# Vektorer & Skalärprodukt > **Föreläsning:** V3L1 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Matriser ([[V1L3 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Vektor | Vector | | Nollvektor | Zero vector | | Norm / längd | Norm / length | | Enhetsvektor | Unit vector | | Standardbasvektor | Standard basis vector | | Parallella vektorer | Parallel vectors | | Skalärprodukt | Dot product / inner product | | Avstånd | Distance | | Vinkel | Angle | --- ## 1. Vektorer i $\mathbb{R}^2$ och $\mathbb{R}^3$ > [3B1B: Vectors, what even are they?](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs)  En vektor har **riktning** och **storlek** (längd). ### 1.1 Notation - $\vec{AB}$ är vektorn från punkt $A$ till punkt $B$ - Nollvektorn: $\vec{AA} = \vec{0}$ (pekar på sig själv) > [!note]- Parallellförflyttning > När man parallellförflyttar en vektor förändras den inte — samma riktning och längd. --- ## 2. Operationer med vektorer ### 2.1 Addition $ \vec{u} + \vec{v} $ | Egenskap | Formel | |----------|--------| | Kommutativ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ | | Associativ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ | | Nollelement | $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ | | Invers | $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ | ### 2.2 Skalärmultiplikation $ k\vec{u}, \quad k \in \mathbb{R} $ - $k > 0$: Samma riktning, skalad längd - $k < 0$: Omvänd riktning - $-\vec{u} = (-1)\vec{u}$ --- ## 3. Koordinatrepresentation ### 3.1 I $\mathbb{R}^2$ Med origo som utgångspunkt: $ \vec{v} = (v_1, v_2) $ ### 3.2 I $\mathbb{R}^3$ $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $ ### 3.3 Vektorn mellan två punkter $ \vec{QP} = P - Q = (p_1 - q_1, \; p_2 - q_2, \; p_3 - q_3) $ --- ## 4. Räkning i koordinater För $\vec{u} = (u_1, \ldots, u_n)$ och $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ i $\mathbb{R}^n$: | Operation | Formel | |-----------|--------| | Addition | $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n)$ | | Subtraktion | $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, \ldots, u_n - v_n)$ | | Skalning | $k\vec{u} = (ku_1, \ldots, ku_n)$ | | Nollvektor | $\vec{0} = (0, \ldots, 0)$ | --- ## 5. Norm (längd/storlek) ### 5.1 Definition $ \boxed{||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}} $ | Rum | Formel | |-----|--------| | $\mathbb{R}^2$ | $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ | | $\mathbb{R}^3$ | $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ | | $\mathbb{R}^n$ | $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}$ | > [!note]- Terminologi > I $\mathbb{R}^n$ för $n > 3$ saknas geometrisk tolkning — kalla det **norm** istället för längd. ### 5.2 Egenskaper - $||\vec{v}|| \geq 0$, med likhet om och endast om $\vec{v} = \vec{0}$ - $||k\vec{v}|| = |k| \cdot ||\vec{v}||$ - $||k\vec{v}||^2 = k^2 \cdot ||\vec{v}||^2$ --- ## 6. Parallella vektorer **Definition:** $\vec{u}$ och $\vec{v}$ är parallella om: $ \vec{u} = k\vec{v} \quad \text{för något } k \in \mathbb{R} $ I $\mathbb{R}^2$ och $\mathbb{R}^3$ betyder detta samma (eller motsatt) riktning. --- ## 7. Enhetsvektorer **Definition:** En vektor med norm 1. **Standardbasvektorer:** $ \vec{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0), \quad \vec{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0), \quad \ldots $ **Linjärkombination:** $ \vec{v} = v_1\vec{e}_1 + v_2\vec{e}_2 + \cdots + v_n\vec{e}_n $ --- ## 8. Avstånd **Definition:** Avståndet mellan två vektorer (punkter): $ \boxed{d(\vec{u}, \vec{v}) = ||\vec{u} - \vec{v}||} $ --- ## 9. Vinkel mellan vektorer För vektorer i $\mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$ definieras vinkeln $\theta$ mellan dem som: $ 0 \leq \theta \leq \pi $ --- ## 10. Skalärprodukt (dot product) > [3B1B: Dot products and duality](https://youtu.be/LyGKycYT2v0)  ### 10.1 Geometrisk definition För $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$: $ \boxed{\vec{u} \bullet \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos\theta} $ ### 10.2 Algebraisk definition $ \boxed{\vec{u} \bullet \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n} $ | Rum | Formel | |-----|--------| | $\mathbb{R}^2$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$ | | $\mathbb{R}^3$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$ | | $\mathbb{R}^n$ | $\vec{u} \bullet \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_iv_i$ | --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) — vad vektorer egentligen är, tre perspektiv - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — basvektorer och linjärkombinationer - [3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9)](https://youtu.be/LyGKycYT2v0) — geometrisk och algebraisk tolkning av skalärprodukten ### Interaktiva verktyg GeoGebra: Scalar Multiplication — slider för skalärmultiplikation <iframe src="https://www.geogebra.org/m/kepc66kw" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Dot Product Visualization <iframe src="https://www.geogebra.org/m/Yu6869By" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Dot Product and Angle — vinkel mellan vektorer <iframe src="https://www.geogebra.org/m/ya845Car" width="100%" height="800"></iframe> - [Falstad: Dot Product](https://www.falstad.com/dotproduct/) — geometrisk visualisering ### Wikipedia - [Euclidean vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector) - [Dot product](https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product) - [Unit vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 2: Vectors](https://immersivemath.com/ila/ch02_vectors/ch02.html) — interaktiv 3D-bok