# Matrisnotation & Parameterberoende system > **Föreläsning:** V1L3 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** Gausselimination, trappstegsform ([[V1L2 M0067M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Matris | Matrix | | Kolumnvektor | Column vector | | Linjärkombination | Linear combination | | Transponat | Transpose | | Symmetrisk matris | Symmetric matrix | | Spåret (trace) | Trace | | Utökad matris | Augmented matrix | | Koefficient | Coefficient | --- ## 1. Ekvationssystem med parameter > [interaktiv kalkylator](https://matrixcalc.org/slu.html) > [!example]- Lös systemet beroende på parametern $a$ > > **Startmatris:** > $ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 1 & 1 & | & 1 \\ > 1 & a^2 & 1 & | & a \\ > 1 & 2 & 0 & | & -1 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 1:** $R_1 \cdot (-1) + R_2 \to R_2$ och $R_1 \cdot (-1) + R_3 \to R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 2:** Byt $R_2 \leftrightarrow R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 3:** $R_2 \cdot (-(a^2-1)) + R_3 \to R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & 0 & a^2-1 & | & (a-1) + 2(a^2-1) > \end{bmatrix} > $ > > **Fallanalys:** Antalet pivoter beror på om $a^2 - 1 = 0$ > > --- > > **Fall 1:** $a^2 - 1 \neq 0$ (dvs. $a \neq \pm 1$) > > Tre pivoter $\Rightarrow$ $x, y, z$ bundna (en unik lösning): > $ > z = \frac{(a-1) + 2(a^2-1)}{a^2-1} = \frac{2a+3}{a+1} > $ > > **Fall 2:** $a = 1$ > > Analysera separat... > > **Fall 3:** $a = -1$ > > Analysera separat... --- ## 2. Matrisnotation > [3B1B: Vectors, what even are they?](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) ### 2.1 Kolumnvektorer $ A = [\vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \cdots \quad \vec{a}_n] $ ### 2.2 Matris-vektormultiplikation > [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) Multiplicera en radmatris med en kolumnmatris: $ A\vec{x} = x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 + \cdots + x_n\vec{a}_n $ Detta är en **linjärkombination** av kolumnvektorerna. --- ## 3. Transponat **Definition:** Transponatet $A^T$ fås genom att byta rader och kolumner. $ A^T_{ij} = A_{ji} $ **Symmetrisk matris:** Om $A^T = A$ --- ## 4. Spåret (Trace) **Definition:** Spåret av en kvadratisk matris är summan av diagonalelementen: $ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $ --- ## 5. Översättning mellan representationer $ \text{Ekvationssystem} \longleftrightarrow \text{Matris} \longleftrightarrow \text{Vektorekvation} \longleftrightarrow \text{Utökad koefficient-matris} \longleftrightarrow \text{Gausselimination} $ --- ## 6. Notation för fria variabler Sätt fria variabler som: $s, t, u, v, \ldots$ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) — grundläggande vektorbegrepp och notation - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — linjärkombinationer och kolumnvektorer - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — hur matriser representerar transformationer ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — matrisberäkningar (determinant, invers, multiplikation) - [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix) — matrisoperationer med stegvisa lösningar ### Wikipedia - [Matrix (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)) - [Transpose](https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose) - [Trace (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)) - [Augmented matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Matrix](https://immersivemath.com/ila/ch06_matrices/ch06.html) — interaktiv 3D-bok