# Kryssprodukt & tillämpningar > **Föreläsning:** V3L5 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Linjer, plan, kryssprodukt ([[V3L4 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Kryssprodukt / vektorprodukt | Cross product | | Antikommutativ | Anti-commutative | | Lagranges identitet | Lagrange's identity | | Parallellogram | Parallelogram | | Parallellepiped | Parallelepiped | | Trippelskalärprodukt | Scalar triple product | | Högerhandsregeln | Right-hand rule | | Skeva linjer | Skew lines | --- ## 1. Räkneregler för kryssprodukt  > **Högerhandsregeln:** Bilden illustrerar högerhandsregeln för kryssprodukt mellan två vektorer **a** och **b**. När du formar en högerhand som visas: > > - **Pekfingret** (blå pil) pekar i riktning mot vektor **a** > - **Långfingret** (röd pil) pekar i riktning mot vektor **b** > - **Tummen** (lila pil) visar då riktningen på kryssproduktsvektorn **a × b** > > Kryssproduktsvektorn **a × b** blir alltså vinkelrät mot både **a** och **b**, och dess riktning bestäms av högerhandsregeln. Om du vänder på ordningen till **b × a** får du motsatt riktning (tummen pekar nedåt istället). - $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ — **ej kommutativ** (antikommutativ) - $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ — distributiv - $k(\vec{u} \times \vec{v}) = (k\vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k\vec{v})$ - $\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0}$ - $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ --- ## 2. Lagranges identitet $|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$ --- ## 3. Geometriska egenskaper Givet två vektorer $\vec{u}$ och $\vec{v}$: - $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{u}$ och $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{v}$ - $|\vec{u} \times \vec{v}|$ = arean av parallellogrammet - Riktning enligt **högerhandsregeln** --- ## 4. Exempel: Area av triangel Bestäm arean av triangeln med hörnen $A = (1, 0, 3)$, $B = (-2, 1, -1)$, $C = (1, 1, 2)$. **Lösning:** $\vec{AB} = B - A = (-3, 1, -4)$ $\vec{AC} = C - A = (0, 1, -1)$ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ --- ## 5. Trippelskalärprodukt $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ Kan beräknas som en determinant: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}$ --- ## 6. Satser: Geometrisk tolkning av determinanter > [3B1B: The determinant](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) ### 6.1 Area av parallellogram i $\mathbb{R}^2$ $\text{Area} = \left| \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \ v_1 & v_2 \end{bmatrix} \right|$ ### 6.2 Volym av parallellepiped i $\mathbb{R}^3$  $\text{Volym} = \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$ --- ## 7. Avstånd mellan punkt och linje > [!example]- Exempel: Avstånd från punkt till linje > Givet en punkt $P$ och en linje $L$ genom punkten $Q$ med riktningsvektor $\vec{d}$. > > **Metod:** > > 1. Bilda vektorn $\vec{QP}$ från en punkt på linjen till punkten $P$ > 2. Beräkna kryssprodukten $\vec{QP} \times \vec{d}$ — detta ger en vektor vars längd är arean av parallellogrammet som spänns upp av $\vec{QP}$ och $\vec{d}$ > 3. Arean av ett parallellogram är bas × höjd, så höjden (avståndet) fås genom att dividera med basen $|\vec{d}|$ > > **Formel:** $\text{Avstånd} = \frac{|\vec{QP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$ --- ## 8. Avstånd mellan två skeva linjer i $\mathbb{R}^3$ Två linjer är **skeva** om de varken skär varandra eller är parallella (endast möjligt i 3D). > [!example]- Exempel: Avstånd mellan två skeva linjer > Givet två skeva linjer: > > - $L_1$: genom $P_1$ med riktningsvektor $\vec{d}_1$ > - $L_2$: genom $P_2$ med riktningsvektor $\vec{d}_2$ > > **Metod:** > > 1. Bilda ett plan $\pi$ som **innehåller $L_1$** och är **parallellt med $L_2$** > 2. Planets normalvektor är $\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ (vinkelrät mot båda riktningsvektorerna) > 3. Välj en punkt $P_2$ på $L_2$ och beräkna avståndet från denna punkt till planet $\pi$ > 4. Avståndet punkt→plan fås genom att projicera $\vec{P_1 P_2}$ på normalvektorn $\vec{n}$ > > **Formel:** $\text{Avstånd} = \frac{|\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2)|}{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|}$ > > Täljaren är absolutbeloppet av trippelskalärprodukten (volymen av parallellepipeden), och nämnaren är arean av basparallellogrammet. --- ## 9. Avstånd mellan punkt och plan > [!example]- Exempel: Plan genom tre punkter + avstånd > Givet: $P = (1, 0, 2)$, $Q = (-1, 1, 3)$, $R = (-2, 1, 0)$, $S = (2, 2, -1)$ > > Bestäm planet genom $P, Q, R$ och avståndet från $S$ till planet. > > **Metod:** > > **Steg 1: Hitta två vektorer som ligger i planet** Tre punkter definierar ett plan. Genom att dra vektorer mellan punkterna får vi vektorer som ligger _i_ planet. $\vec{PQ} = Q - P = (-2, 1, 1)$ $\vec{PR} = R - P = (-3, 1, -2)$ > > **Steg 2: Beräkna planets normalvektor** Kryssprodukten av två vektorer ger en vektor som är vinkelrät mot båda. Alltså: $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ ger en vektor som är vinkelrät mot planet — planets normalvektor. $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -2 & 1 & 1 \ -3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-3, -7, 1)$ > > > [!tip]- Stefans metod (ortogonal projektion) > > Här kan vi hoppa direkt till avståndet utan att skriva ut planets ekvation! > > > > **Idé:** Avståndet från $S$ till planet är samma sak som längden av projektionen av $\vec{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$. > > > > $\vec{PS} = S - P = (2-1, 2-0, -1-2) = (1, 2, -3)$ > > > > Ortogonal projektion av $\vec{PS}$ på $\vec{n}$: $\text{proj}_{\vec{n}} \vec{PS} = \frac{\vec{PS} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}$ > > > > Längden (= avståndet): $d = \left| \frac{\vec{PS} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \frac{|1(-3) + 2(-7) + (-3)(1)|}{\sqrt{59}} = \frac{20}{\sqrt{59}}$ > > > > Snabbare — vi behöver aldrig planets ekvation! > > **Steg 3: Ställ upp planets ekvation** Ett plan kan beskrivas som alla punkter $\vec{r}$ där vektorn från en känd punkt ($P$) till $\vec{r}$ är vinkelrät mot normalen. $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{P}) = 0$ $-3(x - 1) - 7(y - 0) + 1(z - 2) = 0$ $-3x - 7y + z + 1 = 0$ > > **Steg 4: Beräkna avståndet från $S$ till planet** Kortaste avståndet från en punkt till ett plan är längs normalens riktning. Vi projicerar vektorn $\vec{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$. $\vec{PS} = S - P = (1, 2, -3)$ $d = \frac{|\vec{PS} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-3)(1) + (-7)(2) + (1)(-3)|}{\sqrt{9 + 49 + 1}} = \frac{20}{\sqrt{59}}$ Kryssprodukt - Jämn permutation --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Cross products (kap 10)](https://youtu.be/eu6i7WJeinw) — kryssproduktens geometri - [3Blue1Brown: Cross products in the light of linear transformations (kap 11)](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0) — kryssprodukten via determinanter - [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — area och volym som determinant ### Interaktiva verktyg GeoGebra: Cross Product and Area Visualization — parallellogram-area <iframe src="https://www.geogebra.org/m/psMTGDgc" width="100%" height="800"></iframe> ### Wikipedia - [Cross product](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product) - [Triple product](https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product) - [Parallelepiped](https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped)