# Inversa matriser & Elementärmatriser > **Föreläsning:** V1L4 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Matrisnotation ([[V1L3 M0067M]]), Gausselimination ([[V1L2 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Inverterbar matris | Invertible matrix | | Singulär matris | Singular matrix | | Identitetsmatris | Identity matrix | | Elementär matris | Elementary matrix | | Radoperation | Row operation | | Gauss-Jordan-elimination | Gauss-Jordan elimination | | Ekvivalenta påståenden (TFAE) | The following are equivalent (TFAE) | --- ## 1. Inversa matriser > [3B1B: Inverse matrices, column space and null space](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) **Definition:** En kvadratisk matris $A$ ($n \times n$) är **inverterbar** om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att: $ \boxed{A^{-1}A = AA^{-1} = I} $ där $I$ är identitetsmatrisen: $ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ > [!note]- Invers finns inte alltid > En matris som saknar invers kallas **singulär**. --- ## 2. Räkneregler för inverser | Regel | Formel | |-------|--------| | Produkt | $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ | | Dubbel invers | $(A^{-1})^{-1} = A$ | | Transponat | $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ | --- ## 3. Invers av $2 \times 2$ matris ### Sats För $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ gäller: $ \boxed{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}} $ $A$ är inverterbar om och endast om $ad - bc \neq 0$. > [!example]- Exempel > > $ > A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} > $ > > $\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0$ ✓ > > $ > A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} > $ --- ## 4. Elementära matriser **Definition:** En elementär matris $E$ fås genom att utföra **en** radoperation på identitetsmatrisen $I$. ### Samband Om $I \xrightarrow{\text{radop}} E$, då gäller $A \xrightarrow{\text{samma radop}} EA$ ### Egenskaper - Elementära matriser är alltid inverterbara - Inversen är matrisen för den **omvända** radoperationen --- ## 5. Viktig sats (TFAE) Följande påståenden är ekvivalenta för en $n \times n$ matris $A$: 1. $A$ är inverterbar 2. $A\vec{x} = \vec{0}$ har endast lösningen $\vec{x} = \vec{0}$ 3. Den reducerade trappstegsformen för $A$ är $I$ 4. $A$ kan skrivas som en produkt av elementära matriser **Beviskedja:** $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (4) \Rightarrow (1)$ --- ## 6. Beräkna invers med Gauss-Jordan > [steg-för-steg kalkylator](https://matrixcalc.org/) **Metod:** Utöka matrisen med identitetsmatrisen och reducera: $ \begin{bmatrix} A & | & I \end{bmatrix} \quad \sim \quad \cdots \quad \sim \quad \begin{bmatrix} I & | & A^{-1} \end{bmatrix} $ > [!example]- Beräkna inversen > > Hitta inversen till: > $ > A = \begin{bmatrix} > 1 & 2 & 3 \\ > 2 & 5 & 3 \\ > 1 & 0 & 8 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 1:** Sätt upp utökad matris $[A \mid I]$ > > **Steg 2:** Använd Gausselimination för att få $[I \mid A^{-1}]$ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — geometrisk tolkning av inverterbarhet - [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — varför $\det(A) \neq 0$ krävs för invers - [3Blue1Brown: Nonsquare matrices (kap 8)](https://youtu.be/v8VSDg_WQlA) — icke-kvadratiska matriser och dimensionsbyten - [MIT 18.06: Lecture 2 — Elimination with Matrices](https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-2-elimination-with-matrices/) ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — beräkna invers, determinant, rang med visade steg - [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix) — RREF och inversberäkning - [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — interaktiv 2D-transformation, visar determinant och egenvärden ### Wikipedia - [Invertible matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix) - [Elementary matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix) - [Identity matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_matrix)