# Vektorrum & Underrum
> **Föreläsning:** V4L1 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** Vektorer, skalärprodukt ([[V3L1 M0067M]]), linjära avbildningar ([[V2L2 M0067M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
| ------------------------ | ------------------------ |
| Vektorrum | Vector space |
| Underrum / delrum | Subspace |
| Axiom | Axiom |
| Sluten (under operation) | Closed (under operation) |
| Nollelement | Zero element |
| Additiv invers | Additive inverse |
| Skalärmultiplikation | Scalar multiplication |
| Polynomrum | Polynomial space |
| Trivialt underrum | Trivial subspace |
---
## 1. Definition av vektorrum
> [3B1B: Abstract vector spaces](https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8)
Ett **vektorrum** $V$ är en icketom mängd av element som vi kallar *vektorer*. Detta är en övergripande teori där t.ex. matriser och polynom faller under.
> [!note]- Terminologi
> Ingenting säger att elementen är vektorer i geometrisk mening — vi kallar dem bara vektorer.
För ett vektorrum definierar vi två operationer:
- $+$ addition
- $\cdot$ skalärmultiplikation
---
## 2. Axiom för vektorrum
Låt $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ vara vektorer och $c, d$ vara skalärer. Följande tio axiom gäller:
### 2.1 Addition
| Nr | Axiom | Namn |
|----|-------|------|
| 1 | $\vec{u} + \vec{v} \in V$ | Sluten under addition |
| 2 | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ | Kommutativitet |
| 3 | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ | Associativitet |
| 4 | $\exists \, \vec{0} \in V : \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ | Nollelement |
| 5 | $\forall \, \vec{u} \, \exists \, (-\vec{u}) : \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ | Additiv invers |
### 2.2 Skalärmultiplikation
| Nr | Axiom | Namn |
|----|-------|------|
| 6 | $c\vec{v} \in V$ | Sluten under skalärmultiplikation |
| 7 | $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$ | Distributiv (vektor) |
| 8 | $(c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$ | Distributiv (skalär) |
| 9 | $(cd)\vec{u} = c(d\vec{u})$ | Associativitet |
| 10 | $1\vec{u} = \vec{u}$ | Multiplikativ identitet |
---
## 3. Följdsatser
Följande egenskaper kan härledas från axiomen:
| Nr | Egenskap |
|-----|----------|
| i | $0\vec{u} = \vec{0}$ |
| ii | $c\vec{0} = \vec{0}$ |
| iii | $-\vec{u} = (-1)\vec{u}$ |
| iv | $\vec{u} + \vec{u} = 2\vec{u}$ |
---
## 4. Exempel på vektorrum
### 4.1 $\mathbb{R}^2$
Låt $\vec{u} = (u, v)$ och $\vec{w} = (x, y)$:
| Operation | Formel |
|-----------|--------|
| Addition | $(u, v) + (x, y) = (u + x, v + y)$ |
| Skalärmultiplikation | $c(u, v) = (cu, cv)$ |
| Additiv invers | $-\vec{u} = (-u, -v)$ |
| Nollvektor | $\vec{0} = (0, 0)$ |
### 4.2 $\mathbb{R}^n$ (fixt $n$)
Fungerar analogt med $\mathbb{R}^2$.
### 4.3 $M_{2 \times 2}$ (alla $2 \times 2$-matriser)
| Operation | Formel |
|-----------|--------|
| Addition | $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a + \alpha & b + \beta \\ c + \gamma & d + \delta \end{bmatrix}$ |
| Nollvektor | $\vec{0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ |
### 4.4 $\mathbb{P}_n$ (polynom av grad $\leq n$)
$\mathbb{P}_n = \{ \text{polynom av grad} \leq n \}$
Exempel i $\mathbb{P}_2$:
- $p(x) = 1 + 3x^2 \in \mathbb{P}_2$
- $q(x) = 1 - x \in \mathbb{P}_2$
- $p(x) + q(x) = 2 - x + 3x^2 \in \mathbb{P}_2$
### 4.5 $F(\mathbb{R})$ (funktioner $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)
| Operation | Formel |
|-----------|--------|
| Addition | $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ |
| Skalärmultiplikation | $(cf)(x) = c \cdot f(x)$ |
| Nollelement | $\vec{0}(x) = 0$ för alla $x$ |
| Additiv invers | $(-f)(x) = -f(x)$ |
---
## 5. Icke-exempel
> [!warning]- Ej vektorrum: Alla matriser
> Mängden av **alla matriser** (utan fast dimension) är **inte** ett vektorrum.
