# Linjer, plan & Kryssprodukt
> **Föreläsning:** V3L4 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** Ortogonalitet, projektion ([[V3L2 M0067M]]), avstånd ([[V3L3 M0067M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Linje | Line |
| Plan | Plane |
| Parameterform | Parametric form |
| Algebraisk form | Algebraic/implicit form |
| Riktningsvektor | Direction vector |
| Normalvektor | Normal vector |
| Skärning | Intersection |
| Kryssprodukt / vektorprodukt | Cross product |
| Skeva linjer | Skew lines |
---
## 1. Avstånd mellan punkt och plan (repetition)
1. Hitta normalvektorn $\vec{n}$ till planet
2. Välj en godtycklig punkt $P$ i planet
3. Bilda vektorn $\vec{QP}$ från den givna punkten $Q$ till $P$
4. Beräkna ortogonal projektion av $\vec{QP}$ på $\vec{n}$
$
d = \left|\left| \operatorname{proj}_{\vec{n}} \vec{QP} \right|\right|
$
---
## 2. Linje i $\mathbb{R}^2$
### 2.1 Två former
| Form | Uttryck | Beskrivning |
| --------------- | -------------------------------- | ----------------------- |
| **Algebraisk** | $ax + by = c$ | Implicit beskrivning |
| **Parametrisk** | $\vec{x} = \vec{x_0} + t\vec{v}$ | Punkt + riktningsvektor |
### 2.2 Konvertering: parametrisk $\to$ algebraisk
Från parameterformen $\vec{x} = \vec{x_0} + t\vec{v}$ med $\vec{v} = (a, b)$:
Komponentform:
$
\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \end{cases}
$
Eliminera $t$:
$
\boxed{\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}}
$
Vilket ger den algebraiska formen:
$
b(x - x_0) - a(y - y_0) = 0
$
---
## 3. Linje i $\mathbb{R}^3$
### 3.1 Parameterform
Om $\vec{x} - \vec{x_0}$ är parallell med riktningsvektorn $\vec{v}$:
$
\vec{x} - \vec{x_0} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{x} - \vec{x_0} = t\vec{v} \Leftrightarrow \boxed{\vec{x} = \vec{x_0} + t\vec{v}}, \quad t \in \mathbb{R}
$
### 3.2 Konvertering: parametrisk $\to$ algebraisk
Från $(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(a, b, c)$, eliminera $t$:
$
\boxed{\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}}
$
Detta beskriver skärningen mellan två plan, eftersom varje likhet definierar ett plan.
> [!example]- Bestäm linjen genom $(1,2,4)$ och $(6,2,7)$
>
> Bilda riktningsvektorn:
> $\vec{v} = (6,2,7) - (1,2,4) = (5,0,3)$
>
> Linjens ekvation:
> $\vec{x} = (1,2,4) + t(5,0,3), \quad t \in \mathbb{R}$
>
> Komponentform:
> $x = 1 + 5t, \quad y = 2, \quad z = 4 + 3t$
>
> **Var skär linjen planet $3x - y + 5z = 3$?**
>
> 1. Kontrollera att linjen inte är parallell med planet:
> $\vec{v} \bullet \vec{n} = (5,0,3) \bullet (3,-1,5) = 15 + 0 + 15 = 30 \neq 0$ — ej parallell.
>
> 2. Stoppa in linjens ekvation i planets ekvation:
> $3(1+5t) - 2 + 5(4+3t) = 3$
> $3 + 15t - 2 + 20 + 15t = 3$
> $30t + 21 = 3 \implies t = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5}$
>
> 3. Skärningspunkten:
> $(x,y,z) = (1+5(-\tfrac{3}{5}),\; 2,\; 4+3(-\tfrac{3}{5})) = (-2,\; 2,\; \tfrac{11}{5})$
---
## 4. Plan på parameterform
Två icke-parallella riktningsvektorer $\vec{u}$ och $\vec{v}$ med utgångspunkt i en punkt $\vec{x_0}$ spänner upp ett plan:
$
\boxed{\vec{x} = \vec{x_0} + s\vec{u} + t\vec{v}}, \quad s, t \in \mathbb{R}
$
> [!example]- Beskriv planet $3x - y + 5z = 3$ på parameterform
>
> Sätt upp koefficientmatrisen:
> $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 & | & 3 \end{bmatrix}$
>
> $x$ bunden, $y$ och $z$ fria. Sätt $y = s$, $z = t$:
> $3x = 3 + s - 5t \implies x = 1 + \tfrac{1}{3}s - \tfrac{5}{3}t$
>
> $(x,y,z) = (1,0,0) + s\left(\tfrac{1}{3}, 1, 0\right) + t\left(-\tfrac{5}{3}, 0, 1\right)$
>
> Alternativt (multiplicera riktningsvektorerna med 3):
> $(x,y,z) = (1,0,0) + s(1,3,0) + t(-5,0,3)$
>
> Kontrollera med skalärprodukt att riktningsvektorerna är parallella med planet:
> - $(1,3,0) \bullet (3,-1,5) = 3 - 3 + 0 = 0$ ✓
> - $(-5,0,3) \bullet (3,-1,5) = -15 + 0 + 15 = 0$ ✓
>
> Man kan även välja en annan utgångspunkt och andra riktningsvektorer, t.ex.:
> $\vec{x} = (1,0,0) + s(0,5,1) + t(1,3,0)$
---
### 4.1 Skärning mellan två plan
Tre möjliga fall:
