# Ortogonal projektion & Avstånd > **Föreläsning:** V3L3 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Skalärprodukt, ortogonalitet ([[V3L2 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Pythagoras sats | Pythagorean theorem | | Ortogonal projektion | Orthogonal projection | | Avstånd | Distance | | Standardmatris | Standard matrix | | Linjär avbildning | Linear transformation | --- ## 1. Pythagoras sats för vektorer ### Sats $ \boxed{\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2} $ **Bevis:** $ ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \bullet (\vec{u} + \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 + 2(\vec{u} \bullet \vec{v}) + ||\vec{v}||^2 $ Likhet med Pythagoras sats gäller $\Leftrightarrow \vec{u} \bullet \vec{v} = 0$. --- ## 2. Ortogonal projektion — fördjupning  ### Sats $\text{proj}_{\vec{a}}\vec{u}$ är den vektor på formen $k\vec{a}$ som ligger **närmast** $\vec{u}$. $ \boxed{\text{proj}_{\vec{a}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \bullet \vec{a}}{\vec{a} \bullet \vec{a}} \vec{a}} $ > [!note]- Viktig kommentar > **Att rita bilder är ett krav** för att förstå geometriska problem! --- ## 3. Linjära avbildningar och projektion ### Standardmatrisen För en linjär avbildning $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$: $ T = T_A, \quad T(\vec{x}) = A\vec{x} $ $ A = [T(\vec{e}_1) \quad T(\vec{e}_2) \quad \cdots \quad T(\vec{e}_n)] $ > [!example]- Bestäm projektionsmatrisen på linjen $y = 4x$ > > **Problem:** Bestäm matrisen för ortogonal projektion på linjen $y = 4x$. > > **Lösning:** > 1. Riktningsvektor för linjen: $\vec{a} = (1, 4)$ > 2. Använd projektionsformeln för att hitta vart $\vec{e}_1$ och $\vec{e}_2$ avbildas > 3. Konstruera standardmatrisen --- ## 4. Avstånd från punkt till plan > [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/NJGKj7wG) ### Metod 1. Välj en godtycklig punkt $P_0$ i planet 2. Bilda vektorn $\vec{v}$ från $P_0$ till den givna punkten $Q$ 3. Projicera $\vec{v}$ på normalvektorn $\vec{n}$ 4. Avståndet är normen av projektionen $ d = ||\text{proj}_{\vec{n}}\vec{v}|| $ > [!example]- Avstånd från $(1, 1, 3)$ till planet $2x + 3y - z = 4$ > > **Steg 1:** Normalvektor $\vec{n} = (2, 3, -1)$ > > **Steg 2:** Välj punkt i planet, t.ex. $P_0 = (0, 0, -4)$ (sätt $x = y = 0$) > > **Steg 3:** Vektorn från $P_0$ till $(1, 1, 3)$: > $ > \vec{v} = (1 - 0, 1 - 0, 3 - (-4)) = (1, 1, 7) > $ > > **Steg 4:** Projicera på normalen: > $ > \text{proj}_{\vec{n}}\vec{v} = \frac{(1, 1, 7) \bullet (2, 3, -1)}{(2, 3, -1) \bullet (2, 3, -1)} (2, 3, -1) > $ > > $ > = \frac{2 + 3 - 7}{4 + 9 + 1} (2, 3, -1) = \frac{-2}{14} (2, 3, -1) > $ > > **Steg 5:** Avståndet: > $ > d = ||\text{proj}_{\vec{n}}\vec{v}|| = \frac{2}{14} \sqrt{4 + 9 + 1} = \frac{2}{14} \sqrt{14} = \frac{\sqrt{14}}{7} > $ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9)](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — projektion och skalärprodukt visuellt - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — projektionsmatriser ### Interaktiva verktyg GeoGebra: Orthogonal Projection <iframe src="https://www.geogebra.org/m/NJGKj7wG" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Vector Projections in 3D <iframe src="https://www.geogebra.org/m/scBsXwxq" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Orthogonal Projections of Vectors <iframe src="https://www.geogebra.org/m/b5c9x8ef" width="100%" height="800"></iframe> ### Wikipedia - [Projection (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)) - [Distance from a point to a plane](https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_plane)