> [!warning]- Ej vektorrum: Polynom av exakt grad $n$
> Mängden av polynom med **exakt** gradtal $n$ är **inte** ett vektorrum:
> - Nollpolynomet saknas (har ingen grad)
> - Ej sluten under addition — graden kan minska:
> $(1 + x^2) + (-x^2) = 1 \notin \mathbb{P}_{\text{grad}=2}$
---
## 6. Underrum
### 6.1 Definition
Låt $V$ vara ett vektorrum. En delmängd $W \subseteq V$ är ett **underrum** till $V$ om $W$ är ett vektorrum i sig självt med samma operationer som $V$.
### 6.2 Sats: Kriterier för underrum
Låt $W \subseteq V$. Om följande tre villkor är uppfyllda, så är $W$ ett underrum till $V$:
| Nr | Villkor | Betydelse |
|----|---------|-----------|
| 1 | $\vec{0} \in W$ | Nollvektorn finns i $W$ |
| 2 | $\vec{u}, \vec{v} \in W \implies \vec{u} + \vec{v} \in W$ | Sluten under addition |
| 3 | $\vec{u} \in W \implies c\vec{u} \in W$ | Sluten under skalärmultiplikation |
> [!tip]- Tentarelevant
> Kan komma på tenta att bevisa att något är ett underrum.
---
## 7. Exempel på underrum
### 7.1 Triviala underrum
Varje vektorrum $V$ har alltid två **triviala underrum**:
- $\{\vec{0}\}$ — endast nollvektorn
- $V$ — hela vektorrummet
### 7.2 Deriverbara funktioner
Låt $V = F(\mathbb{R})$ och $W = \{ f \in V : f \text{ är deriverbar} \}$.
| Nr | Villkor | Verifiering |
|----|---------|-------------|
| 1 | $\vec{0} \in W$ | Nollfunktionen är deriverbar ✓ |
| 2 | $f, g \in W \implies f + g \in W$ | $(f + g)' = f' + g'$ ✓ |
| 3 | $f \in W \implies cf \in W$ | $(cf)' = c \cdot f'$ ✓ |
**Slutsats:** $W$ är ett underrum till $V$.
### 7.3 Polynomrum
$\mathbb{P}_2$ är ett underrum till $\mathbb{P}_3$ ✓
### 7.4 Polynom med given rot
$W = \{ p \in \mathbb{P}_3 : p(3) = 0 \}$
> [!note]- Notation
> Kolon "$:
quot; utläses "sådana att"
> "$|quot; kan även användas
| Nr | Villkor | Verifiering |
| --- | --------------------------------- | -------------------------------- |
| 1 | $\vec{0} \in W$ | $0(3) = 0$ ✓ |
| 2 | $p, q \in W \implies p + q \in W$ | $(p + q)(3) = p(3) + q(3) = 0$ ✓ |
| 3 | $p \in W \implies cp \in W$ | $(cp)(3) = c \cdot p(3) = 0$ ✓ |
**Slutsats:** $W$ är ett underrum till $\mathbb{P}_3$.
### 7.5 Icke-underrum
$W = \{ p \in \mathbb{P}_3 : p(0) = 3 \}$
> [!warning]- Ej underrum
> $\vec{0} \notin W$ eftersom $0(0) = 0 \neq 3$.
---
## 8. Fler exempel (klassanteckningar)
$\mathbb{R}^2$ underrum till $\mathbb{R}^3$?
$(a,b)\subset(x,y,z)$ nej nej nej
TYPFEL, fast nästan
$W=${$(a,b,1)\in \mathbb{R}^3$}
nej nolla saknas
Exempel $W=${$A\in M_{2\cdot2}:tv(A)=0$}
där t är trace
EX $\mathbb{R}^3$ underrum:
linjer och plan genom origo är underrum
EX $A\quad n\times n$
{$\vec{x}:A\vec{x}=\vec{0}$}
- nollan finns
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16)](https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8) — vad gör ett vektorrum till ett vektorrum?
- [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — linjärkombinationer och spann, grunden för underrum
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — kolonnrum och nollrum som underrum
### Wikipedia
- [Vector space](https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space)
- [Linear subspace](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_subspace)
- [Function space](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_space)
### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Vector Space](https://immersivemath.com/ila/ch06_vectorspaces/ch06.html)
- [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Vector Spaces and Subspaces](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/subspaces.html)