# Determinanter & Cramers regel
> **Föreläsning:** V2L5 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** Matriser ([[V1L3 M0067M]]), Gausselimination ([[V1L2 M0067M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Determinant | Determinant |
| Kofaktor | Cofactor |
| Utveckling efter rad/kolumn | Cofactor expansion |
| Triangulär matris | Triangular matrix |
| Singulär matris | Singular matrix |
| Cramers regel | Cramer's rule |
| Inverterbar | Invertible |
| Diagonalelement | Diagonal entry |
---
## 1. Determinanter — Översikt
> [3B1B: The determinant](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk)
Determinanter är definierade för **kvadratiska matriser** ($n \times n$).
### Notation
$
\det(A) = |A|
$
---
## 2. Beräkning av determinanter
### 2.1 $1 \times 1$ matris
$
\det([a]) = a
$
### 2.2 $2 \times 2$ matris
$
\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \boxed{ad - bc}
$
### 2.3 $n \times n$ matris
Använd **utveckling efter rad eller kolumn** (rekursiv definition):
$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} \cdot c_{1j}
$
där $c_{1j}$ är kofaktorn.
> [!note]- Komplexitet
> För en $n \times n$ matris ger utveckling $n!$ operationer.
---
## 3. Viktiga satser
| Sats | Beskrivning |
|------|-------------|
| $\det(A) = \det(A^T)$ | Determinanten är samma för transponatet |
| Triangulär matris | $\det = $ produkten av diagonalelementen |
| $\det(I) = 1$ | Identitetsmatrisens determinant |
| $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ | Multiplikativ egenskap |
| $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ inverterbar | Kriterium för inverterbarhet |
---
## 4. Effekt av radoperationer
| Operation | Effekt på $\det$ |
|-----------|------------------|
| Multiplicera rad med $k$ | $\det \to k \cdot \det$ |
| Addera multipel av rad till annan | $\det$ oförändrad |
| Byta plats på två rader | $\det \to -\det$ |
---
## 5. Två metoder för att beräkna determinant
1. **Utveckling efter rad/kolumn** — Välj rad/kolumn med många nollor
2. **Gausseliminera till triangulär form** — Ta produkten av diagonalen
> [!example]- Beräkna med elementära matriser
>
> **Grundidé:** Om $E$ är elementär matris så gäller:
> $
> \det(EA) = \det(E) \cdot \det(A)
> $
>
> **Determinanter för elementära matriser:**
> - Multiplicera rad med $k$: $\det(E) = k$
> - Addera multipel: $\det(E) = 1$
> - Byta rader: $\det(E) = -1$
---
## 6. Singulära matriser
**Definition:** En matris är **singulär** om den ej är inverterbar.
$
A \text{ singulär} \Longleftrightarrow \det(A) = 0
$
---
## 7. Cramers regel
> [3B1B: Cramer's rule, explained geometrically](https://youtu.be/jBsC34PxzoM)
### 7.1 Lemma
Om $AB$ är inverterbar så är både $A$ och $B$ inverterbara.
### 7.2 Cramers regel
För systemet $A\vec{x} = \vec{b}$ med $\det(A) \neq 0$:
$
\boxed{x_j = \frac{\det(A_j(\vec{b}))}{\det(A)}}
$
där $A_j(\vec{b})$ är matrisen $A$ med kolumn $j$ ersatt av $\vec{b}$.
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — geometrisk tolkning av determinanten som area/volym
- [3Blue1Brown: Cramer's rule, explained geometrically (kap 12)](https://youtu.be/jBsC34PxzoM) — visuell förklaring av Cramers regel
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — singulära matriser och $\det = 0$
### Interaktiva verktyg
- [matrixcalc.org: Determinant Calculator](https://matrixcalc.org/det.html) — beräkna med visade steg
- [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — se hur determinanten förändras
- [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix)
### Wikipedia
- [Determinant](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant)
- [Cramer's rule](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule)
- [Cofactor expansion](https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion)
### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 7: Determinants](https://immersivemath.com/ila/ch07_determinants/ch07.html) — interaktiv 3D-bok
- [MIT 18.06SC: Properties of Determinants](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/resource-index/)