1. **Parallella** — inga lösningar
2. **Sammanfallande** — oändligt många lösningar (hela planet)
3. **Skärande** — en linje som lösning
> [!example]- Bestäm skärningen mellan $x - 2y + 3z = 4$ och $x - y - z = 0$
>
> Gausselimination:
> $\begin{bmatrix} \boxed{1} & -2 & 3 & | & 4 \\ 1 & -1 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} \boxed{1} & -2 & 3 & | & 4 \\ 0 & \boxed{1} & -4 & | & -4 \end{bmatrix}$
>
> $x, y$ bundna, $z$ fri. Sätt $z = t$:
> - $y = -4 + 4t$
> - $x = 2y - 3z + 4 = 2(-4+4t) - 3t + 4 = -4 + 5t$
>
> Skärningslinjen:
> $(x,y,z) = (-4,-4,0) + t(5,4,1)$
>
> **Kontroll:** Stoppa in i båda planekvationerna:
> - $(-4+5t) - 2(-4+4t) + 3t = -4+5t+8-8t+3t = 4$ ✓
> - $(-4+5t) - (-4+4t) - t = 0$ ✓
---
## 5. Kryssprodukt (vektorprodukt)
> [3B1B: Cross products](https://youtu.be/eu6i7WJeinw) · [3B1B: Cross products pt. 2](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0)
Kryssprodukten finns enbart i $\mathbb{R}^3$. Man kan se $\mathbb{R}^2$ som en delmängd av $\mathbb{R}^3$ genom att sätta $z = 0$, dvs. $(x, y, 0)$.
### 5.1 Syfte
Givet ett plan på parameterform $\vec{x} = \vec{x_0} + s\vec{u} + t\vec{v}$ ger kryssprodukten $\vec{u} \times \vec{v}$ en normalvektor som är ortogonal mot båda riktningsvektorerna.
### 5.2 Definition
$
\vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)
$
$
\boxed{\vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \;\; u_3 v_1 - u_1 v_3, \;\; u_1 v_2 - u_2 v_1)}
$
**Minnesregel:** Skriv upp vektorerna under varandra. För varje komponent, täck den kolonnen och ta korsvis multiplikation av de kvarvarande — byt tecken på mittkomponenten.
> [!example]- Beräkna $(-1, 2, 3) \times (2, -6, 1)$
>
> Skriv upp vektorerna:
> $(-1, \; 2, \; 3)$
> $(2, \; -6, \; 1)$
>
> Komponent 1: $2 \cdot 1 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20$
> Komponent 2: $-((-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -(-1 - 6) = 7$
> Komponent 3: $(-1) \cdot (-6) - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$
>
> Svar: $(20, 7, 2)$
>
> Kontrollera ortogonalitet med skalärprodukt:
> - $(-1,2,3) \bullet (20,7,2) = -20 + 14 + 6 = 0$ ✓
> - $(2,-6,1) \bullet (20,7,2) = 40 - 42 + 2 = 0$ ✓
> [!note]- Alternativ metod kryssprodukt - Diskriminantmetoden
> $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$
> $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$
> $\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}v_{1}&v_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$
> Likt förra metoden tecker man en kollumn i taget sedan kör tar man determinanten av kvarstående
### 5.3 Sats
$
\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3 \implies \vec{u} \perp (\vec{u} \times \vec{v}) \text{ och } \vec{v} \perp (\vec{u} \times \vec{v})
$
**Bevis:** $(u_1, u_2, u_3) \bullet (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1)$
$= u_1 u_2 v_3 - u_1 u_3 v_2 + u_2 u_3 v_1 - u_2 u_1 v_3 + u_3 u_1 v_2 - u_3 u_2 v_1 = 0$
Varje term tar ut sig. Analogt för $\vec{v}$.
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Cross products (kap 10)](https://youtu.be/eu6i7WJeinw) — vad kryssprodukten betyder geometriskt
- [3Blue1Brown: Cross products in the light of linear transformations (kap 11)](https://youtu.be/BaM7OCEm3G0) — djupare förståelse via determinanter
- [3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9)](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — skalärprodukt som kontrast
### Interaktiva verktyg
GeoGebra: Cross Product Visualisation 3D — roterbar 3D-visualisering
<iframe src="https://www.geogebra.org/m/jcnba3fg" width="100%" height="800"></iframe>
### Wikipedia
- [Cross product](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product)
- [Line (geometry) — Parametric form](https://en.wikipedia.org/wiki/Line_(geometry)#In_higher_dimensions)
- [Plane (geometry)](https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry))
### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 2: Vectors](https://immersivemath.com/ila/ch02_vectors/ch02.html)