# Ortogonalitet & Projektion > **Föreläsning:** V3L2 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Vektorer, skalärprodukt ([[V3L1 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Skalärprodukt | Dot product / inner product | | Ortogonal / vinkelrät | Orthogonal / perpendicular | | Cauchy–Schwarz olikhet | Cauchy–Schwarz inequality | | Triangelolikheten | Triangle inequality | | Normalvektor | Normal vector | | Planekvation | Plane equation | | Ortogonal projektion | Orthogonal projection | | Riktningskoefficient | Slope | --- ## 1. Skalärprodukt — Repetition ### Algebraisk definition $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $ | Rum | Formel | |-----|--------| | $\mathbb{R}^2$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$ | | $\mathbb{R}^3$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$ | | $\mathbb{R}^n$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_iv_i$ | --- ## 2. Tecken och vinkel | Villkor | Tolkning | |---------|----------| | $\vec{u} \bullet \vec{v} > 0$ | $\theta < \frac{\pi}{2}$ (spetsig vinkel) | | $\vec{u} \bullet \vec{v} < 0$ | $\theta > \frac{\pi}{2}$ (trubbig vinkel) | | $\vec{u} \bullet \vec{v} = 0$ | $\theta = \frac{\pi}{2}$ (ortogonala) | --- ## 3. Räkneregler för skalärprodukt ### Sats För $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n$ och $k \in \mathbb{R}$: | Regel | Formel | |-------|--------| | Kommutativ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = \vec{v} \bullet \vec{u}$ | | Distributiv | $\vec{u} \bullet (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \bullet \vec{v} + \vec{u} \bullet \vec{w}$ | | Skalning | $k(\vec{u} \bullet \vec{v}) = (k\vec{u}) \bullet \vec{v} = \vec{u} \bullet (k\vec{v})$ | | Norm | $\vec{u} \bullet \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0$ | > [!warning]- Ej associativ > $\vec{u} \bullet (\vec{v} \bullet \vec{w})$ är **ej definierad**! > > $\vec{v} \bullet \vec{w}$ är en skalär, och man kan inte ta skalärprodukt mellan vektor och skalär. --- ## 4. Viktiga olikheter ### 4.1 Cauchy–Schwarz olikhet $ |\vec{u} \bullet \vec{v}| \leq ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| $ ### 4.2 Triangelolikheten $ ||\vec{u} + \vec{v}|| \leq ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| $ $ d(\vec{u}, \vec{v}) \leq d(\vec{u}, \vec{w}) + d(\vec{w}, \vec{v}) $ --- ## 5. Ortogonalitet ### Definition Två vektorer är **ortogonala** (vinkelräta) om: $ \boxed{\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \bullet \vec{v} = 0} $ --- ## 6. Linje och plan ### 6.1 Linje i $\mathbb{R}^2$ | Form | Ekvation | Beskrivning | |------|----------|-------------| | Riktningskoefficient | $y = kx + m$ | Alla utom vertikala linjer | | Allmän form | $ax + by = c$ | Alla linjer | ### 6.2 Plan i $\mathbb{R}^3$ **Planekvation:** $ ax + by + cz = d $ - $(a, b, c)$ är **normalvektorn** $\vec{n}$ - $d$ anger planets position längs normalen **Villkor för punkt på planet:** En punkt $P$ ligger på planet om $\vec{n} \perp \vec{P_0P}$ där $P_0$ är en känd punkt på planet. ### 6.3 Bilda ett plan Två saker krävs: 1. **Normalvektor** — beskriver planets lutning 2. **En punkt** — beskriver var planet ligger --- ## 7. Ortogonal projektion > [3B1B: Dot products and duality](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) · [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/w2urf87t)  ### 7.1 Definition Projektionen av $\vec{u}$ på $\vec{a}$ (där $\vec{a} \neq \vec{0}$): $ \boxed{\text{proj}_{\vec{a}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \bullet \vec{a}}{\vec{a} \bullet \vec{a}} \vec{a}} $ ### 7.2 Geometrisk tolkning $\text{proj}_{\vec{a}}\vec{u}$ är den vektor på linjen genom $\vec{a}$ som ligger närmast $\vec{u}$. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9)](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — skalärprodukt som projektion, dualitet - [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) ### Interaktiva verktyg GeoGebra: Orthogonal Projection Onto Vector — flytta vektorer, se algebraisk och geometrisk projektion <iframe src="https://www.geogebra.org/m/w2urf87t" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Vector Projections — slider för projektion <iframe src="https://www.geogebra.org/m/segQU7mb" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Vector Projection Visualization <iframe src="https://www.geogebra.org/m/XShfg9r8" width="100%" height="800"></iframe> - [Math Insight: Dot Product as Projection](https://mathinsight.org/applet/dot_product_projection) ### Wikipedia - [Orthogonality](https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality) - [Vector projection](https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_projection) - [Cauchy–Schwarz inequality](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality)