# Linjära avbildningar
> **Föreläsning:** V2L2 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** Inversa matriser ([[V1L4 M0067M]]), matrisnotation ([[V1L3 M0067M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Linjär avbildning | Linear transformation/map |
| Standardmatris | Standard matrix |
| Standardbasvektor | Standard basis vector |
| Additiv | Additive |
| Homogen | Homogeneous |
| Matrisavbildning | Matrix transformation |
| Avbilda | Map/transform |
| Högerinvers | Right inverse |
| Vänsterinvers | Left inverse |
---
## 1. Utökad sats för inverterbara matriser
### Sats (TFAE för $n \times n$ matris)
Följande är ekvivalenta:
1. $A$ är inverterbar
2. $A\vec{x} = \vec{0} \Rightarrow \vec{x} = \vec{0}$
3. $A\vec{x} = \vec{b}$ har lösning för varje $\vec{b}$
4. $A\vec{x} = \vec{b}$ har **precis en** lösning för varje $\vec{b}$
### Höger- och vänsterinvers
För $n \times n$ matriser $A$, $B$, $C$:
- $AC = I \Rightarrow A^{-1} = C$ (högerinvers)
- $BA = I \Rightarrow A^{-1} = B$ (vänsterinvers)
---
## 2. Linjära avbildningar
> [3B1B: Linear transformations and matrices](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE)
### 2.1 Definition
En funktion $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en **linjär avbildning** om:
$
\vec{x} \in \mathbb{R}^n \xrightarrow{T} A\vec{x} \in \mathbb{R}^m
$
Vi skriver $T = T_A$ där $T_A(\vec{x}) = A\vec{x}$.
### 2.2 Egenskaper
| Egenskap | Definition |
|----------|------------|
| **Additiv** | $T_A(\vec{x} + \vec{y}) = T_A(\vec{x}) + T_A(\vec{y})$ |
| **Homogen** | $T_A(c\vec{x}) = cT_A(\vec{x})$ |
| **Linjär** | $T_A(c\vec{x} + d\vec{y}) = cT(\vec{x}) + dT(\vec{y})$ |
---
## 3. Fundamental sats
### 3.1 Sats
En avbildning $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en matrisavbildning (dvs. $T = T_A$ för någon matris $A$) om och endast om:
1. $T(\vec{x} + \vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y})$ (additiv)
2. $T(c\vec{x}) = cT(\vec{x})$ (homogen)
$
\boxed{\text{Linjär} \Longleftrightarrow \text{Matrisavbildning}}
$
### 3.2 Sats: Unikhet
Om $T_A(\vec{x}) = T_B(\vec{x})$ för alla $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$, då är $A = B$.
---
## 4. Standardmatrisen
**Definition:** Standardmatrisen för en linjär avbildning $T$ är:
$
\boxed{A = [T(\vec{e}_1) \quad T(\vec{e}_2) \quad \cdots \quad T(\vec{e}_n)]}
$
där $\vec{e}_i$ är standardbasvektorerna.
> [!example]- Bestäm standardmatrisen
>
> Givet $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definierad av:
> $
> T\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 + 3x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}
> $
>
> **Beräkna:**
> $
> T(\vec{e}_1) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
> T(\vec{e}_2) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
> $
>
> **Standardmatrisen:**
> $
> A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
> $
---
## 5. Två typer av uppgifter
| Fråga | Beskrivning |
|-------|-------------|
| "På vad avbildas $\vec{v}$?" | Beräkna $T(\vec{v}) = A\vec{v}$ |
| "Vad avbildas på $\vec{w}$?" | Lös $A\vec{x} = \vec{w}$ |
---
## 6. Geometriska avbildningar i $\mathbb{R}^2$
> [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/sqG26hQj)
### 6.1 Spegling i x-axeln
Inverterar y-värdet:
$
S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
$
### 6.2 Spegling i linjen $y = x$
Byter $\vec{e}_1 \leftrightarrow \vec{e}_2$:
$
S = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
$
### 6.3 Ortogonal projektion på y-axeln
$
P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — visuellt vad linjära avbildningar gör med rummet
- [3Blue1Brown: Matrix multiplication as composition (kap 4)](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU) — sammansättningar av avbildningar
- [3Blue1Brown: Three-dimensional linear transformations (kap 5)](https://youtu.be/rHLEWRxRGiM) — avbildningar i 3D
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — inversa avbildningar
### Interaktiva verktyg
GeoGebra: Matrix Transformations — applicera matriser på former, se rotation/spegling/skalning
<iframe src="https://www.geogebra.org/m/sqG26hQj" width="100%" height="800"></iframe>
GeoGebra: 2D Linear Transformations — dra basvektorer, se effekten
<iframe src="https://www.geogebra.org/m/pDU4peV5" width="100%" height="800"></iframe>
- [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — interaktiv 2D-transformation med determinant och egenvärden
- [MatVis — Interactive Matrix Visualization](https://shad.io/MatVis/) — inspirerad av 3B1B, sliders för matriskomponenter
- [Desmos: Linear Transformations](https://www.desmos.com/calculator/yfeeqwkrhd)
### Wikipedia
- [Linear map](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map)
- [Transformation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix)
### Fördjupning
- [3Blue1Brown: Lesson page — Linear transformations](https://www.3blue1brown.com/lessons/linear-transformations) — interaktiva övningar
- [Georgia Tech: Interactive Linear Algebra](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/) — fri interaktiv lärobok