):** Antag att koordinatvektorerna är linjärt oberoende i $\mathbb{R}^n$. Vi vill visa att originalvektorerna är oberoende i $V$.
Sätt $c_1\vec{v}_1 + \dots + c_m\vec{v}_m = \vec{0}$.
Ta koordinater relativt $B$ på båda sidor och använd linjäriteten:
$[c_1\vec{v}_1 + \dots + c_m\vec{v}_m]_B = [\vec{0}]_B$
$c_1[\vec{v}_1]_B + \dots + c_m[\vec{v}_m]_B = \vec{0}$
Eftersom koordinatvektorerna är linjärt oberoende: $c_1 = \dots = c_m = 0$. ∎
(Den andra riktningen bevisas helt analogt.)
> [!important] Praktisk konsekvens
> **Du behöver aldrig jobba direkt med polynom, matriser eller andra abstrakta vektorer** när du vill kontrollera linjärt oberoende — översätt till koordinater i $\mathbb{R}^n$ och radreducera som vanligt. Det är exakt vad vi har gjort i alla polynom- och matrisexempel hittills!
---
## 8. En kommentar om mängdnotation
Vi skriver baser med **mängdparenteser** $\{\ \}$. Formellt innebär detta att:
- **Ordningen spelar ingen roll:** $\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\} = \{\vec{b}_2, \vec{b}_1\}$ som mängder
- **Inga dubbletter:** $\{\vec{v}, \vec{v}\} = \{\vec{v}\}$
> [!warning] I praktiken spelar ordningen roll ändå!
> Även om mängdnotationen säger att ordning inte spelar roll, **beror koordinatvektorn på vilken ordning vi listar basvektorerna**. Om vi byter ordning på $\vec{b}_1$ och $\vec{b}_2$ i basen flippar vi koordinaterna:
>
> $[\vec{x}]_{\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}} = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} \quad$ men $\quad [\vec{x}]_{\{\vec{b}_2, \vec{b}_1\}} = \begin{bmatrix}c_2\\c_1\end{bmatrix}$
>
> Därför bör man strikt sett använda **ordnade** mängder (tupler) för baser, men konventionen i de flesta läroböcker är att använda $\{\ \}$ och underförstå att ordningen är given.
---
## 9. Beslutsträd
### Är $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_p\}$ en bas för $V$?
```mermaid
flowchart TD
A["Givet: {v₁, ..., vₚ} i V med dim(V) = n"] --> B{"Har du rätt antal\nvektorer? (p = n)"}
B -- "p ≠ n" --> NO["INTE EN BAS\np < n → kan inte spänna upp\np > n → kan inte vara oberoende"]
B -- "p = n" --> C["Skriv vektorerna som kolumner\ni en n×n-matris och radreducera"]
C --> D{"Har varje kolumn\nen pivot?\n(ekvivalent: har varje\nrad en pivot?)"}
D -- Ja --> YES["BAS ✓\n• Linjärt oberoende ✓\n• Spänner upp V ✓"]
D -- Nej --> NO2["INTE EN BAS\nVektorerna är linjärt beroende\noch spänner inte upp V"]
```
### Hitta koordinater $[\vec{x}]_B$
```mermaid
flowchart TD
A["Givet: bas B = {b₁,...,bₙ}\noch vektor x ∈ V"] --> B["Sätt upp ekvationen\nc₁b₁ + c₂b₂ + ... + cₙbₙ = x"]
B --> C["Skriv som utökad matris\n[b₁ | b₂ | ... | bₙ | x]"]
C --> D["Radreducera till\nreducerad trappstegsform"]
D --> E["Läs av c₁, c₂, ..., cₙ\nfrån sista kolumnen"]
E --> F["Svaret:\n[x]_B = (c₁, c₂, ..., cₙ)"]
```
---
## 10. Övningsuppgifter
### Bas-uppgifter
> [!question]- Uppgift 1: Bas för $\mathbb{R}^3$?
> Är $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ en bas för $\mathbb{R}^3$?
>
> > [!hint]- Ledtråd 1
> > Vi har 3 vektorer i $\mathbb{R}^3$ (dim = 3), så antalet stämmer. Det räcker att kontrollera **ett** av villkoren: linjärt oberoende eller spänner upp.
>
> > [!hint]- Ledtråd 2
> > Bilda $3 \times 3$-matrisen med vektorerna som kolumner och radreducera. Om alla tre kolumnerna har pivoter → bas.
>
> > [!success]- Facit
> > **Ja**, det är en bas för $\mathbb{R}^3$.
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > Radreducera:
> > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -2\end{bmatrix}$
> > >
> > > Tre pivoter i en $3 \times 3$-matris → **linjärt oberoende** och **spänner upp** $\mathbb{R}^3$.
> > >
> > > **Alltså:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ är en bas för $\mathbb{R}^3$. ✓
> [!question]- Uppgift 2: Bas för $\mathcal{P}_2$?
> Är $\{1 + x,\; x + x^2,\; 1 + x^2\}$ en bas för $\mathcal{P}_2$?
>
> > [!hint]- Ledtråd 1
> > Översätt polynomen till vektorer i $\mathbb{R}^3$: $(1 + x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$, $(x + x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$, $(1 + x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$. Bilda matris och radreducera.
>
> > [!hint]- Ledtråd 2
> > Notera att detta ger **exakt samma matris** som i uppgift 1 (fast kolumnerna i annan ordning). Alternativt: kontrollera om $(1+x^2) = (1+x) + (x+x^2)$ stämmer. Stämmer det?
>
> > [!success]- Facit
> > **Ja**, det är en bas för $\mathcal{P}_2$.
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > Översätt och bilda matris:
> > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
> > >
> > > Radreducera:
> > > $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
> > >
> > > $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$
> > >
> > > Tre pivoter → linjärt oberoende → **Ja, det är en bas för $\mathcal{P}_2$!** ✓
> > >
> > > **Poäng:** Tre linjärt oberoende vektorer i ett 3-dimensionellt rum bildar alltid en bas.
---
### Koordinat-uppgifter
> [!question]- Uppgift 3: Hitta koordinater i $\mathbb{R}^2$
> Låt $B = \left\{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\right\}$ och $\vec{x} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$.
>
> Bestäm $[\vec{x}]_B$.
>
> > [!hint]- Ledtråd 1
> > Lös $c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$, dvs. systemet $2c_1 + c_2 = 5$ och $c_1 + 3c_2 = 5$.
>
> > [!hint]- Ledtråd 2
> > Från ekvation 2: $c_1 = 5 - 3c_2$. Insatt i ekvation 1: $2(5 - 3c_2) + c_2 = 5 \implies 10 - 5c_2 = 5$.
>
> > [!success]- Facit
> > $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > Ekvationssystem:
> > > $\begin{cases}2c_1 + c_2 = 5\\c_1 + 3c_2 = 5\end{cases}$
> > >
> > > Utökad matris och radreducera:
> > > $\left[\begin{array}{cc|c}2 & 1 & 5\\1 & 3 & 5\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 5\\2 & 1 & 5\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 5\\0 & -5 & -5\end{array}\right]$
> > >
> > > Från rad 2: $-5c_2 = -5 \implies c_2 = 1$. Från rad 1: $c_1 + 3 = 5 \implies c_1 = 2$.
> > >
> > > $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Kontroll:** $2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4+1\\2+3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$ ✓
> [!question]- Uppgift 4: Koordinater i polynomrum
> Låt $B = \{1 - x,\; 1 + x,\; 1 - x^2\}$ (samma bas som i exemplet ovan).
>
> Bestäm $[3 + x - 2x^2]_B$.
>
> > [!hint]- Ledtråd 1
> > Sätt upp ekvationen $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(1-x^2) = 3 + x - 2x^2$ och jämför koefficienter.
>
> > [!hint]- Ledtråd 2
> > Koefficientjämförelsen ger:
> > - Konstant: $c_1 + c_2 + c_3 = 3$
> > - $x$: $-c_1 + c_2 = 1$
> > - $x^2$: $-c_3 = -2$
>
> > [!success]- Facit
> > $[3 + x - 2x^2]_B = \begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}$
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > Utveckla: $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(1-x^2) = (c_1+c_2+c_3) + (-c_1+c_2)x + (-c_3)x^2$
> > >
> > > Jämför med $3 + x - 2x^2$:
> > > $\begin{cases}c_1 + c_2 + c_3 = 3\\-c_1 + c_2 = 1\\-c_3 = -2\end{cases}$
> > >
> > > Från (3): $c_3 = 2$. Insatt i (1): $c_1 + c_2 = 1$.
> > > Från (2): $-c_1 + c_2 = 1$.
> > > Addera (1') och (2): $2c_2 = 2 \implies c_2 = 1$, och då $c_1 = 0$.
> > >
> > > **Kontroll:** $0(1-x) + 1(1+x) + 2(1-x^2) = 1 + x + 2 - 2x^2 = 3 + x - 2x^2$ ✓
> > >
> > > **Svar:** $[3 + x - 2x^2]_B = \begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}$
> [!question]- Uppgift 5: Från koordinater till vektor
> Låt $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ vara en bas för $\mathbb{R}^3$.
>
> Om $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}3\\-1\\2\end{bmatrix}$, vad är $\vec{x}$?
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + c_3\vec{b}_3$ där $(c_1, c_2, c_3)$ läses direkt ur koordinatvektorn.
>
> > [!success]- Facit
> > $\vec{x} = \begin{bmatrix}5\\2\\1\end{bmatrix}$
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > $\vec{x} = 3\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\3\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\-1\\-1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\2\\1\end{bmatrix}$
---
### Konceptuella uppgifter
> [!question]- Uppgift 6: Sant eller falskt? (med motivering)
> Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.
>
> a) Standardbasen är den enda basen för $\mathbb{R}^n$.
> b) Om $B$ är en bas för $V$ och $\vec{x} \in V$, så finns det exakt en koordinatvektor $[\vec{x}]_B$.
> c) Om $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ är linjärt oberoende i $\mathbb{R}^3$, så är det en bas för $\mathbb{R}^3$.
> d) Om $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ spänner upp $\mathbb{R}^3$, så är det en bas för $\mathbb{R}^3$.
> e) Varje vektorrum har en standardbas.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > Tänk på definitionen av bas: linjärt oberoende + spänner upp. Saknas ett villkor → inte en bas. Fundera också på vad "dimension" innebär för antalet vektorer i en bas.
>
> > [!success]- Facit och motivering
> >
> > a) **Falskt.** Det finns oändligt många baser för $\mathbb{R}^n$. T.ex. $\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$ är en bas för $\mathbb{R}^2$ som inte är standardbasen.
> >
> > b) **Sant.** Det är precis satsen om unik representation. Eftersom $B$ är en bas (oberoende + spänner upp) bestäms koordinaterna entydigt.
> >
> > c) **Falskt.** Linjärt oberoende räcker inte — vi behöver även spänna upp. Två vektorer i $\mathbb{R}^3$ kan högst spänna upp ett plan (2-dimensionellt delrum), inte hela $\mathbb{R}^3$ (som är 3-dimensionellt). Vi behöver 3 vektorer.
> >
> > d) **Sant** (under förutsättning att mängden också är linjärt oberoende). Men faktum är: 3 vektorer som spänner upp $\mathbb{R}^3$ *måste* vara linjärt oberoende. Varför? Matrisen med 3 kolumner i $\mathbb{R}^3$ som har en pivot i varje rad (spänner upp) har 3 pivoter i 3 kolumner — alltså en pivot per kolumn (oberoende). **Sant.**
> >
> > e) **Falskt.** "Standardbasen" är bara definierad för rum som har en naturlig/kanonisk bas, som $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{P}_n$ och $M_{m \times n}$. Godtyckliga vektorrum (t.ex. lösningsrum till differentialekvationer) behöver inte ha en "standard"-bas, även om de har baser.
> [!question]- Uppgift 7: Visa att koordinatavbildningen bevarar addition
> Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$ vara en bas för $V$.
>
> Om $\vec{u} = 3\vec{b}_1 + 2\vec{b}_2$ och $\vec{v} = -\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2$, verifiera att $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > Beräkna $\vec{u} + \vec{v}$ och bestäm koordinatvektorn. Beräkna sedan $[\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$ separat. Jämför.
>
> > [!success]- Facit
> > $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$ ✓
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > $\vec{u} + \vec{v} = (3\vec{b}_1 + 2\vec{b}_2) + (-\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2) = 2\vec{b}_1 + 6\vec{b}_2$
> > >
> > > Alltså $[\vec{u} + \vec{v}]_B = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$.
> > >
> > > Å andra sidan: $[\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$.
> > >
> > > Identiska! ✓ Koordinatavbildningen bevarar addition.
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — vad en bas är och varför den behövs
- [3Blue1Brown: Change of basis (kap 13)](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) — koordinater relativt olika baser
- [3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16)](https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8) — baser i abstrakta vektorrum
### Wikipedia
- [Basis (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra))
- [Coordinate vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_vector)
- [Standard basis](https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_basis)
### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Vector Space](https://immersivemath.com/ila/ch06_vectorspaces/ch06.html)
- [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Basis and Dimension](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/dimension.html)